Care afirmație este falsă?

$$\displaystyle\int_a^b fg = \displaystyle\int_a^b f \cdot \displaystyle\int_a^b g$$

$$\displaystyle\int_a^b (f+g) = \displaystyle\int_a^b f + \displaystyle\int_a^b g$$

$$\left\lvert \displaystyle\int_a^b f \right\rvert \le \displaystyle\int_a^b \lvert f \rvert$$

dacă $$f \le g$$ pe $$[a, b]$$ și $$a < b$$, atunci $$\displaystyle\int_a^b f \le \displaystyle\int_a^b g$$

Ce proprietăți are integrala definită?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Proprietățile integralei definite

Cinci se folosesc tot timpul. Liniaritatea scoate constantele și desface sumele; aditivitatea rupe intervalul într-un punct oarecare; monotonia păstrează inegalitatea dintre funcții, dacă limitele stau în ordine crescătoare; mărginirea spune că orice funcție integrabilă rămâne între două valori; stabilitatea spune că valorile din câteva puncte izolate nu schimbă rezultatul. Din monotonie se obține inegalitatea modulului.

Proprietățile integralei definite se numesc, nu se numerotează. Liniaritatea: $\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$ , pentru orice numere reale $λ$ și $μ$ ; se demonstrează la nivelul sumelor Riemann, unde este o simplă regrupare de termeni.

Aditivitatea în raport cu intervalul: $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ ; se admite fără demonstrație și rămâne valabilă pentru orice poziție a lui $c$ , datorită convențiilor de orientare. Monotonia: din $f \leq g$ pe $[a, b]$ , cu $a < b$ , rezultă $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ — ordinea capetelor este obligatorie.

Mărginirea spune că orice funcție integrabilă este mărginită; se folosește prin contrapoziție, ca argument de respingere. Ereditatea garantează integrabilitatea pe subintervale, deci dreptul de a rupe intervalul, iar stabilitatea spune că valorile dintr-un număr finit de puncte nu schimbă nimic.

Din monotonie se obține inegalitatea modulului: $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ , cu egalitate când $f$ nu schimbă semnul. Atenție la două capcane: liniaritatea privește numai adunarea și înmulțirea cu o constantă, deci în general $\int_{a}^{b} f g \neq = \int_{a}^{b} f \cdot \int_{a}^{b} g$ ; iar dintr-o integrală nulă nu rezultă că funcția este nulă.

De reținut

$\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$
$\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$
$\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$

Greșeala tipică

Se scoate un produs din integrală ca și cum ar fi o sumă. Liniaritatea acoperă numai adunarea și înmulțirea cu un număr, deci un produs de două funcții cere o metodă de calcul, nu o desfacere.

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că $\int_{1}^{4} f (x) d x = 6$ și $\int_{1}^{4} g (x) d x = - 2$ . Atunci $\int_{1}^{4} (3 f (x) - 2 g (x)) d x$ este:
- a) $22$
- b) $14$
- c) $20$
- d) $- 22$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $22$

Prin liniaritate, integrala este $3 \cdot 6 - 2 \cdot (- 2) = 18 + 4 = 22$ . Varianta $14$ apare când se pierde semnul lui $g$ și se scade $2 \cdot 2$ ; varianta $20$ adună greșit $18 + 2$ , uitând coeficientul.
Se știe că $\int_{0}^{5} f (x) d x = 9$ și $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ . Atunci $\int_{5}^{2} f (x) d x$ este:
- a) $5$
- b) $- 5$
- c) $13$
- d) $- 13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 5$

Din aditivitate, $\int_{2}^{5} f = \int_{0}^{5} f - \int_{0}^{2} f = 9 - 4 = 5$ , iar inversarea capetelor schimbă semnul: $\int_{5}^{2} f = - 5$ . Varianta $13$ adună în loc să scadă, iar $5$ uită tocmai inversarea capetelor.
Care afirmație este falsă?
- a) $\int_{a}^{b} (f + g) = \int_{a}^{b} f + \int_{a}^{b} g$
- b) $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$
- c) dacă $f \leq g$ pe $[a, b]$ și $a < b$ , atunci $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$
- d) $\int_{a}^{b} f g = \int_{a}^{b} f \cdot \int_{a}^{b} g$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\int_{a}^{b} f g = \int_{a}^{b} f \cdot \int_{a}^{b} g$

Liniaritatea privește numai adunarea și înmulțirea cu o constantă. Contraexemplu rapid, cu $f = g$ , $f (x) = x$ pe $[0, 1]$ : $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ , în timp ce produsul integralelor este $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . Celelalte trei afirmații sunt proprietăți demonstrate.

Întrebări conexe

Este integrala produsului egală cu produsul integralelor?

Nu, iar aici se citește greșit liniaritatea. Ea privește doar adunarea și înmulțirea cu un număr. Pe intervalul de la $0$ la $1$ , integrala lui $x^{2}$ este $\frac{1}{3}$ , în timp ce produsul celor două integrale ale lui $x$ dă $\frac{1}{4}$ .

Ce rezultă dacă integrala unei funcții este nulă?

Aproape nimic despre funcție. Ea poate lua și valori pozitive, și negative, care se compensează: integrala lui $x$ pe un interval simetric față de origine este zero, deși funcția se anulează într-un singur punct. Doar la funcții continue și pozitive concluzia devine tare.

Contează ordinea capetelor la monotonia integralei?

Da, și încă mult. Inegalitatea $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ cere $a < b$ ; cu limitele inversate amândouă integralele își schimbă semnul, deci se răstoarnă și inegalitatea. De aceea capetele se pun în ordine înainte de orice comparație.

Rămâne aditivitatea valabilă dacă punctul c e în afara intervalului?

Da, datorită convențiilor de orientare. Egalitatea se verifică și pentru un punct aflat dincolo de capătul din dreapta, fiindcă integrala cu limitele inversate își schimbă semnul, iar termenii se potrivesc. De aceea regula se folosește fără discuția poziției acelui punct.

Când are loc egalitate în inegalitatea modulului?

Exact atunci când funcția nu își schimbă semnul pe interval. Dacă rămâne peste axă sau dedesubtul ei, cele două integrale coincid în valoare absolută. La o funcție care trece prin zero schimbându-și semnul, integrala modulului este strict mai mare.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile integralei definite · liniaritatea integralei · aditivitatea în raport cu intervalul · monotonia integralei · inegalitatea modulului la integrale