Pentru $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\sqrt{\lvert x-4 \rvert}$$, punctul $$x_0=4$$ este:

punct în care graficul are tangentă verticală, dar nu se întoarce

punct în care $$f$$ este derivabilă, cu $$f'(4)=0$$

Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\sqrt[3]{x+5}$$, și $$x_0=-5$$. Care afirmație este corectă?

$$f_s'(-5)=f_d'(-5)=+\infty$$, deci graficul are tangentă verticală, iar $$-5$$ nu este punct de întoarcere

$$-5$$ este punct de întoarcere

$$f$$ este derivabilă în $$-5$$

Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\begin{cases} 2x, & x<0 \\ \sqrt{x}, & x \ge 0 \end{cases}$$. Punctul $$x_0=0$$ este:

punct unghiular, cu o semitangentă de pantă $$2$$ și una verticală

punct de întoarcere, pentru că o derivată laterală este infinită

punct în care $$f$$ este derivabilă

punct în care $$f$$ nu este continuă

Cum recunosc un punct unghiular?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puncte unghiulare și puncte de întoarcere

Verifici trei lucruri: funcția să fie continuă acolo, derivatele laterale să existe, iar valorile lor să fie diferite, cu măcar una finită. Atunci semitangentele nu se prelungesc una pe alta, iar graficul capătă un colț. Etalonul este $f (x) = ∣ x ∣$ în $0$ , unde ele valorează $- 1$ și $1$ . Dacă amândouă ies infinite și de semne contrare, punctul se numește de întoarcere.

Dacă lăsăm punctul mobil să se apropie de $M_{0}$ numai dinspre o parte, secantele au o poziție-limită proprie: semitangenta. Panta semitangentei la stânga este $f_{s}^{'} (x_{0})$ , a celei la dreapta este $f_{d}^{'} (x_{0})$ . Când cele două sunt finite și egale, semitangentele se prelungesc una pe alta și formează tangenta obișnuită; când nu, graficul are un defect vizibil.

Punct unghiular: $f$ este continuă în $x_{0}$ , derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una este finită. Graficul are un colț. Etalonul: $f (x) = ∣ x ∣$ în $0$ , cu $f_{s}^{'} (0) = - 1$ și $f_{d}^{'} (0) = 1$ . Condiția „cel puțin una finită" nu e o toleranță întâmplătoare — există colțuri autentice cu o semitangentă verticală.

Punct de întoarcere: $f$ este continuă în $x_{0}$ , iar derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare. Ambele semitangente sunt verticale și îndreptate la fel, deci graficul urcă lipit de verticală și se întoarce. Etalonul: $f (x) = ∣ x ∣$ în $0$ .

Capcana: la $f (x) = 3 x$ în $0$ derivatele laterale sunt amândouă $+ \infty$ , deci egale — graficul are tangentă verticală, dar punctul nu este nici unghiular, nici de întoarcere. Cheia clasificării este semnul, nu infinitatea.

Ordinea de lucru rămâne aceeași: întâi continuitatea, apoi derivatele laterale din definiție, apoi verdictul, formulat cu numele exact al punctului.

De reținut

unghiular: continuă, laterale diferite, cel puțin una finită
de întoarcere: continuă, laterale infinite și de semne contrare
laterale infinite și egale dau doar tangentă verticală

Greșeala tipică

Se numește punct de întoarcere orice punct în care derivatele laterale ies infinite. Ele trebuie și să aibă semne opuse; când coincid, graficul are doar tangentă verticală.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ x - 4 ∣$ , punctul $x_{0} = 4$ este:
- a) punct unghiular
- b) punct de întoarcere
- c) punct în care graficul are tangentă verticală, dar nu se întoarce
- d) punct în care $f$ este derivabilă, cu $f^{'} (4) = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) punct de întoarcere

