Se consideră $$N = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$$. Care afirmație este adevărată?

$$N^{2} = O_2$$, deși $$N \ne O_2$$

Pentru $$D = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$, matricea $$D^{5}$$ este:

$$\begin{pmatrix} -32 & 0 \\ 0 & 243 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 32 & 0 \\ 0 & 243 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -10 & 0 \\ 0 & 15 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -32 & 0 \\ 0 & 15 \end{pmatrix}$$

Cum ridic o matrice la pătrat?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puterea unei matrice pătratice

Ridicarea la pătrat înseamnă $A^{2} = A \cdot A$ , deci se aplică regula obișnuită de înmulțire, cu linia lui $A$ peste coloana lui $A$ . Pentru $A = (1324)$ iese $A^{2} = (7151022)$ , fiindcă $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7$ și așa mai departe. Rezultatul păstrează ordinul matricei de pornire. Elementele nu se ridică separat la pătrat: $7$ nu are nicio legătură cu $1^{2}$ .

Produsul $A \cdot A$ cere ca numărul de coloane să fie egal cu numărul de linii, deci numai matricele pătratice au puteri: pentru $A \in M_{2, 3} (C)$ , scrierea $A^{2}$ nu este greșită, ci imposibilă. Definiția este prin recurență: $A^{1} = A$ și $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ , cu convenția $A^{0} = I_{n}$ , aleasă tocmai ca regula $A^{m} A^{n} = A^{m + n}$ să rămână valabilă. Se păstrează și $(A^{m})^{n} = A^{mn}$ .

Se pierde, în schimb, $(A B)^{n} = A^{n} B^{n}$ : ca să ajungi de la $A B A B$ la $AA B B$ ar trebui să schimbi ordinea din mijloc. Egalitatea este adevărată exact atunci când $A B = B A$ . Din același motiv, $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , iar termenul $2 A B$ apare doar dacă matricele comută.

O matrice diagonală se ridică la putere element cu element, pe diagonală. Trei familii dau răspunsul imediat: idempotente ( $A^{2} = A$ , deci $A^{n} = A$ ), nilpotente ( $A^{k} = O_{n}$ , deci toate puterile de la $k$ încolo sunt nule) și involutive ( $A^{2} = I_{n}$ , deci puterile alternează). Reține deosebirea esențială față de numere: din $A^{2} = O_{n}$ nu rezultă $A = O_{n}$ . Regula practică pentru examen: primul gest la orice exercițiu cu puteri este calculul lui $A^{2}$ — el arată singur în ce familie te afli.

De reținut

$A^{n} = n A \cdot A \dots A$ , definită doar la matrice pătratice
$A^{0} = I_{n}$ , $A^{m} A^{n} = A^{m + n}$ , $(A^{m})^{n} = A^{mn}$
Elementele NU se ridică separat la putere

Greșeala tipică

Se ridică fiecare element al matricei la puterea cerută, ca la un tablou de numere. Puterea se calculează prin înmulțiri repetate de matrice, unde fiecare element nou este o sumă de produse dintre o linie și o coloană.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (31 - 6 - 2)$ . Atunci $A^{7}$ este egală cu:
- a) $O_{2}$
- b) $I_{2}$
- c) $3^{6} A$
- d) $A$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $A$

Primul gest este calculul pătratului: $A^{2} = (9 - 6 3 - 2 - 18 + 12 - 6 + 4) = (31 - 6 - 2) = A$ , deci $A$ este idempotentă. De aici, dacă $A^{k} = A$ , atunci $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A = A^{2} = A$ : toate puterile coincid cu $A$ , în particular $A^{7} = A$ .
Se consideră $N = (42 - 8 - 4)$ . Care afirmație este adevărată?
- a) $N^{2} = O_{2}$ , deși $N \neq = O_{2}$
- b) $N^{2} = N$
- c) $N^{2} = I_{2}$
- d) $N^{2} = 4 N$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $N^{2} = O_{2}$ , deși $N \neq = O_{2}$

Calculăm: $N^{2} = (16 - 16 8 - 8 - 32 + 32 - 16 + 16) = O_{2}$ , iar $N$ este evident nenulă. Matricea este deci nilpotentă, de indice $2$ , și toate puterile ei de exponent cel puțin $2$ sunt nule. La numere, din $x^{2} = 0$ rezultă $x = 0$ ; la matrice, nu.
Pentru $D = (- 2 0 03)$ , matricea $D^{5}$ este:
- a) $(3200243)$
- b) $(- 32 0 0243)$
- c) $(- 10 0 015)$
- d) $(- 32 0 015)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- 32 0 0243)$

O matrice diagonală se ridică la putere element cu element, pe diagonală: $(- 2)^{5} = - 32$ și $3^{5} = 243$ , restul rămânând zerouri. Semnul se păstrează, pentru că exponentul $5$ este impar. Variantele c) și d) conțin înmulțirea cu $5$ în loc de ridicarea la puterea a cincea.

Întrebări conexe

Ce tip are matricea obținută când înmulțesc A cu ea însăși?

Același tip cu $A$ : dacă matricea este de ordin $n$ , atunci și pătratul ei este de ordin $n$ . Regula produsului potrivește coloanele factorului din stânga cu liniile celui din dreapta, iar la matricele pătratice potrivirea se face de la sine, oricare ar fi ordinul lor.

Este adevărat că A la pătrat are elementele ridicate la pătrat?

Nu, iar aceasta este confuzia care strică cele mai multe exerciții. Fiecare element al pătratului este o sumă de produse dintr-o linie întreagă și o coloană întreagă, deci amestecă mai multe valori. Ridicarea separată a elementelor descrie cu totul altă operație.

Cât face puterea n a unei matrice diagonale?

Matricea rămâne diagonală, iar fiecare element al diagonalei se ridică singur la puterea $n$ . Pentru $D = (2005)$ iese $D^{n} = (2^{n} 0 0 5^{n})$ , fiindcă la înmulțire liniile nu se amestecă între ele.

Se păstrează regula produsului de puteri și la matrice?

Da, $A^{m} \cdot A^{n} = A^{m + n}$ și $(A^{m})^{n} = A^{mn}$ rămân adevărate, fiindcă toți factorii sunt aceeași matrice și ordinea lor nu are cum să conteze. Cade doar $(A B)^{n} = A^{n} B^{n}$ , care cere ca cei doi factori să fie permutabili.

Cum recunosc că puterile unei matrice se repetă periodic?

Calculezi câteva puteri și urmărești dacă reapare o matrice deja obținută, de obicei $I_{n}$ sau $A$ . Când $A^{k} = I_{n}$ , șirul puterilor se reia din $k$ în $k$ , iar exponenții mari se reduc prin restul împărțirii la $k$ .

Cum calculez A la puterea a patra fără patru înmulțiri?

Ridici la pătrat de două ori: $A^{4} = (A^{2})^{2}$ . În loc de trei produse de matrice faci două, iar la exponenți mari câștigul crește mult, fiindcă $A^{8}$ cere trei ridicări la pătrat, nu șapte înmulțiri.

Oamenii mai întreabă și: cum calculez A la pătrat la matrice · matrice ridicată la puterea a doua · A ori A cum se face · cum se calculează A la cub