Despre dreapta de ecuație $$x = 3$$ este adevărat că:

nu are pantă, pentru că $$\operatorname{tg}90^\circ$$ nu există

se poate scrie sub forma $$y = mx + n$$

Într-o problemă apar două obiecte notate $$\Delta$$. Cel de ordinul al treilea, format din coordonatele a trei puncte:

decide coliniaritatea și dă aria, prin $$\mathcal{S} = \dfrac{1}{2}\lvert\Delta\rvert$$

decide dacă două drepte sunt concurente

dă panta dreptei determinate de primele două puncte

este determinantul sistemului format din ecuațiile a două drepte

Cum calculez aria unui triunghi cu determinant?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Recapitulare: drepte în planul cartezian

Așezi coordonatele celor trei vârfuri într-un determinant de ordinul al treilea, cu o coloană de $1$ , îl calculezi și iei jumătate din modulul lui: $S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ . Același determinant decide și coliniaritatea: dacă iese zero, cele trei puncte stau pe o dreaptă, iar aria este nulă. Pentru vârfurile $(0, 0)$ , $(4, 0)$ și $(0, 3)$ obții $Δ = 12$ și aria $6$ .

Toată unitatea stă pe o singură idee: orice afirmație geometrică despre puncte și drepte devine un calcul cu numere. „Coliniare" înseamnă „un determinant este nul", „perpendiculare" înseamnă $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ , iar aria este jumătate din modulul unui determinant.

Cele patru forme ale ecuației dreptei au nume fixe: explicită $y = m x + n$ , generală $a x + b y + c = 0$ , prin punct cu panta dată $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ și prin două puncte, cu varianta ei cu determinant. Cazul vertical se spune de fiecare dată: $x = a$ nu are pantă (nu „pantă infinită", ci nedefinită, fiindcă $tg 9 0^{\circ}$ nu există), nu se scrie explicit și corespunde cazului $b = 0$ .

Cele două fețe ale lui $Δ$ , ambele corecte, ambele cerute: determinantul de ordinul $3$ format din coordonatele a trei puncte decide coliniaritatea ( $Δ = 0$ ) și dă aria, $S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ ; determinantul de ordinul $2$ format din coeficienții a două ecuații decide poziția relativă a dreptelor. Când apar amândouă, se scrie o propoziție care spune care este care.

Trusa de măsurat: distanța dintre puncte, distanța de la un punct la o dreaptă $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ (după aducerea la forma generală), scurtătura $d (C, A B) = \frac{∣ Δ ∣}{A B}$ și piciorul perpendicularei.

Optimizarea din acest capitol se face fără derivate: mărimea e constantă, liniară (extreme în capete) sau pătratică (vârful parabolei).

De reținut

$S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ , cu $Δ$ format din coordonatele vârfurilor
$Δ = 0$ înseamnă puncte coliniare
perpendicularitate: $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$

Greșeala tipică

Se folosește același simbol $Δ$ pentru determinantul de arie și pentru cel al sistemului, fără nicio precizare. Când apar deodată, o propoziție trebuie să lămurească ce înseamnă fiecare.

Exerciții din această mini-lecție

Despre dreapta de ecuație $x = 3$ este adevărat că:
- a) nu are pantă, pentru că $tg 9 0^{\circ}$ nu există
- b) are panta $0$
- c) are panta infinită
- d) se poate scrie sub forma $y = m x + n$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) nu are pantă, pentru că $tg 9 0^{\circ}$ nu există

Panta se definește ca $m = tg α$ , unde $α$ este unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $O x$ . Pentru o verticală, $α = 9 0^{\circ}$ , iar tangenta nu există acolo — de aceea se spune „panta nu este definită", nu „panta este infinită". Dreapta verticală corespunde cazului $b = 0$ din ecuația generală și nu se poate scrie sub formă explicită. Panta $0$ o au orizontalele $y = b$ .
Într-o problemă apar două obiecte notate $Δ$ . Cel de ordinul al treilea, format din coordonatele a trei puncte:
- a) decide dacă două drepte sunt concurente
- b) dă panta dreptei determinate de primele două puncte
- c) decide coliniaritatea și dă aria, prin $S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$
- d) este determinantul sistemului format din ecuațiile a două drepte
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) decide coliniaritatea și dă aria, prin $S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$

Determinantul de coliniaritate lucrează cu puncte și răspunde la două întrebări deodată: punctele sunt coliniare exact când $Δ = 0$ , iar dacă nu sunt, jumătate din modulul lui este aria triunghiului. Determinantul sistemului este alt obiect — de ordinul $2$ , format din coeficienții ecuațiilor —, iar el decide dacă dreptele sunt concurente. Aceeași literă, două roluri: se precizează în scris care este care.
Dreapta care trece prin $P (2, - 3)$ și este perpendiculară pe $d : 4 x - 3 y + 1 = 0$ are ecuația generală:
- a) $4 x - 3 y - 17 = 0$
- b) $3 x + 4 y - 6 = 0$
- c) $4 x + 3 y + 1 = 0$
- d) $3 x + 4 y + 6 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3 x + 4 y + 6 = 0$

Criteriul sigur este cel cu coeficienți: perpendicularitatea cere $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ . Pentru $3 x + 4 y + c = 0$ avem $4 \cdot 3 + (- 3) \cdot 4 = 0$ , deci direcția e corectă; punând condiția ca $P$ să fie pe dreaptă, $6 - 12 + c = 0$ , obținem $c = 6$ . Prima variantă este o paralelă la $d$ , nu o perpendiculară.

Întrebări conexe

Ce condiție algebrică arată că două drepte sunt perpendiculare?

Pentru dreptele scrise sub formă generală, condiția este $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ . Când amândouă au pantă, ea se poate scrie ca produs al pantelor egal cu $- 1$ . Forma cu coeficienți acoperă și cazul verticalei, care nu are pantă.

Cum se calculează distanța de la un punct la o dreaptă?

Aduci dreapta la forma generală și aplici $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ . Modulul de la numărător este esențial, distanța fiind o mărime pozitivă. Fără aducerea la forma generală, formula dă rezultate greșite.

Ce determinant decide poziția relativă a două drepte?

Cel de ordinul al doilea alcătuit din cei patru coeficienți ai lui $x$ și $y$ din cele două ecuații. Dacă el nu se anulează, dreptele se taie într-un punct; dacă se anulează, ele sunt paralele sau se suprapun, după cum arată termenii liberi.

Ce ecuație are o dreaptă verticală?

Forma $x = a$ , obținută din cazul $b = 0$ al ecuației generale. O astfel de dreaptă nu are pantă și nu se poate scrie explicit, fiindcă tangenta unghiului drept nu există. Precizarea aceasta se face de fiecare dată.

Ce se pune pe a treia coloană a determinantului de coliniaritate?

O coloană formată numai din cifra $1$ . Primele două coloane primesc abscisele și ordonatele celor trei puncte, fiecare punct pe câte o linie. Fără coloana de unu, determinantul ar măsura altceva și nu s-ar anula la coliniaritate.

Ce formă are ecuația dreptei prin punct, cu panta dată?

Se scrie $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , unde $(x_{0}, y_{0})$ este punctul, iar $m$ panta. Este aceeași structură ca la ecuația tangentei, unde panta vine din derivată. Forma explicită se obține desfăcând paranteza.

Oamenii mai întreabă și: aria triunghiului cu determinant · coliniaritatea a trei puncte · recapitulare dreapta în plan · formele ecuației dreptei · distanța de la un punct la o dreaptă