Se consideră $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = (x-3)^{4} + 2x$$. Despre $$x_0 = 3$$ se poate spune că:

nu este punct de inflexiune, pentru că $$f''$$ nu își schimbă semnul acolo

este punct de inflexiune, pentru că $$f''(3) = 0$$

Funcția $$f : \mathbb{R} \setminus \{5\} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \dfrac{1}{x-5}$$:

nu are puncte de inflexiune, deși semnul lui $$f''$$ se schimbă în jurul lui $$5$$

are punctul de inflexiune $$x_0 = 5$$

are punctul de inflexiune al graficului $$(5, 0)$$

Cum găsesc punctele de inflexiune?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puncte de inflexiune

Rezolvi ecuația $f^{''} (x) = 0$ , adaugi punctele în care $f^{''}$ nu există, apoi verifici pentru fiecare candidat dacă derivata a doua își schimbă efectiv semnul. Punctul trebuie să fie în interiorul domeniului, iar funcția să fie continuă acolo. La $f (x) = x^{3}$ avem $f^{''} (x) = 6 x$ , care trece de la minus la plus în origine, deci $0$ este punct de inflexiune.

Punctul de inflexiune este locul unde graficul trece de la a ține apa la a o vărsa, sau invers — momentul de cotitură, în care se schimbă ritmul, nu direcția.

Definiție: $x_{0}$ , punct din interiorul domeniului, în care $f$ este continuă, se numește punct de inflexiune dacă funcția își schimbă convexitatea acolo: de o parte $\cup$ , de cealaltă $\cap$ .

Condiția necesară restrânge căutarea: dacă $f$ este de două ori derivabilă în jurul lui $x_{0}$ și $x_{0}$ e punct de inflexiune, atunci $f^{''} (x_{0}) = 0$ . Motivul e teorema lui Fermat aplicată lui $f^{'}$ , care are acolo un extrem local. Ecuația $f^{''} (x) = 0$ dă deci o listă de candidați, nu un răspuns.

Criteriul complet cere ca $f^{''}$ să își schimbe efectiv semnul în $x_{0}$ . De aici cele două capcane, oglindă una alteia: la $f (x) = x^{4}$ avem $f^{''} (0) = 0$ , dar semnul rămâne pozitiv, deci nu e inflexiune; la $f (x) = \frac{1}{x}$ semnul lui $f^{''}$ chiar se schimbă, dar $0$ nu aparține domeniului, deci iarăși nu e inflexiune. Sunt necesare amândouă condițiile.

Punct $\neq =$ valoare, și aici: $x_{0}$ este punctul de inflexiune al funcției, iar perechea $(x_{0}, f (x_{0}))$ este punctul de inflexiune al graficului. În tabel, valoarea primește marcajul $I$ , perechea lui $M$ și $m$ . Nu confunda rândurile: extremul ține de $f^{'}$ și de monotonie, inflexiunea de $f^{''}$ și de curbură.

De reținut

$f^{''} (x_{0}) = 0$ este doar condiție necesară
candidatul devine inflexiune numai dacă $f^{''}$ trece de la un semn la celălalt
inflexiunea funcției este $x_{0}$ , a graficului este $(x_{0}, f (x_{0}))$

Greșeala tipică

Se dau ca inflexiuni toate rădăcinile ecuației $f^{''} (x) = 0$ . Ele sunt doar candidați; rămân cele în care derivata a doua chiar trece de la un semn la celălalt.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = (x - 3)^{4} + 2 x$ . Despre $x_{0} = 3$ se poate spune că:
- a) este punct de inflexiune, pentru că $f^{''} (3) = 0$
- b) nu este punct de inflexiune, pentru că $f^{''}$ nu își schimbă semnul acolo
- c) este punct de minim local
- d) este punct de maxim local
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu este punct de inflexiune, pentru că $f^{''}$ nu își schimbă semnul acolo

