Se consideră $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ și $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$. Matricea $$A \cdot B - B \cdot A$$ este:

$$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 20 & 16 \end{pmatrix}$$

Pentru orice $$A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$$, dezvoltarea corectă a produsului $$(A + B) \cdot (A - B)$$ este:

$$A \cdot A - 2\,A \cdot B + B \cdot B$$

Se știe că $$A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$ verifică $$A \cdot B = O_2$$. Atunci:

este posibil ca $$A \ne O_2$$ și $$B \ne O_2$$

obligatoriu $$A = O_2$$ sau $$B = O_2$$

De ce nu comută înmulțirea matricelor?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Proprietățile înmulțirii. Necomutativitatea

Ordinea factorilor schimbă rezultatul, fiindcă la produs fiecare element se obține din linia primului factor și coloana celui de-al doilea, iar rolurile se inversează când schimbi factorii între ei. Cu $A = (1011)$ și $B = (1101)$ iese $A B = (2111)$ , dar $B A = (1112)$ . Un contraexemplu ca acesta încheie discuția: o regulă generală cade dacă o singură pereche o încalcă.

Înmulțirea matricelor nu este comutativă: în general $A \cdot B \neq = B \cdot A$ , chiar și pentru matrice pătratice de același ordin. Contraexemplul de reținut este $A = (1011)$ , $B = (1101)$ , cu $A \cdot B = (2111)$ și $B \cdot A = (1112)$ . La Bacalaureat M1, un singur contraexemplu este o justificare completă.

Se păstrează: asociativitatea, $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ — deci parantezele nu contează, dar ordinea factorilor rămâne fixă; distributivitatea, enunțată separat la stânga și la dreapta; compatibilitatea cu scalarii; elementul neutru $I_{n}$ și cel absorbant $O$ .

Se pierde, în schimb, aproape tot ce e automat la numere. Există divizori ai lui zero: matrice nenule cu produsul nul, deci din $A \cdot X = O$ nu rezultă $X = O$ . Nu se poate simplifica: din $A \cdot B = A \cdot C$ nu rezultă $B = C$ , oricât de „nenulă” ar fi $A$ . Iar calculul prescurtat are patru termeni, niciodată trei: $(A + B) \cdot (A + B) = A \cdot A + A \cdot B + B \cdot A + B \cdot B$ , iar cei doi din mijloc se comasează numai dacă matricele sunt permutabile. La transpusa unui produs, ordinea se inversează obligatoriu: $^{t} (A \cdot B) =^{t} B \cdot^{t} A$ .

De reținut

În general $A \cdot B \neq = B \cdot A$ ; egalitatea se verifică, nu se presupune
Rămân: $(A B) C = A (B C)$ , distributivitatea, $I_{n} A = A I_{n} = A$ , $A O = O A = O$
$(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ și $^{t} (A B) =^{t} B \cdot^{t} A$

Greșeala tipică

Termenii $A B$ și $B A$ se strâng într-unul singur, ca la numere, și se scrie $2 A B$ . Ei se pot aduna doar când matricele sunt permutabile; altfel dezvoltarea rămâne cu patru termeni distincți.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (2013)$ și $B = (14 - 1 2)$ . Matricea $A \cdot B - B \cdot A$ este:
- a) $(4424)$
- b) $(44 2 - 4)$
- c) $O_{2}$
- d) $(820 - 2 16)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(44 2 - 4)$

Calculăm ambele produse: $A \cdot B = (61206)$ și $B \cdot A = (28 - 2 10)$ , deci diferența este $(44 2 - 4)$ . Nu este matricea nulă, pentru că matricele nu comută. Varianta d) este suma celor două produse. Observă că suma elementelor de pe diagonala principală a diferenței este $0$ — asta se întâmplă întotdeauna.
Pentru orice $A, B \in M_{2} (C)$ , dezvoltarea corectă a produsului $(A + B) \cdot (A - B)$ este:
- a) $A \cdot A - B \cdot B$
- b) $A \cdot A - 2 A \cdot B + B \cdot B$
- c) $A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B$
- d) $A \cdot A + A \cdot B - B \cdot A - B \cdot B$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B$

Desfacem parantezele păstrând ordinea factorilor: primul termen al primei paranteze înmulțit cu fiecare termen al celei de-a doua dă $A \cdot A - A \cdot B$ , iar al doilea dă $B \cdot A - B \cdot B$ . Termenii din mijloc nu se reduc, pentru că $A \cdot B$ și $B \cdot A$ sunt în general matrice diferite. Varianta d) are ordinea inversată în ambii termeni din mijloc.
Se știe că $A, B \in M_{2} (R)$ verifică $A \cdot B = O_{2}$ . Atunci:
- a) obligatoriu $A = O_{2}$
- b) obligatoriu $B = O_{2}$
- c) obligatoriu $A = O_{2}$ sau $B = O_{2}$
- d) este posibil ca $A \neq = O_{2}$ și $B \neq = O_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) este posibil ca $A \neq = O_{2}$ și $B \neq = O_{2}$

La matrice există divizori ai lui zero: de pildă $(1000) \cdot (0100) = O_{2}$ , deși niciun factor nu este matricea nulă. Regula „un produs nul are un factor nul”, adevărată la numere, se pierde aici; de aceea din $A \cdot X = O$ nu se poate deduce $X = O$ .

Întrebări conexe

Ce proprietăți se păstrează la înmulțirea matricelor?

Rămân valabile asociativitatea, cele două distributivități scrise separat, compatibilitatea cu scalarii, precum și rolurile lui $I_{n}$ ca element neutru și ale matricei nule ca element absorbant. Cade doar libertatea de a schimba factorii între ei, plus regulile care se sprijineau pe ea.

Este asociativă înmulțirea matricelor?

Da, iar egalitatea $(A B) C = A (B C)$ se verifică pe elemente, prin dubla sumă care apare în ambele părți. Practic, parantezele se pot muta oricum într-un produs lung, așa că poți grupa factorii ca să iasă mai repede, cu condiția să nu îi rearanjezi.

Ce rol are matricea unitate în calculul cu matrice?

Se poartă exact ca numărul $1$ : $I_{n} A = A I_{n} = A$ pentru orice matrice pătratică de ordin $n$ . De aceea apare în ecuațiile matriceale, în definiția inversei și în descompunerile de tipul $A = α I_{n} + N$ , folosite la ridicarea la putere.

Cu ce matrice comută orice matrice pătratică?

Doar cu multiplii matricei unitate, adică cu matricele de forma $α I_{n}$ . Ele se comportă ca un factor numeric, deci pot fi mutate liber prin produs. Orice altă matrice are măcar o parteneră cu care schimbarea ordinii dă alt rezultat.

Când există amândouă produsele AB și BA?

Când $A$ este de tip $m \times n$ , iar $B$ de tip $n \times m$ . Atunci $A B$ iese de ordin $m$ , iar $B A$ de ordin $n$ , deci pentru $m \neq = n$ cele două rezultate nici nu au aceeași formă. Comparația are sens abia la matrice pătratice de același ordin.

Ce se întâmplă dacă înmulțesc o matrice cu matricea nulă?

Rezultatul este tot matricea nulă, indiferent de partea în care o pui. Reciproca însă nu funcționează: din $A B = O$ nu poți conchide că unul dintre factori se anulează, fiindcă la matrice există perechi nenule cu produsul nul.

Oamenii mai întreabă și: de ce AB nu este egal cu BA la matrice · înmulțirea matricelor nu e comutativă · contraexemplu de necomutativitate cu matrice · contează ordinea factorilor la matrice