Pentru o matrice $$A$$ de tip $$3 \times 4$$, ca să demonstrezi că $$\operatorname{rang} A = 2$$ trebuie să arăți că:

există un minor nenul de ordin $$2$$ și toți minorii de ordin $$3$$ sunt nuli

există un minor nenul de ordin $$2$$

toți minorii de ordin $$3$$ sunt nuli

toți minorii de ordin $$2$$ sunt nenuli

Fie $$A$$ o matrice de tip $$3 \times 5$$. Care dintre afirmațiile următoare este ADEVĂRATĂ?

$$\operatorname{rang} A \le 3$$

$$\operatorname{rang} A$$ poate fi egal cu $$4$$

dacă $$A$$ are un minor nenul de ordin $$2$$, atunci $$\operatorname{rang} A = 2$$

$$\operatorname{rang} A$$ se calculează numai după ce se află $$\det A$$

Cum aflu rangul cu ajutorul minorilor?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Rangul unei matrice: minori

Cauți cel mai mare ordin pentru care există un minor nenul: acela este rangul. Practic începi de la ordine mici și urci cât timp găsești un determinant diferit de zero, apoi te oprești când toți minorii de ordinul următor se anulează. O matrice de tip $3 \times 4$ are rangul cel mult $3$ , iar matricea nulă are rangul $0$ .

Un minor de ordin $k$ al unei matrice $A$ de tip $m \times n$ este determinantul obținut păstrând elementele de la intersecția a $k$ linii cu $k$ coloane, alese oricum, dar în ordinea lor din matrice. Numărul acestor minori este $C_{m}^{k} \cdot C_{n}^{k}$ .

Definiție. $rang A$ este cel mai mare ordin al unui minor nenul al lui $A$ ; prin convenție $rang O_{m, n} = 0$ . Afirmația $rang A = r$ cere două justificări: există un minor nenul de ordin $r$ și toți minorii de ordin $r + 1$ sunt nuli. Un singur minor nenul arată doar că $rang A \geq r$ — de aici vine greșeala cea mai frecventă.

Proprietăți: $0 \leq rang A \leq min (m, n)$ ; $rang A = rang^{t} A$ , deci liniile și coloanele au aceleași drepturi; $rang (α A) = rang A$ pentru $α \neq = 0$ . Pentru $A \in M_{n} (C)$ : $rang A = n ⟺ det A \neq = 0 ⟺ A$ este inversabilă.

Sensul temei: rangul numără liniile cu adevărat independente, adică ecuațiile care aduc informație nouă. O linie care e suma sau un multiplu al altora nu ridică rangul. La un sistem se calculează întotdeauna ambele ranguri, al lui $A$ și al matricei extinse $\overline{A}$ .

De reținut

Rangul = ordinul maxim al unui minor nenul
$0 \leq rang A \leq min (m, n)$ ; rangul $0$ doar la matricea nulă
$A$ pătratică inversabilă $⟺ rang A = n$

Greșeala tipică

Se anunță rangul după ce s-a găsit un singur minor nenul, fără să se verifice că toți cei de ordin imediat superior se anulează. Un minor nenul dă doar o margine de jos, nu valoarea exactă.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru o matrice $A$ de tip $3 \times 4$ , ca să demonstrezi că $rang A = 2$ trebuie să arăți că:
- a) există un minor nenul de ordin $2$ și toți minorii de ordin $3$ sunt nuli
- b) există un minor nenul de ordin $2$
- c) toți minorii de ordin $3$ sunt nuli
- d) toți minorii de ordin $2$ sunt nenuli
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) există un minor nenul de ordin $2$ și toți minorii de ordin $3$ sunt nuli

Definiția cere cel mai mare ordin al unui minor nenul, deci două condiții deodată. Numai existența unui minor nenul de ordin $2$ dă $rang A \geq 2$ , iar numai anularea celor de ordin $3$ dă $rang A \leq 2$ ; adevărul se obține din amândouă. Nu se cere ca toți minorii de ordin $2$ să fie nenuli — e suficient unul singur.
Rangul matricei $A = 123 - 2 1 - 1 314$ este:
- a) $1$
- b) $3$
- c) $2$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2$

Se observă că $L_{3} = L_{1} + L_{2}$ , deci singurul minor de ordin $3$ , adică $det A$ , este nul și $rang A \leq 2$ . Minorul din primele două linii și primele două coloane este $12 - 2 1 = 5 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ . Rangul $0$ ar însemna matricea nulă.
Fie $A$ o matrice de tip $3 \times 5$ . Care dintre afirmațiile următoare este ADEVĂRATĂ?
- a) $rang A$ poate fi egal cu $4$
- b) $rang A \leq 3$
- c) dacă $A$ are un minor nenul de ordin $2$ , atunci $rang A = 2$
- d) $rang A$ se calculează numai după ce se află $det A$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $rang A \leq 3$

Marginea $rang A \leq min (m, n) = min (3, 5) = 3$ vine din faptul că nu se pot alege $4$ linii dintr-o matrice care are doar $3$ : minori de ordin $4$ nici nu există. Un minor nenul de ordin $2$ dă doar $rang A \geq 2$ , iar $det A$ nici nu are sens aici — matricea nu este pătratică.

Întrebări conexe

Ce rang are matricea nulă?

Are rangul $0$ , singurul caz în care valoarea este zero. Orice minor al ei este nul, deci nu există niciun ordin care să dea un determinant diferit de zero, nici măcar ordinul $1$ .

Care este rangul maxim posibil al unei matrice?

Cel mult minimul dintre numărul de linii și cel de coloane, fiindcă un minor nu poate avea ordinul mai mare decât oricare dintre ele. O matrice de tip $2 \times 5$ are, așadar, rangul cel mult $2$ .

Ce înseamnă un minor de ordinul k?

Determinantul obținut păstrând $k$ linii și $k$ coloane alese din matrice și ștergând restul. Numărul lor crește repede: la o matrice de tip $3 \times 4$ există $18$ minori de ordinul $2$ .

Cum arăt că rangul este exact 2?

Ai nevoie de două lucruri: un minor de ordinul $2$ care iese nenul și verificarea că toți minorii de ordinul $3$ se anulează. Prima parte dă marginea de jos, a doua o închide pe cea de sus.

Ce rang are o matrice pătratică inversabilă?

Are rangul egal cu ordinul ei, fiindcă determinantul întregii matrice este chiar un minor nenul de ordin maxim. Reciproc, o matrice pătratică cu rangul mai mic decât ordinul nu poate avea inversă.

Se schimbă rangul dacă transpun matricea?

Nu, valoarea rămâne aceeași. Minorii transpusei sunt determinanții transpuși ai minorilor de pornire, iar transpunerea nu schimbă un determinant, deci nici anularea sau neanularea lui.

Oamenii mai întreabă și: rangul unei matrice cu minori · cum calculez rangul unei matrice · minor nenul de ordin maxim · ce este rangul unei matrice