Care egalitate este adevărată în orice grup $$(G, \cdot)$$, pentru orice $$x, y \in G$$ și orice $$m, n \in \mathbb{Z}$$?

din $$x^{6} = e$$ rezultă că perioada lui $$x$$ este $$6$$

Ce înseamnă x⁰ într-un grup?

Este elementul neutru e, prin convenția de la care pornește definiția recurentă. Alegerea nu e arbitrară: numai așa rămâne adevărată regula x^(m)· xⁿ=x^(m+n) atunci când unul dintre exponenți este zero. Într-un grup aditiv, aceeași convenție se scrie 0· x=0.

Ce înseamnă x la puterea minus n într-un grup?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Puterile unui element

Înseamnă puterea a $n$ -a a simetricului: $x^{- n} = (x^{- 1})^{n}$ . Definiția pornește de la $x^{0} = e$ și $x^{n + 1} = x^{n} \cdot x$ , iar completarea cu exponenți negativi face ca $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ și $(x^{m})^{n} = x^{mn}$ să funcționeze pentru orice numere întregi. Într-un grup scris aditiv, aceeași noțiune se numește multiplu și se scrie $- n x$ .

Puterea $x^{n}$ a unui element dintr-un grup $(G, \cdot)$ se definește prin recurență: $x^{0} = e$ , $x^{n + 1} = x^{n} \cdot x$ și $x^{- n} = (x^{- 1})^{n}$ , astfel încât exponentul poate fi orice număr întreg. Regulile $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ și $(x^{m})^{n} = x^{mn}$ sunt adevărate în orice grup și se demonstrează prin inducție, pornind de la asociativitate. A treia regulă de la numere nu se transferă: $(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$ are loc dacă și numai dacă $x$ și $y$ comută, iar pentru $n = 2$ demonstrația se face simplificând $x y x y = xx y y$ la stânga cu $x$ și la dreapta cu $y$ .

Într-un grup finit, puterile $x^{1}, x^{2}, x^{3}, \dots$ nu pot fi toate distincte, deci există $i < j$ cu $x^{i} = x^{j}$ și, prin simplificare, $x^{j - i} = e$ . Cel mai mic exponent natural nenul $k$ cu $x^{k} = e$ se numește, în această lecție, perioada lui $x$ . Ea aduce trei consecințe: puterile se repetă din $k$ în $k$ , adică $x^{n} = x^{r}$ unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la $k$ ; inversul se scrie ca putere pozitivă, $x^{- 1} = x^{k - 1}$ ; iar puterile distincte sunt exact $k$ la număr. Rețeta pentru exponenți uriași are trei pași: afli perioada, împarți exponentul la ea cu rest, scrii $x^{n} = x^{r}$ . În grupurile aditive puterea se numește multiplu și se scrie $n x$ , nu $x^{n}$ .

De reținut

$x^{0} = e$ , $x^{n + 1} = x^{n} \cdot x$ , $x^{- n} = (x^{- 1})^{n}$
$x^{m} x^{n} = x^{m + n}$ și $(x^{m})^{n} = x^{mn}$ în orice grup
$(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$ numai atunci când $x$ și $y$ comută

Greșeala tipică

Din $x^{6} = e$ se trage concluzia că perioada este $6$ . De fapt perioada divide $6$ , deci poate fi $1$ , $2$ , $3$ sau $6$ ; se testează divizorii în ordine crescătoare, iar primul care dă neutrul este răspunsul.

Exerciții din această mini-lecție

În grupul $(U (Z_{11}, \cdot), \cdot)$ , valoarea lui $\hat{3}^{2027}$ este:
- a) $\hat{9}$
- b) $\hat{3}$
- c) $\hat{5}$
- d) $\hat{1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\hat{9}$

Calculăm puterile lui $\hat{3}$ : $\hat{3}^{1} = \hat{3}$ , $\hat{3}^{2} = \hat{9}$ , $\hat{3}^{3} = 27 = \hat{5}$ , $\hat{3}^{4} = 15 = \hat{4}$ , $\hat{3}^{5} = 12 = \hat{1}$ , deci perioada este $5$ . Cum $2027 = 5 \cdot 405 + 2$ , obținem $\hat{3}^{2027} = \hat{3}^{2} = \hat{9}$ . Variantele $\hat{3}$ , $\hat{5}$ și $\hat{1}$ corespund resturilor greșite $1$ , $3$ și $0$ .
În grupul $(Z_{20}, +)$ , perioada elementului $\hat{8}$ este:
- a) $4$
- b) $5$
- c) $10$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