$f (4) = 0$ și funcția este continuă. Pentru $x > 4$ , $\frac{x - 4}{x - 4} = \frac{1}{x - 4} \to + \infty$ ; pentru $x < 4$ , $\frac{4 - x}{x - 4} = - \frac{1}{4 - x} \to - \infty$ . Derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci punctul este de întoarcere.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 5$ , și $x_{0} = - 5$ . Care afirmație este corectă?
- a) $f_{s}^{'} (- 5) = f_{d}^{'} (- 5) = + \infty$ , deci graficul are tangentă verticală, iar $- 5$ nu este punct de întoarcere
- b) $- 5$ este punct de întoarcere
- c) $- 5$ este punct unghiular
- d) $f$ este derivabilă în $- 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f_{s}^{'} (- 5) = f_{d}^{'} (- 5) = + \infty$ , deci graficul are tangentă verticală, iar $- 5$ nu este punct de întoarcere

Raportul de diferențe este $\frac{3 x + 5}{x + 5} = \frac{1}{3 ( x + 5 ) ^{2}}$ , cu numitor strict pozitiv de ambele părți, deci ambele derivate laterale sunt $+ \infty$ . Fiind egale, nu poate fi vorba nici de colț, nici de întoarcere: graficul are tangenta verticală $x = - 5$ .
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = {2 x, x, x < 0 x \geq 0$ . Punctul $x_{0} = 0$ este:
- a) punct de întoarcere, pentru că o derivată laterală este infinită
- b) punct în care $f$ este derivabilă
- c) punct unghiular, cu o semitangentă de pantă $2$ și una verticală
- d) punct în care $f$ nu este continuă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) punct unghiular, cu o semitangentă de pantă $2$ și una verticală

Ambele ramuri dau $0$ în punct, deci $f$ este continuă. Apoi $f_{s}^{'} (0) = lim \frac{2 x}{x} = 2$ , iar $f_{d}^{'} (0) = lim \frac{x}{x} = + \infty$ . Derivatele laterale există, sunt diferite și una este finită — exact definiția punctului unghiular. Pentru întoarcere ar fi fost nevoie ca amândouă să fie infinite, de semne contrare.

Întrebări conexe

Ce sunt semitangentele la graficul unei funcții?

Sunt pozițiile-limită ale secantelor atunci când punctul mobil se apropie numai dintr-o parte. Panta celei din stânga este $f_{s}^{'} (x_{0})$ , a celei din dreapta este $f_{d}^{'} (x_{0})$ . Când cele două numere coincid și sunt finite, semitangentele se unesc în tangenta obișnuită.

Ce punct are graficul lui radical din modul de x, în zero?

Un punct de întoarcere. Pe stânga derivata laterală coboară la $- \infty$ , pe dreapta urcă la $+ \infty$ : valori infinite, cu semne opuse. Cele două semitangente ies verticale, iar curba se lipește de verticală, urcă și apoi se răsucește înapoi.

De ce radicalul de ordinul al treilea nu dă punct de întoarcere?

Fiindcă în origine derivatele lui laterale sunt amândouă $+ \infty$ , deci egale. Punctul de întoarcere cere semne contrare, nu doar valori infinite. Graficul primește acolo o tangentă verticală, dar nu este nici colț, nici întoarcere.

Ce condiție de semn cere punctul de întoarcere?

Ca cele două derivate laterale să fie infinite și cu semne opuse: una $- \infty$ , cealaltă $+ \infty$ . Cheia clasificării stă în semn, nu în faptul că valorile sunt infinite. Fără semne contrare rămâi la o simplă tangentă verticală.

Poate o funcție discontinuă să aibă punct unghiular?

Nu. Amândouă definițiile pornesc de la continuitatea în punctul studiat, așa că prima verificare este tot ea. Într-un punct de discontinuitate nu se mai discută nici colțul, nici întoarcerea, funcția fiind oricum nederivabilă acolo.

Cât sunt derivatele laterale ale modulului de x minus 3, în 3?

La stânga expresia de sub modul este negativă, deci funcția devine $3 - x$ și derivata laterală valorează $- 1$ ; la dreapta funcția este $x - 3$ , cu derivata $1$ . Fiind finite și diferite, punctul $3$ este unghiular.

Oamenii mai întreabă și: punct unghiular · punct de întoarcere · colț pe graficul unei funcții · semitangente la grafic · cum recunosc punctul de întoarcere