Fie $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{2} - 6x + 8$$, și $$F$$ o primitivă a lui $$f$$. Atunci $$F$$ are:

un maxim în $$x = 2$$ și un minim în $$x = 4$$

un minim în $$x = 2$$ și un maxim în $$x = 4$$

un singur punct de extrem, în $$x = 3$$

Fie $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = (x - 3)^{2}$$, și $$F$$ o primitivă a lui $$f$$. Atunci $$F$$:

este crescătoare pe $$\mathbb{R}$$ și are un punct de inflexiune în $$x = 3$$

este descrescătoare pe $$(-\infty, 3)$$

Cum aflu monotonia unei primitive?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Proprietățile primitivei, citite din funcție

Din semnul funcției, fără să calculezi primitiva. Egalitatea $F^{'} = f$ arată că acolo unde $f > 0$ primitiva urcă, iar acolo unde $f < 0$ coboară, concluzia scriindu-se pe fiecare interval în parte. Pentru $f (x) = x - 2$ , orice primitivă scade pe $(- \infty, 2)$ și crește pe $(2, + \infty)$ , cu minim în $2$ . Toate primitivele au aceeași formă a graficului.

Egalitatea $F^{'} = f$ traduce orice întrebare despre primitivă într-o întrebare despre funcția dată, iar $F^{''} = f^{'}$ o traduce pe cea despre convexitate. De aici tabelul de traducere $f \to F$ , care se citește pe cinci rânduri.

Semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$ : unde $f > 0$ primitiva urcă, unde $f < 0$ coboară — iar concluzia se scrie întotdeauna pe un interval, niciodată pe o reuniune. Un zerou al lui $f$ dă punct de extrem al lui $F$ numai dacă $f$ își schimbă semnul acolo: din $+$ în $-$ maxim, din $-$ în $+$ minim; pentru $f (x) = x^{2}$ în $0$ nu există extrem, deși $f (0) = 0$ . Monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$ : $F$ este convexă exact pe intervalele pe care $f$ este crescătoare, iar punctele de inflexiune ale lui $F$ sunt punctele de extrem ale lui $f$ .

Tabelul de variație al lui $F$ se construiește deci fără a calcula primitiva, cu etichetele de rând scrise ca ecuații: $F^{'} (x) = f (x)$ și $F^{''} (x) = f^{'} (x)$ . Toate primitivele au aceeași formă a graficului — constanta doar le translatează pe verticală. Ce nu se poate afla din $f$ singură: semnul și zerourile lui $F$ ; pentru ele e nevoie de o condiție de tipul $F (x_{0}) = y_{0}$ . Iar rezolvarea începe mereu cu rândul „ $F$ e primitivă a lui $f$ , deci $F^{'} (x) = f (x)$ ”.

De reținut

$F^{'} = f$ și $F^{''} = f^{'}$
$f > 0$ : $F$ urcă; $f$ crescătoare: $F$ convexă
extrem al lui $F$ : $f$ schimbă semnul

Greșeala tipică

Se ia orice zerou al funcției drept punct de extrem al primitivei. Trebuie ca $f$ să își schimbe semnul acolo: la $f (x) = x^{2}$ punctul $0$ anulează funcția, dar primitiva rămâne crescătoare.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ , și $F$ o primitivă a lui $f$ . Atunci $F$ are:
- a) un minim în $x = 2$ și un maxim în $x = 4$
- b) niciun punct de extrem
- c) un singur punct de extrem, în $x = 3$
- d) un maxim în $x = 2$ și un minim în $x = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) un maxim în $x = 2$ și un minim în $x = 4$

Cum $F^{'} = f$ , extremele lui $F$ sunt în zerourile lui $f$ : $x = 2$ și $x = 4$ . Trinomul are semnul $+$ în afara rădăcinilor și $-$ între ele, deci în $2$ trece din $+$ în $-$ (maxim), iar în $4$ din $-$ în $+$ (minim). Punctul $x = 3$ este vârful parabolei lui $f$ , deci punct de inflexiune al lui $F$ .
Primitiva $F$ a unei funcții $f$ este convexă exact pe intervalele pe care:
- a) $F$ este crescătoare
- b) $f$ este pozitivă
- c) $f$ este crescătoare
- d) $f$ este descrescătoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f$ este crescătoare

Convexitatea lui $F$ se decide după semnul lui $F^{''} = f^{'}$ , iar $f^{'} \geq 0$ înseamnă $f$ crescătoare. Semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$ , nu convexitatea — confuzia dintre cele două informații este greșeala tipică a lecției.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = (x - 3)^{2}$ , și $F$ o primitivă a lui $f$ . Atunci $F$ :
- a) are un maxim în $x = 3$
- b) este crescătoare pe $R$ și are un punct de inflexiune în $x = 3$
- c) este descrescătoare pe $(- \infty, 3)$
- d) are un minim în $x = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) este crescătoare pe $R$ și are un punct de inflexiune în $x = 3$

Cum $f (x) \geq 0$ pe $R$ , cu egalitate doar în $3$ , primitiva este crescătoare pe tot $R$ : zeroul este dublu, deci $f$ nu își schimbă semnul și nu există extrem. În schimb $F^{''} = f^{'}$ , iar $f^{'} (x) = 2 (x - 3)$ își schimbă semnul în $3$ : acolo $F$ are punct de inflexiune.

Întrebări conexe

Ce spune monotonia funcției despre convexitatea primitivei?

Din $F^{''} = f^{'}$ rezultă că $F$ este convexă exact pe intervalele pe care $f$ crește și concavă acolo unde $f$ scade. Punctele de inflexiune ale primitivei sunt punctele de extrem ale funcției date, deci convexitatea se citește fără nicio derivare a expresiei găsite.

Cu ce rând începe rezolvarea unei probleme despre primitivă?

Cu propoziția că $F$ este primitivă a lui $f$ , deci $F^{'} (x) = f (x)$ pe intervalul dat. Rândul acesta traduce cerința despre $F$ într-una despre $f$ și are punctajul lui în barem; fără el, restul rezolvării pare scos din senin.

Cum construiesc tabelul de variație al primitivei?

Pui pe rândurile derivatelor etichetele $F^{'} (x) = f (x)$ și $F^{''} (x) = f^{'} (x)$ , apoi completezi cu semnele funcției date și ale derivatei ei. Rândul lui $F$ primește săgeți, nu valori, fiindcă expresia primitivei rămâne necunoscută.

Ce condiție trebuie dată ca să aflu zerourile primitivei?

O valoare impusă, de tipul $F (x_{0}) = y_{0}$ . Semnul și zerourile primitivei nu se pot citi din $f$ , fiindcă translația pe verticală le mută, deși monotonia și convexitatea rămân aceleași. Fără o astfel de condiție, întrebarea nu are răspuns.

De ce se scrie monotonia primitivei pe interval, nu pe reuniune?

Pentru că afirmația despre creștere se sprijină pe teorema lui Lagrange, care cere un interval. Pe o reuniune, funcția poate urca pe fiecare bucată fără să urce în ansamblu; scrierea corectă enumeră intervalele, despărțite prin virgulă.

Oamenii mai întreabă și: monotonia primitivei · ce spune semnul funcției despre primitivă · extremele unei primitive · convexitatea primitivei · tabelul de variație al primitivei