$f^{'} (x) = 4 (x - 3)^{3} + 2$ și $f^{''} (x) = 12 (x - 3)^{2}$ , care se anulează în $3$ și este strict pozitivă în rest: semnul rămâne $+$ de ambele părți, deci funcția e convexă și nu își schimbă curbura. Nu e nici punct de extrem, pentru că $f^{'} (3) = 2 \neq = 0$ . Este varianta deghizată a capcanei standard $x^{4}$ : anularea lui $f^{''}$ e doar condiție necesară.
Funcția $f : R ∖ {5} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x - 5}$ :
- a) nu are puncte de inflexiune, deși semnul lui $f^{''}$ se schimbă în jurul lui $5$
- b) are punctul de inflexiune $x_{0} = 5$
- c) are punctul de inflexiune al graficului $(5, 0)$
- d) este convexă pe tot domeniul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) nu are puncte de inflexiune, deși semnul lui $f^{''}$ se schimbă în jurul lui $5$

$f^{''} (x) = \frac{2}{( x - 5 ) ^{3}}$ este negativă înainte de $5$ și pozitivă după, deci funcția e concavă pe $(- \infty, 5)$ și convexă pe $(5, + \infty)$ . Definiția cere însă ca punctul să fie interior domeniului, iar $5$ nu aparține domeniului: nu există nicio vecinătate a lui pe care funcția să fie definită, deci nu există nicio trecere. În tabel, acolo se scrie bara $∣$ , nu $0$ .
Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 7$ , punctul de inflexiune al graficului este:
- a) $x_{0} = 2$
- b) $(2, 7)$
- c) $(- 9, 2)$
- d) $(2, - 9)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(2, - 9)$

$f^{''} (x) = 6 x - 12$ se anulează în $2$ și trece de la minus la plus, deci $x_{0} = 2$ este punct de inflexiune al funcției. Cerința fiind despre grafic, răspunsul are două coordonate: $f (2) = 8 - 24 + 7 = - 9$ , deci punctul este $(2, - 9)$ . Valoarea $7$ este $f (0)$ , iar inversarea coordonatelor este cealaltă greșeală clasică.

Întrebări conexe

Ce condiție necesară dă teorema lui Fermat aplicată derivatei întâi?

Că într-un punct de inflexiune derivata a doua se anulează, presupunând că ea există în jur. Explicația: acolo $f^{'}$ are un extrem local, iar teorema lui Fermat cere anularea derivatei ei, adică a lui $f^{''}$ .

De ce x la a patra nu are punct de inflexiune în zero?

Fiindcă $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ se anulează acolo, dar rămâne pozitivă de amândouă părțile. Convexitatea nu se schimbă, deci condiția principală nu este îndeplinită. Anularea derivatei a doua dă doar o listă de candidați.

Ce punct de inflexiune are funcția x la a treia?

Originea. Derivata a doua $6 x$ este negativă la stânga și pozitivă la dreapta, deci curba trece de la concavă la convexă. Punctul de inflexiune al funcției este $0$ , iar al graficului este perechea $(0, 0)$ .

Poate o funcție să aibă mai multe puncte de inflexiune?

Da, oricâte. La $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ derivata a doua este $(x^{2} + 4 x - 1) e^{x}$ , iar trinomul are două rădăcini reale, în fiecare dintre ele semnul schimbându-se: graficul are două cotituri. O funcție de gradul al treilea are însă întotdeauna una singură.

Trebuie ca punctul de inflexiune să fie în interiorul domeniului?

Da, iar cerința aceasta elimină multe răspunsuri greșite. La $\frac{1}{x}$ , derivata a doua chiar își schimbă semnul trecând prin zero, dar acel punct nu aparține domeniului, deci funcția nu are inflexiune.

Ce se schimbă în punctul de inflexiune: direcția sau ritmul?

Ritmul. Funcția poate urca și înainte, și după, doar că trece de la o creștere tot mai rapidă la una tot mai lentă. Direcția se schimbă în punctele de extrem, care țin de derivata întâi.

Oamenii mai întreabă și: puncte de inflexiune · cum determin inflexiunile · derivata a doua egală cu zero · schimbarea convexității · punct de inflexiune al graficului