Cum aflu punctele de maxim și de minim?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puncte de extrem local

Teorema lui Fermat strânge suspecții — punctele critice, punctele de nederivabilitate și capetele domeniului —, dar nu spune care dintre ei este extrem. Judecătorul este criteriul derivatei întâi: dacă $f$ este continuă în $x_0$, iar $f^{\prime }$ trece de la $+$ la $-$, atunci $x_0$ este punct de maxim local; dacă trece de la $-$ la $+$, este punct de minim local; dacă semnul rămâne același de o parte și de alta, $x_0$ nu este punct de extrem.

Observă ce se cere și ce nu: continuitatea în $x_0$ este obligatorie, derivabilitatea acolo — nu. De aceea criteriul decide și în colțuri, unde derivatele laterale sunt finite și diferite, și în punctele de întoarcere, unde sunt infinite. Funcția $f(x)=\left|x\right|$ are minim în origine tocmai așa.

Regula de redactare care se punctează separat în barem: punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$. Cerința „punctul de minim" cere abscisa, cerința „minimul" cere valoarea.

Un extrem local se compară doar cu o vecinătate. Pentru extremele globale pe un interval închis se calculează valorile în punctele critice, în punctele de nederivabilitate și în cele două capete, apoi se compară numerele; pe un domeniu nemărginit, comparația o face monotonia.

La problemele cu parametru, $f^{\prime }(x_0)=0$ este doar condiția necesară; verificarea naturii punctului, cu semnul lui $f^{\prime }$, este pasul al doilea și nu se sare.

De reținut

• $f^{\prime }$ de la $+$ la $-$ dă maxim local; de la $-$ la $+$ dă minim local
• criteriul cere continuitatea în punct, nu și derivabilitatea
• punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$

Greșeala tipică

Se dă ca răspuns valoarea funcției când se cere punctul de extrem, sau invers. Cerința „punctul de maxim” cere abscisa, iar „maximul” cere valoarea din acel punct.

Exerciții din această mini-lecție

1. Punctul de maxim local al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x+5$, este:

   • a) $x_0=2$
   • b) $x_0=21$
   • c) $x_0=-2$
   • d) $x_0=-11$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x_0=-2$

   $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. Semnele sunt $+$, $-$, $+$, deci în $-2$ trecerea este de la $+$ la $-$: punct de maxim local. Valoarea maximă este $f(-2)=21$, iar $-11=f(2)$ este valoarea minimului local — numere care răspund la altă întrebare: punctul de extrem este abscisa, nu valoarea.

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-6x+5\right|$, are în $x_0=3$:

   • a) punct de maxim local, cu valoarea $4$
   • b) punct de minim local, cu valoarea $4$
   • c) punct de maxim local, cu valoarea $3$
   • d) niciun extrem, pentru că $f$ nu este derivabilă acolo
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) punct de maxim local, cu valoarea $4$

   Trinomul are rădăcinile $1$ și $5$, deci pe $(1,5)$ modulul se explicitează: $f(x)=-x^2+6x-5$, cu $f^{\prime }(x)=-2x+6$, pozitivă înainte de $3$ și negativă după. Trecerea $+\to -$ dă maxim local, iar valoarea este $f(3)=\left|9-18+5\right|=4$. În $3$ funcția este chiar derivabilă; punctele unghiulare sunt $1$ și $5$, unde se află două minime globale.

3. Valoarea maximă a funcției $f:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+1$, este:

   • a) $-1$
   • b) $1$
   • c) $2$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $3$

   $f^{\prime }(x)=3x^2-3$ se anulează în $\pm 1$, dintre care $1$ este interior intervalului. Se compară valorile din toți candidații: $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(2)=3$. Cea mai mare este $3$, atinsă în ambele capete, iar cea mai mică este $-1$. Extremele globale nu stau neapărat într-un punct critic — capetele intră întotdeauna în comparație.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: puncte de extrem local · criteriul derivatei întâi · cum aflu maximul unei funcții · punct de maxim și punct de minim · valoarea extremă a unei funcții