Pentru mulțimea $$D=\{2,\ 5,\ 9\}$$ este adevărat că:

$$D'=\emptyset$$, iar toate punctele lui $$D$$ sunt izolate

$$D'=D$$, iar $$D$$ nu are puncte izolate

Fie $$f(x)=\dfrac{x+3}{x^2-9}$$, cu domeniul maxim de definiție $$D$$. Atunci:

$$D'=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$$

Ce este un punct de acumulare?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Punct de acumulare și punct izolat

Un număr $x_{0}$ este punct de acumulare pentru o mulțime dacă orice vecinătate a lui conține măcar un element al mulțimii diferit de $x_{0}$ . Nu se cere ca $x_{0}$ să aparțină mulțimii: pentru intervalul $(0, 1)$ , capătul $0$ este punct de acumulare, deși nu face parte din el. Punctele mulțimii care nu au această proprietate se numesc izolate.

Un punct $x_{0} \in \overline{R}$ este punct de acumulare al mulțimii $D$ dacă orice vecinătate a lui conține cel puțin un punct din $D$ diferit de $x_{0}$ . Mulțimea tuturor acestor puncte se notează $D^{'}$ . Forma folosită în rezolvări este caracterizarea cu șiruri: $x_{0} \in D^{'}$ exact atunci când există un șir $(x_{n})$ cu termeni în $D$ , toți diferiți de $x_{0}$ , cu $x_{n} \to x_{0}$ .

Un punct $x_{0} \in D$ care nu este de acumulare se numește punct izolat. Cuvântul „izolat” se spune numai despre puncte ale mulțimii: un punct din afara lui $D$ care nu e de acumulare nu primește niciun nume.

Tiparele care se repetă la exerciții: la un interval, capetele sunt întotdeauna puncte de acumulare, incluse sau nu; o mulțime finită nu are niciun punct de acumulare; $+ \infty \in D^{'}$ exact când $D$ este nemărginită superior, iar $- \infty \in D^{'}$ exact când este nemărginită inferior. Pentru $D = {\frac{1}{n} n \in N^{*}}$ avem $D^{'} = {0}$ , deși $0 \in / D$ , iar toate punctele lui $D$ sunt izolate.

Un punct poate fi de acumulare la stânga, la dreapta sau bilateral. Totul servește o singură regulă: limita unei funcții se definește numai în puncte de acumulare ale domeniului.

De reținut

$x_{0}$ punct de acumulare: orice vecinătate conține un element al mulțimii, diferit de $x_{0}$
Apartenența la mulțime nu se cere: $0$ acumulează intervalul $(0, 1)$
Punct izolat: are o vecinătate în care este singurul element al mulțimii

Greșeala tipică

Se cere ca punctul de acumulare să facă parte din mulțime. Definiția nu impune nimic în acest sens, iar exemplele cele mai folositoare sunt tocmai cele în care punctul lipsește din mulțime.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră mulțimea $D = (- 3, 1] \cup {4}$ . Mulțimea $D^{'}$ a punctelor de acumulare ale lui $D$ este:
- a) $(- 3, 1]$
- b) $[- 3, 1] \cup {4}$
- c) $[- 3, 1]$
- d) $(- 3, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $[- 3, 1]$

Un interval contribuie cu el însuși împreună cu capetele, incluse sau nu, deci $(- 3, 1]$ dă $[- 3, 1]$ . Punctul $4$ este izolat (vecinătatea $(3, 5; 4, 5)$ nu conține alt punct al mulțimii), deci nu intră în $D^{'}$ . Așadar $D^{'} = [- 3, 1]$ .
Pentru mulțimea $D = {2, 5, 9}$ este adevărat că:
- a) $D^{'} = \emptyset$ , iar toate punctele lui $D$ sunt izolate
- b) $D^{'} = D$ , iar $D$ nu are puncte izolate
- c) $D^{'} = {+ \infty}$
- d) $D^{'} = \overline{R}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $D^{'} = \emptyset$ , iar toate punctele lui $D$ sunt izolate

O mulțime finită nu are niciun punct de acumulare: fiecare element are o distanță minimă strict pozitivă până la celelalte, iar o vecinătate mai mică decât această distanță îl izolează. Deci $D^{'} = \emptyset$ și toate cele trei puncte sunt izolate. Varianta c) ar cere ca $D$ să fie nemărginită superior.
Fie $f (x) = \frac{x + 3}{x ^{2} - 9}$ , cu domeniul maxim de definiție $D$ . Atunci:
- a) $D^{'} = D$
- b) $D^{'} = R$
- c) $D^{'} = R ∖ {- 3, 3}$
- d) $D^{'} = \overline{R}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $D^{'} = \overline{R}$

Numitorul se anulează pentru $x^{2} = 9$ , deci $D = R ∖ {- 3, 3}$ . Punctele scoase rămân puncte de acumulare: $\pm 3 \pm \frac{1}{n}$ sunt în $D$ și tind la $\pm 3$ . Mulțimea fiind nemărginită în ambele sensuri, se adaugă și $- \infty$ , $+ \infty$ , deci $D^{'} = \overline{R}$ — la această funcție se poate cere limita oriunde.

Întrebări conexe

Ce puncte de acumulare are un interval deschis?

Toate punctele lui, la care se adaugă cele două capete. Pentru $(2, 5)$ mulțimea punctelor de acumulare este $[2, 5]$ , deci capetele intră chiar dacă nu aparțin intervalului de pornire.

Are puncte de acumulare o mulțime finită?

Nu are niciunul. În jurul fiecărui element se poate lua o vecinătate destul de îngustă ca să nu prindă alt element, deci toate punctele unei mulțimi finite sunt izolate.

Ce puncte de acumulare are mulțimea numerelor de forma 1 supra n?

Doar pe $0$ . Termenii se strâng oricât de aproape de zero, în timp ce fiecare valoare $\frac{1}{n}$ are în jurul ei o vecinătate care nu prinde alt element al mulțimii, deci este punct izolat.

Poate un punct să fie și de acumulare, și izolat?

Nu, cele două noțiuni se exclud. Un punct izolat are o vecinătate în care stă singur, iar unul de acumulare are, în orice vecinătate, alți vecini din mulțime; condițiile nu pot fi îndeplinite deodată.

Ce puncte de acumulare are mulțimea numerelor raționale?

Toate numerele reale, fără excepție. Între oricare două numere se află o infinitate de fracții, deci orice vecinătate, oricât de îngustă, prinde elemente ale mulțimii; proprietatea aceasta se numește densitate.

De ce orice vecinătate a unui punct de acumulare conține o infinitate de elemente?

Fiindcă, dacă ar conține doar câteva, s-ar putea alege o vecinătate mai îngustă care să le evite pe toate, iar condiția s-ar strica. Existența unui singur vecin în fiecare vecinătate atrage, așadar, existența unei infinități.

Oamenii mai întreabă și: punct de acumulare · punct izolat al unei mulțimi · ce înseamnă punct de acumulare · puncte de acumulare ale unui interval