Care dintre următoarele NU este o transformare elementară pe linii?

$$L_2 \leftarrow \dfrac{1}{2}L_2$$

Cum aduc o matrice la forma eșalonată?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Rangul prin transformări elementare

Ai voie cu trei mișcări pe linii: două linii își schimbă locurile între ele; o linie se înmulțește cu un număr diferit de zero; la o linie se adaugă un multiplu al alteia. Cu ele faci zerouri sub primul element nenul, apoi cobori la linia următoare și repeți. Tabloul final are, pe fiecare linie, mai multe zerouri la început decât linia de deasupra.

Definiția rangului rămâne cea cu minori, dar calculul se face prin eliminare. Cele trei transformări elementare pe linii sunt: $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ (schimbarea a două linii), $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ cu $α \neq = 0$ (înmulțirea unei linii cu un scalar nenul) și $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ cu $i \neq = j$ (adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un scalar). Toate trei sunt reversibile — de aici vine și demonstrația că nu schimbă rangul: minorii noi sunt combinații de minori vechi de același ordin, deci rangul nu poate crește; iar transformarea desfăcându-se, nu poate nici scădea.

O matrice este în formă eșalonată dacă liniile nule stau la sfârșit, iar în fiecare linie nenulă primul element nenul, numit pivot, se află strict la dreapta pivotului de deasupra. Rangul unei matrice eșalonate este numărul liniilor ei nenule — minorul format din liniile nenule și din coloanele pivoților este triunghiular, cu produsul pivoților nenul.

Algoritmul: alegi pivotul (schimbând liniile dacă e nevoie), faci zerouri sub el, treci la submatricea rămasă, numeri liniile nenule. La matricele cu parametru folosește numai coeficienți numerici, ca să nu împarți la o expresie care se poate anula, și lasă parametrul să ajungă singur în ultima linie; abia acolo discuți cazurile.

De reținut

Transformările pe linii NU schimbă rangul
Rangul = numărul liniilor nenule din forma eșalonată
Se poate lucra și pe coloane, cu aceleași reguli

Greșeala tipică

Se adună la o linie un multiplu al ei înseși, ceea ce o poate anula fals. Operația permisă adună la o linie un multiplu al ALTEI linii; altfel se pierde informație și rangul iese mai mic.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele NU este o transformare elementară pe linii?
- a) $L_{1} \leftrightarrow L_{3}$
- b) $L_{2} \leftarrow 0 \cdot L_{2}$
- c) $L_{3} \leftarrow L_{3} - 4 L_{1}$
- d) $L_{2} \leftarrow \frac{1}{2} L_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $L_{2} \leftarrow 0 \cdot L_{2}$

Transformarea $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ cere $α \neq = 0$ . Înmulțirea cu $0$ face linia nulă, deci poate coborî rangul ( $I_{2}$ are rangul $2$ , dar cu prima linie anulată ajunge la $1$ ) și nu este reversibilă. Celelalte trei sunt transformări elementare corecte; la a treia, condiția $i \neq = j$ este respectată.
Forma eșalonată a unei matrice este $200010000500 3 - 1 00 1240$ . Rangul matricei este:
- a) $5$
- b) $4$
- c) $2$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3$

Rangul unei matrice eșalonate este numărul liniilor nenule, aici $3$ . Pivoții sunt $2$ , $5$ și $4$ , aflați în coloanele $1$ , $3$ și $5$ — fiecare strict la dreapta celui de deasupra, deci forma chiar este eșalonată. Nu se numără toate liniile ( $4$ ) și nici coloanele ( $5$ ).
Rangul matricei $1232461343710$ este:
- a) $2$
- b) $3$
- c) $1$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Cu $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ și $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$ ultimele două linii devin amândouă $(0, 0, 1, 1)$ , iar $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ o anulează pe ultima. Rămân două linii nenule, deci rangul este $2$ ; pivoții sunt în coloanele $1$ și $3$ . Eliminarea a scos singură la iveală relația $L_{3} = L_{1} + L_{2}$ .

Întrebări conexe

Cum citesc rangul din forma eșalonată?

Numeri liniile care nu sunt formate numai din zerouri; acela este rangul. Metoda scutește de căutarea minorilor, fiindcă transformările permise nu schimbă valoarea căutată, oricâte s-ar aplica.

Ce este un pivot?

Primul element nenul al unei linii, cel cu care se fac zerourile de sub el. Alegerea unui pivot egal cu $1$ sau $- 1$ ține calculul în numere întregi, de aceea liniile se rearanjează adesea înainte de a începe.

Câți pași cere eșalonarea unei matrice de tip 3 pe 4?

Cel mult două runde de eliminare: prima face zerouri sub primul pivot, în două linii, a doua sub al doilea pivot, într-o singură linie. Sunt așadar trei operații de adunare, dacă niciun element nu este deja zero.

Ce rang are o matrice cu toate elementele egale?

Are rangul $1$ dacă elementele sunt nenule: orice minor de ordinul $2$ are cele două linii identice, deci se anulează, pe când un element nenul este el însuși un minor de ordinul $1$ . Concluzia nu depinde de tip — o matrice de tip $5$ pe $7$ cu toate elementele $3$ are tot rangul $1$ .

Se schimbă mulțimea soluțiilor la eșalonare?

Nu, fiindcă fiecare transformare permisă este reversibilă și duce la un sistem echivalent. Tocmai de aceea metoda poate fi folosită și pentru rezolvarea propriu-zisă, nu doar pentru aflarea rangului.

Cum evit fracțiile în timpul eșalonării?

Înmulțești întâi linia care se schimbă cu un număr potrivit, apoi scazi, în loc să împarți la pivot. La rang procedeul este permis fără nicio compensare, spre deosebire de determinanți, unde factorul trebuie scos în față.

Oamenii mai întreabă și: forma eșalonată a unei matrice · rangul prin transformări elementare · eșalonarea unei matrice pas cu pas · transformări pe linii la matrice