De ce nu merge discriminantul modulo p?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Rădăcini în clase de resturi și funcția polinomială

Pentru că formula cere un radical, iar peste $Z_{p}$ nu orice clasă este pătratul altei clase. Modulo $5$ , pătratele sunt doar $\hat{0}$ , $\hat{1}$ și $\hat{4}$ ; dacă discriminantul iese $\hat{2}$ sau $\hat{3}$ , formula nu are ce să extragă. Se lucrează altfel: se încearcă toate cele $p$ clase, iar fiecare rădăcină găsită dă un factor $X - \overset{a}{^}$ .

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Fiecărui polinom $f \in K [X]$ i se asociază funcția polinomială de la $K$ la $K$ , dată de regula $x \mapsto f (x)$ ; peste un corp finit ea se scrie complet într-un tabel cu atâtea celule câte elemente are corpul. Aici apare deosebirea esențială față de clasa a X-a: peste $Z_{p}$ , polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială. Exemplul canonic este $X^{3}$ și $X$ pe $Z_{3}$ , iar cazul general este $X^{p} - X$ , al cărui comportament este identic cu al polinomului nul — fapt care rezultă din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, aplicată grupului claselor nenule, cu $p - 1$ elemente. Egalitatea polinoamelor se verifică deci pe coeficienți, nu pe valori. Rădăcinile unui polinom din $Z_{p} [X]$ se caută verificând pe rând toate cele $p$ clase, iar fiecare rădăcină $\overset{a}{^}$ dă, prin teorema lui Bézout, factorul $X - \overset{a}{^}$ , pe care schema lui Horner îl scoate. Formula discriminantului nu se folosește: nu orice clasă este pătrat perfect. În sfârșit, teorema „cel mult $n$ rădăcini distincte” cere ca modulul să fie prim; peste $Z_{n}$ cu $n$ compus, o ecuație de gradul al doilea poate avea patru soluții.

De reținut

peste $Z_{p}$ , polinoame diferite pot da aceeași funcție polinomială
$X^{p} - X$ are funcția polinomială nulă pe $Z_{p}$
rădăcinile se caută verificând toate cele $p$ clase

Greșeala tipică

Se aplică formula cu discriminantul la o ecuație de gradul al doilea peste $Z_{p}$ . Radicalul nu are sens acolo pentru orice clasă, iar ecuația se rezolvă verificând clasele sau factorizând.

Exerciții din această mini-lecție

Rădăcinile polinomului $X^{2} + \hat{3} X + \hat{2}$ în $Z_{5}$ sunt:
- a) $\hat{3}$ și $\hat{4}$
- b) $\hat{1}$ și $\hat{2}$
- c) $\hat{2}$ și $\hat{3}$
- d) nu are rădăcini
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\hat{3}$ și $\hat{4}$

Verificăm toate cele cinci clase: $f (\hat{0}) = \hat{2}$ , $f (\hat{1}) = \hat{1}$ , $f (\hat{2}) = \hat{4} + \hat{1} + \hat{2} = \hat{2}$ , $f (\hat{3}) = \hat{4} + \hat{4} + \hat{2} = \hat{0}$ , $f (\hat{4}) = \hat{1} + \hat{2} + \hat{2} = \hat{0}$ . Rădăcinile sunt $\hat{3}$ și $\hat{4}$ , coerent cu descompunerea $X^{2} + \hat{3} X + \hat{2} = (X + \hat{1}) (X + \hat{2})$ , fiindcă $- \hat{1} = \hat{4}$ și $- \hat{2} = \hat{3}$ . Varianta b uită tocmai trecerea la opuse.
Care pereche de polinoame din $Z_{5} [X]$ este formată din polinoame diferite care au aceeași funcție polinomială?
- a) $X^{2}$ și $X$
- b) $X^{4}$ și $X$
- c) $X^{5}$ și $X$
- d) $X^{5}$ și $X^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $X^{5}$ și $X$

Din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $\overset{a}{^}^{5} = \overset{a}{^}$ pentru orice clasă din $Z_{5}$ , deci $X^{5}$ și $X$ dau aceeași funcție, deși au coeficienți diferiți. Pentru $X^{2}$ și $X$ perechea cade la $\hat{2}$ : $\hat{4} \neq = \hat{2}$ . Pentru $X^{4}$ și $X$ perechea cade tot la $\hat{2}$ , fiindcă $\hat{2}^{4} = 16 = \hat{1} \neq = \hat{2}$ , iar pentru $X^{5}$ și $X^{2}$ la fel: $\hat{2}^{5} = \hat{2} \neq = \hat{4}$ . Egalitatea polinoamelor se verifică pe coeficienți, egalitatea funcțiilor pe valori.
Câte soluții are ecuația $x^{2} = \hat{4}$ în $Z_{12}$ ?
- a) $2$
- b) $1$
- c) $0$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $4$

Verificăm toate cele douăsprezece clase și găsim $\hat{2}, \hat{4}, \hat{8}, 10$ , deci patru soluții. Teorema „cel mult $n$ rădăcini distincte” cere ca modulul să fie prim, adică $Z_{n}$ să fie corp; $12$ nu este prim, iar $Z_{12}$ are divizori ai lui zero, așa că o ecuație de gradul al doilea poate avea mai mult de două soluții.

Întrebări conexe

Care sunt pătratele din clasele de resturi modulo 5?

Trei: $\hat{0}$ , $\hat{1}$ și $\hat{4}$ . Se obțin ridicând la pătrat toate cele cinci clase, iar valorile se repetă fiindcă $\overset{a}{^}$ și opusul ei dau același pătrat. Clasele $\hat{2}$ și $\hat{3}$ nu apar niciodată, ceea ce explică de ce radicalul nu are sens acolo.

Cum se verifică egalitatea a două polinoame peste un corp finit?

Comparând coeficienții, nu valorile. Peste $Z_{3}$ , polinoamele $X^{3}$ și $X$ dau aceleași valori în toate cele trei clase, dar au coeficienți diferiți, deci sunt polinoame diferite. Egalitatea funcțiilor este mai slabă decât egalitatea polinoamelor.

Ce factor scoate fiecare rădăcină găsită dintr-un polinom?

Factorul $X - \overset{a}{^}$ , prin teorema lui Bézout. Câtul iese din schema lui Horner, iar pe polinomul rămas, de grad mai mic, căutarea se reia de la capăt. Așa se ajunge, pas cu pas, la descompunerea completă peste corpul de lucru.

De ce nu te oprești la prima rădăcină găsită?

Fiindcă un polinom poate avea mai multe. Peste $Z_{7}$ , unul de grad trei se poate anula în trei clase deosebite, iar oprirea după prima lasă răspunsul incomplet. Tabelul de valori se completează până la ultima clasă, oricât de repede apare un zero.

Ce condiție cere teorema despre numărul maxim de rădăcini?

Ca inelul coeficienților să fie corp, adică modulul să fie număr prim. Atunci un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte. Peste $Z_{8}$ enunțul cade: $X^{2} - \hat{1}$ are patru rădăcini, anume $\hat{1}$ , $\hat{3}$ , $\hat{5}$ și $\hat{7}$ .

Cum se scrie complet funcția polinomială peste un corp finit?

Într-un tabel cu două rânduri și atâtea coloane câte elemente are corpul: sus clasele, jos valorile polinomului în ele. Tabelul spune tot ce se poate spune despre funcție, fiindcă domeniul este finit, și arată dintr-o privire rădăcinile.

Oamenii mai întreabă și: funcția polinomială · rădăcini în Z p · ecuație de gradul doi modulo p · pătratele modulo 5 · polinoame diferite cu aceeași funcție