Fie $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{\lvert x-2 \rvert}{x-2}$$ pentru $$x \ne 2$$ și $$f(2)=0$$. Punctul $$2$$ este:

punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $$2$$

punct de discontinuitate de speța a II-a

punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $$0$$

Fie $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{1}{(x-4)^{2}}$$ pentru $$x \ne 4$$ și $$f(4)=5$$. Punctul $$4$$ este:

punct de discontinuitate de speța a II-a

punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $$0$$

punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $$5$$

Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

Un punct de discontinuitate aparține obligatoriu domeniului funcției

Funcția $$f:\mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac1x$$, are un punct de discontinuitate în $$0$$

Speța I înseamnă că limitele laterale există

Saltul se poate calcula și în punctele de speța a II-a

Ce este o discontinuitate de speța întâi?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puncte de discontinuitate

Un punct din domeniu în care funcția nu este continuă, dar unde ambele limite laterale sunt numere reale. Cerința ca ele să fie finite, nu doar existente, este exact ce urmărește baremul. Acolo se definește saltul, $s = l_{d} (x_{0}) - l_{s} (x_{0})$ , care poate ieși și zero. Orice altă situație — o laterală infinită sau inexistentă — dă speța a doua.

Un punct de discontinuitate este un punct din domeniu în care $f$ nu e continuă. Prima propoziție a oricărei rezolvări este deci domeniul: $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , nu are niciun punct de discontinuitate, pentru că $0$ nu îi aparține; dar $g : R \to R$ cu $g (x) = \frac{1}{x}$ pentru $x \neq = 0$ și $g (0) = 0$ are unul, în $0$ .

Lanțul $l_{s} (x_{0}) = f (x_{0}) = l_{d} (x_{0})$ poate cădea în trei feluri: lateralele sunt finite și egale între ele, dar diferite de $f (x_{0})$ ; lateralele sunt finite și diferite; sau cel puțin una nu există ori e infinită.

Clasificarea. Speța I: limitele laterale există și sunt FINITE — cuvântul „finite” este partea pe care baremele o verifică; o formulare fără el este greșită. Speța a II-a: orice altceva. Etalonul-capcană: $f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ pentru $x \neq = 0$ , $f (0) = 1$ — ambele laterale există și sunt egale cu $+ \infty$ , dar punctul e de speța a II-a.

Saltul $s = l_{d} (x_{0}) - l_{s} (x_{0})$ se definește numai la speța I; el poate fi și nul. Exemplul-etalon: partea întreagă, cu salt $1$ în fiecare număr întreg.

De reținut

speța întâi cere ca ambele laterale să existe și să fie finite
saltul $s = l_{d} (x_{0}) - l_{s} (x_{0})$ se definește numai la speța întâi
punctul de discontinuitate se caută doar în domeniu

Greșeala tipică

Se spune despre speța întâi doar că limitele laterale există, fără cuvântul finite. Fără el, exemplul cu ambele laterale egale cu $+ \infty$ ar intra greșit în prima categorie.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{∣ x - 2 ∣}{x - 2}$ pentru $x \neq = 2$ și $f (2) = 0$ . Punctul $2$ este:
- a) punct de continuitate
- b) punct de discontinuitate de speța a II-a
- c) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $0$
- d) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $2$

Pentru $x < 2$ avem $∣ x - 2 ∣ = 2 - x$ , deci $f (x) = - 1$ ; pentru $x > 2$ , $f (x) = 1$ . Așadar $l_{s} (2) = - 1$ și $l_{d} (2) = 1$ : finite și diferite, deci speța I, cu saltul $s = 1 - (- 1) = 2$ . Valoarea $f (2) = 0$ nu intră în calculul saltului.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{1}{( x - 4 ) ^{2}}$ pentru $x \neq = 4$ și $f (4) = 5$ . Punctul $4$ este:
- a) punct de continuitate
- b) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $0$
- c) punct de discontinuitate de speța a II-a
- d) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) punct de discontinuitate de speța a II-a

Numitorul $(x - 4)^{2}$ este strict pozitiv de ambele părți, deci $l_{s} (4) = l_{d} (4) = + \infty$ : limitele există și sunt chiar egale, dar nu sunt finite. Definiția speței I cere finitudinea, deci punctul e de speța a II-a, iar saltul nu se definește. Aceasta e capcana-etalon a lecției.
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) Funcția $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , are un punct de discontinuitate în $0$
- b) Un punct de discontinuitate aparține obligatoriu domeniului funcției
- c) Speța I înseamnă că limitele laterale există
- d) Saltul se poate calcula și în punctele de speța a II-a
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Un punct de discontinuitate aparține obligatoriu domeniului funcției

Continuitatea în $x_{0}$ se scrie $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ ; dacă $x_{0} \in / D$ , membrul drept nici nu se poate scrie, deci afirmația nu are ce să fie nici adevărată, nici falsă. De aceea a) e falsă: pe $R^{*}$ funcția e continuă peste tot. c) e formularea incompletă a lecției — lipsește „și sunt finite”. d) e falsă: la speța a II-a diferența $l_{d} - l_{s}$ ori nu are sens, ori este o operație interzisă.

Întrebări conexe

Ce discontinuitate are 1 supra x pătrat, prelungită cu o valoare în zero?

Este de speța a doua. Ambele laterale există și sunt egale, dar valorează $+ \infty$ , deci nu sunt finite. Exemplul este etalonul-capcană al lecției: egalitatea lateralelor nu ajunge, ele trebuie să fie și numere.

Ce discontinuitate are sinus de 1 supra x în zero?

Una de speța a doua: valorile oscilează la nesfârșit între $- 1$ și $1$ pe măsură ce se apropie de origine, deci nicio limită laterală nu există. Exemplul arată că speța a doua nu înseamnă neapărat limite infinite, ci și limite care lipsesc cu totul.

Ce fel de discontinuități poate avea o funcție monotonă?

Numai de speța întâi. Monotonia garantează că amândouă limitele laterale există și sunt finite în orice punct interior, deci nu se poate ajunge la speța a doua. Din același motiv, o funcție monotonă pe un interval nu are decât salturi, nu și oscilații.

Poate un punct din afara domeniului să fie de discontinuitate?

Nu. Discuția are sens doar în punctele în care funcția chiar este definită. De aceea $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , nu are niciun punct de discontinuitate, deși graficul pare rupt: numărul $0$ nu îi aparține domeniului.

Ce discontinuitate apare când lateralele sunt egale, dar diferite de valoare?

Tot una de speța întâi, cu saltul $0$ . Se numește uneori discontinuitate care se poate înlătura, fiindcă redefinind $f (x_{0})$ cu valoarea comună a lateralelor funcția devine continuă. Este singurul caz în care saltul iese nul.

Cum se numește discontinuitatea în care lateralele sunt infinite?

Speța a doua. Ea adună tot ce nu intră în prima categorie: o laterală infinită, o laterală care nu există sau amândouă deodată. La $\frac{1}{x}$ prelungită în zero, cele două laterale sunt $- \infty$ și $+ \infty$ .

Oamenii mai întreabă și: discontinuitate de speța 1 · punct de discontinuitate · speța întâi și speța a doua · saltul unei funcții · tipuri de discontinuități