În notație aditivă căutăm cel mai mic $k$ natural nenul cu $k \cdot \hat{8} = \hat{0}$ , adică cu $8 k$ multiplu de $20$ . Multiplii lui $8$ sunt $8, 16, 24 \to \hat{4}, 32 \to 12, 40 \to \hat{0}$ , deci $k = 5$ . Varianta $4$ este $\frac{20}{5}$ , varianta $20$ confundă perioada cu numărul de elemente ale grupului, iar $10$ este perioada lui $\hat{2}$ .
Care egalitate este adevărată în orice grup $(G, \cdot)$ , pentru orice $x, y \in G$ și orice $m, n \in Z$ ?
- a) $(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$
- b) $(x y)^{- 1} = x^{- 1} y^{- 1}$
- c) $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$
- d) din $x^{6} = e$ rezultă că perioada lui $x$ este $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$

Regula $x^{m} x^{n} = x^{m + n}$ se demonstrează prin inducție, folosind numai asociativitatea, deci ține în orice grup. Egalitățile $(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$ și $(x y)^{- 1} = x^{- 1} y^{- 1}$ cer ca $x$ și $y$ să comute. Enunțul despre perioadă este greșeala clasică: din $x^{6} = e$ perioada poate fi $1$ , $2$ , $3$ sau $6$ — perioada este cel mai mic exponent natural nenul cu această proprietate.

Întrebări conexe

Ce este perioada unui element dintr-un grup finit?

Este cel mai mic exponent natural nenul $k$ pentru care $x^{k} = e$ . Existența lui e sigură într-un grup finit, fiindcă puterile nu pot fi toate distincte: din $x^{i} = x^{j}$ cu $i < j$ se simplifică și rămâne $x^{j - i} = e$ .

Câte puteri distincte are un element cu perioada 5?

Exact cinci: $e$ , $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ și $x^{4}$ . De la exponentul $5$ încolo șirul se repetă, fiindcă $x^{5} = e$ readuce calculul la început. Orice altă putere se scrie ca una dintre cele cinci, după restul împărțirii exponentului la $5$ .

De ce se demonstrează prin inducție regulile puterilor într-un grup?

Pentru că puterea însăși e definită prin recurență, cu un pas care adaugă un singur factor. Inducția urmează exact acest tipar: verifici cazul $n = 0$ , apoi treci de la $n$ la $n + 1$ folosind numai asociativitatea. Cazul exponenților negativi se reduce la cel pozitiv, prin definiție.

Cum arăt că din $(x y)^{2} = x^{2} y^{2}$ rezultă că $x$ și $y$ comută?

Scrii membrul stâng desfăcut, $x y x y = xx y y$ , apoi simplifici la stânga cu $x$ și la dreapta cu $y$ . Rămâne $y x = x y$ , adică tocmai comutarea. Raționamentul merge în ambele sensuri, deci egalitatea din enunț și comutarea celor două elemente sunt echivalente.

Ce înseamnă $x^{0}$ într-un grup?

Este elementul neutru $e$ , prin convenția de la care pornește definiția recurentă. Alegerea nu e arbitrară: numai așa rămâne adevărată regula $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ atunci când unul dintre exponenți este zero. Într-un grup aditiv, aceeași convenție se scrie $0 \cdot x = 0$ .

Ce rest se folosește când exponentul se reduce la perioadă?

Restul împărțirii exponentului la perioadă. Dacă $x$ are perioada $k$ , atunci $x^{n} = x^{r}$ , unde $n = k q + r$ și $0 \leq r < k$ . Pentru $k = 6$ și $n = 2026$ iese $r = 4$ , deci un calcul cu mii de înmulțiri se reduce la patru.

Oamenii mai întreabă și: puterile unui element dintr-un grup · x la puterea minus n · perioada unui element · cum calculez o putere mare într-un grup · reguli de calcul cu puteri în grup