Se consideră dreptele $$d_1: x = 4$$ și $$d_2: y = -3$$. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

$$d_1$$ nu are pantă, iar $$d_2$$ are panta $$0$$.

$$d_1$$ are panta $$0$$, iar $$d_2$$ nu are pantă.

$$d_1$$ are panta $$4$$, iar $$d_2$$ are panta $$-3$$.

Ce formule se cer la geometria analitică?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Geometrie analitică: puncte și drepte

Distanța dintre două puncte, obținută din teorema lui Pitagora, mijlocul unui segment, care este media coordonatelor, panta unei drepte, ca raport între creșterea pe verticală și cea pe orizontală, și ecuația dreptei printr-un punct cu pantă dată. Din ele ies toate celelalte: paralelism, perpendicularitate, coliniaritate, tăieturi cu axele.

Geometria analitică traduce figurile în numere: un punct devine perechea ordonată $(x, y)$ , un segment își spune lungimea printr-o formulă, iar o dreaptă devine o ecuație. De aici, orice enunț geometric se rescrie: «punctul aparține dreptei» înseamnă «coordonatele verifică ecuația», «punctele sunt coliniare» înseamnă «pantele coincid», «dreptele se intersectează» înseamnă «sistemul are soluție unică».

Segmentul are două formule care se completează una pe alta: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ , venită din teorema lui Pitagora, și $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ , adică media aritmetică pe fiecare coordonată. Când compari sau egalezi distanțe, lucrează cu pătratele lor și scapi de radicali; când știi mijlocul și un capăt, celălalt este $B (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$ .

Dreapta se descrie prin pantă, $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ : semnul spune dacă urcă sau coboară, modulul spune cât este de abruptă. Orizontala are panta $0$ , iar verticala nu are pantă. Ecuația se scrie mereu la fel, $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , de unde ies forma explicită $y = m x + n$ și forma generală $a x + b y + c = 0$ . Tăieturile cu axele se află punând pe rând $y = 0$ și $x = 0$ , iar triunghiul decupat cu axele are aria $\frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{2}$ . Pante egale și ordonate la origine diferite înseamnă drepte paralele distincte.

De reținut

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
mijlocul: media coordonatelor capetelor
$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ ; verticala nu are pantă
ecuația prin punct și pantă: $y - y_{0} = m (x - x_{0})$

Greșeala tipică

Se caută panta unei drepte verticale și calculul se blochează la o împărțire la zero; verticalele se scriu cu abscisa egală cu un număr, fără pantă.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră punctele $A (- 2, 3)$ și $B (1, 7)$ . Cât este lungimea segmentului $A B$ ?
- a) $5$
- b) $13$
- c) $7$
- d) $25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

Aplicăm formula distanței: $A B = (1 - (- 2))^{2} + (7 - 3)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ . Varianta d) este pătratul distanței (util în comparații, dar nu este lungimea), varianta b) apare dacă ridici la pătrat doar una dintre diferențe ( $9 + 4$ ), iar c) dacă aduni pur și simplu $3 + 4$ . Ordinea punctelor nu contează, pentru că diferențele apar la pătrat.
Mijlocul segmentului $A B$ este $M (3, - 1)$ , iar $A (- 1, 4)$ . Care sunt coordonatele punctului $B$ ?
- a) $B (7, - 6)$
- b) $B (4, - 5)$
- c) $B (1; 1, 5)$
- d) $B (- 5, 9)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $B (7, - 6)$

Este problema inversă a mijlocului. Din $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ rezultă $x_{B} = 2 x_{M} - x_{A} = 2 \cdot 3 - (- 1) = 7$ , iar $y_{B} = 2 y_{M} - y_{A} = 2 \cdot (- 1) - 4 = - 6$ , deci $B (7, - 6)$ . Verificare: mijlocul lui $A (- 1, 4)$ și $B (7, - 6)$ este $(\frac{- 1 + 7}{2}, \frac{4 - 6}{2}) = (3, - 1)$ . ✓ Varianta b) se obține scăzând coordonatele, c) este mijlocul lui $A$ și $M$ , iar d) este simetricul lui $M$ față de $A$ .
Se consideră dreptele $d_{1} : x = 4$ și $d_{2} : y = - 3$ . Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) $d_{1}$ are panta $0$ , iar $d_{2}$ nu are pantă.
- b) Ambele drepte au panta $0$ .
- c) $d_{1}$ nu are pantă, iar $d_{2}$ are panta $0$ .
- d) $d_{1}$ are panta $4$ , iar $d_{2}$ are panta $- 3$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $d_{1}$ nu are pantă, iar $d_{2}$ are panta $0$ .

Dreapta $d_{1} : x = 4$ este verticală: toate punctele ei au aceeași abscisă, deci $Δ x = 0$ și raportul $m = \frac{Δ y}{Δ x}$ nu se poate calcula — dreapta nu are pantă (nu spunem nici „panta zero", nici „panta infinită"). Dreapta $d_{2} : y = - 3$ este orizontală: toate punctele au aceeași ordonată, deci $Δ y = 0$ și panta este $0$ . Varianta d) confundă panta cu termenul liber din ecuație.

Întrebări conexe

Cum aflu panta unei drepte din ecuația ei?

Dacă ecuația este scrisă cu ordonata izolată, panta este chiar numărul care înmulțește abscisa. Dacă este scrisă în formă generală, izolezi ordonata și citești coeficientul. Dreptele verticale nu au pantă, fiindcă la ele abscisa nu se schimbă.

Cum arăt că două drepte sunt perpendiculare?

Înmulțești pantele lor: dacă rezultatul este minus unu, dreptele sunt perpendiculare. Cazul special este perechea dintre o orizontală și o verticală, unde una dintre pante nici nu există, dar perpendicularitatea se vede direct.

Cum aflu centrul de greutate al unui triunghi din coordonate?

Aduni abscisele celor trei vârfuri și împarți la trei, apoi faci la fel cu ordonatele. Punctul obținut se află pe fiecare mediană, la două treimi de vârf. Formula este media aritmetică a coordonatelor, la fel ca la mijlocul unui segment, doar cu trei puncte.

Cum scriu ecuația unei drepte paralele cu o dreaptă dată?

Păstrezi panta dreptei date și folosești punctul prin care trebuie să treacă noua dreaptă. Scrii apoi ecuația cu punct și pantă. Termenul liber va fi diferit, altfel cele două drepte s-ar suprapune.

Ce ordine urmez la o problemă cu triunghi în reper cartezian?

Începi cu un desen aproximativ, apoi calculezi lungimile laturilor cu formula distanței, ca să vezi natura triunghiului. Scrii ecuațiile dreptelor cerute, afli punctele de intersecție și, la final, aria. Compararea distanțelor se face pe pătratele lor.

Oamenii mai întreabă și: formule de geometrie analitică · distanța dintre două puncte și mijlocul segmentului · recapitulare la geometrie analitică · ce formule se dau la reperul cartezian