Ce derivată are polinomul X³+X² peste ℤ₃?

Iese 2X, adică un polinom de gradul întâi. Termenul 3X² dispare, fiindcă 3= 0 modulo 3, iar din 2X rămâne 2X. Exemplul arată că scăderea gradului cu exact o unitate nu este o regulă peste corpurile finite.

Ce grad are derivata formală a unui polinom?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Rădăcini multiple și derivata formală

Cel mult cu unu mai mic decât al polinomului, iar peste $Q$ , $R$ și $C$ chiar exact atât. Peste un corp finit însă coeficientul dominant se poate anula la derivare: în $Z_{3} [X]$ , polinomul $X^{3} + X^{2}$ are derivata $\hat{2} X$ , deci gradul coboară cu doi. Derivarea se face algebric, termen cu termen, după regula care aduce exponentul în față.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Derivata formală a unui polinom se definește algebric, prin regula $(a X^{n})^{'} = na X^{n - 1}$ aplicată termen cu termen, fără nicio limită; de aceea are sens peste orice corp, inclusiv peste $Z_{p}$ , unde nu există grafic, tangentă sau pantă. Regulile de calcul sunt cele cunoscute: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ , $(c f)^{'} = c f^{'}$ , $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ și $(f^{n})^{'} = n f^{n - 1} f^{'}$ . Criteriul central, valabil peste orice corp comutativ, este: elementul $a$ este rădăcină multiplă a lui $f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ și $f^{'} (a) = 0$ . Peste $Q$ , $R$ și $C$ se poate spune mai mult: ordinul exact al rădăcinii $a$ este primul indice $k$ pentru care $f^{(k)} (a) \neq = 0$ . Peste $Z_{p}$ acest criteriu al derivatelor succesive nu se aplică — derivata unui polinom neconstant se poate anula identic, ca la $X^{2} + \hat{1} = (X + \hat{1})^{2}$ peste $Z_{2}$ — iar ordinul se determină prin împărțiri repetate la $X - a$ . Rețeta rădăcinii duble rezolvă problemele cu parametri: se scriu cele două ecuații $f (a) = 0$ și $f^{'} (a) = 0$ , se rezolvă sistemul și se verifică soluțiile prin descompunere.

De reținut

$(a X^{n})^{'} = na X^{n - 1}$ , definiție algebrică, fără limite
$a$ este rădăcină multiplă dacă și numai dacă $f (a) = 0$ și $f^{'} (a) = 0$
peste $Z_{p}$ ordinul se află împărțind repetat la $X - a$

Greșeala tipică

Se folosesc derivatele de ordin superior ca să afle ordinul unei rădăcini peste un corp finit. Criteriul acela merge doar peste numerele raționale, reale și complexe, iar în rest ordinul iese din împărțiri repetate.

Exerciții din această mini-lecție

Ordinul de multiplicitate al rădăcinii $1$ pentru polinomul $f = X^{5} - 5 X + 4$ este:
- a) $1$
- b) $3$
- c) $5$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2$

Calculăm derivatele succesive: $f (1) = 1 - 5 + 4 = 0$ ; $f^{'} = 5 X^{4} - 5$ , deci $f^{'} (1) = 0$ ; $f^{''} = 20 X^{3}$ , deci $f^{''} (1) = 20 \neq = 0$ . Primul indice cu derivata nenulă în $1$ este $k = 2$ , deci ordinul este exact $2$ . Criteriul derivatelor succesive este valabil aici, fiindcă lucrăm peste $R$ .
În $Z_{5} [X]$ , derivata formală a polinomului $f = X^{5} + \hat{2} X^{3} + \hat{4}$ este:
- a) $X^{2}$
- b) $\hat{5} X^{4} + \hat{6} X^{2}$
- c) $X^{4} + X^{2}$
- d) $\hat{0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $X^{2}$

Derivăm termen cu termen și reducem modulo $5$ : $(X^{5})^{'} = \hat{5} X^{4} = \hat{0}$ , $(\hat{2} X^{3})^{'} = \hat{6} X^{2} = \hat{1} X^{2}$ , iar derivata constantei este $\hat{0}$ . Rezultă $f^{'} = X^{2}$ . Varianta b lasă coeficienții nereduși, iar varianta d apare când se crede că orice polinom cu exponent divizibil cu $p$ are derivata nulă în întregime.
Valoarea reală a lui $m$ pentru care polinomul $f = X^{4} - 32 X + m$ are o rădăcină multiplă este:
- a) $- 48$
- b) $16$
- c) $48$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $48$

Aplicăm rețeta rădăcinii duble. Din $f^{'} (a) = 4 a^{3} - 32 = 0$ rezultă $a^{3} = 8$ , deci $a = 2$ (singura rădăcină reală). Din $f (2) = 16 - 64 + m = 0$ obținem $m = 48$ . Verificare: $X^{4} - 32 X + 48 = (X - 2)^{2} (X^{2} + 4 X + 12)$ , iar al doilea factor are discriminantul negativ.

Întrebări conexe

Ce reguli de calcul are derivata formală?

Aceleași ca la analiză: suma se derivează termen cu termen, constanta iese în față, produsul urmează $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , iar puterea dă $(f^{n})^{'} = n f^{n - 1} f^{'}$ . Deosebirea este că totul se demonstrează prin calcul cu coeficienți, fără limite, deci regulile țin peste orice corp.

De ce nu merge criteriul derivatelor succesive peste clase de resturi?

Fiindcă derivatele se pot anula toate fără ca polinomul să fie constant. În $Z_{2} [X]$ , polinomul $X^{2} + \hat{1}$ are derivata nulă, deși se scrie $(X + \hat{1})^{2}$ , deci rădăcina $\hat{1}$ are ordinul doi. Peste corpuri finite ordinul se află prin împărțiri repetate.

Cum se află ordinul unei rădăcini prin împărțiri repetate?

Împarți polinomul la $X - a$ și te uiți la cât; dacă și acesta se anulează în $a$ , împarți din nou și numeri de câte ori a mers. Numărul împărțirilor reușite este chiar ordinul, iar metoda ține peste orice corp, inclusiv acolo unde derivatele nu spun nimic.

Ce derivată are polinomul $X^{3} + X^{2}$ peste $Z_{3}$ ?

Iese $\hat{2} X$ , adică un polinom de gradul întâi. Termenul $3 X^{2}$ dispare, fiindcă $\hat{3} = \hat{0}$ modulo $3$ , iar din $2 X$ rămâne $\hat{2} X$ . Exemplul arată că scăderea gradului cu exact o unitate nu este o regulă peste corpurile finite.

Ce se verifică după ce ai găsit parametrii unei rădăcini duble?

Se înlocuiesc valorile obținute și se descompune efectiv polinomul, ca să apară factorul la pătrat. Sistemul format din cele două ecuații poate avea soluții care nu se potrivesc amândurora, așa că verificarea prin descompunere este pasul care închide problema.

Câte rădăcini duble poate avea un polinom de gradul al treilea?

Cel mult una, fiindcă o rădăcină dublă consumă doi factori, iar al treilea rămâne pentru una simplă. Dacă ar exista două rădăcini duble, gradul ar fi cel puțin patru. Cazul extrem este rădăcina triplă, când toți cei trei factori coincid.

Oamenii mai întreabă și: derivata formală a unui polinom · rădăcină multiplă · cum aflu ordinul de multiplicitate · rădăcină dublă cu parametru · derivata unui polinom peste Z p