Recapitulare: geometrie analitică

Când deschizi o aplicație de navigație și îi ceri drumul până la un magazin, telefonul nu „vede" niciun oraș. El are doar perechi de numere: latitudinea și longitudinea ta, latitudinea și longitudinea magazinului. Din aceste patru numere calculează distanța, direcția și traseul. Exact acesta este pariul geometriei analitice, capitolul pe care îl recapitulăm acum: traducem figuri în numere și proprietăți geometrice în ecuații, iar de acolo încolo lăsăm calculul să lucreze în locul desenului.

Traducerea are un vocabular scurt și foarte bine organizat. Un punct devine o pereche ordonată $(x, y)$ . Un segment își spune lungimea printr-o singură formulă, iar mijlocul prin alta. O dreaptă devine o ecuație, iar întrebările geometrice — „trec aceste trei puncte prin aceeași dreaptă?", „unde se taie drumurile?", „este triunghiul dreptunghic?" — se transformă în calcule pe care le poți face fără riglă și fără compas. Recapitularea de față face turul întregului capitol, adună formulele într-un singur loc, îți arată cum se leagă între ele și insistă pe tipurile de exerciții care apar la teză și la examen. Pentru fiecare noțiune ai și trimiterea la lecția detaliată, dacă simți nevoia să te întorci.

Ce vei învăța

Vei ști să așezi și să citești puncte în reperul cartezian și să recunoști cadranul după semnele coordonatelor.
Vei ști să aplici fără ezitare cele două formule ale segmentului: distanța $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ și mijlocul $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
Vei ști să calculezi panta unei drepte și să spui ce înseamnă semnul și modulul ei.
Vei ști să scrii ecuația unei drepte în cele trei situații de examen: punct și pantă, două puncte, cazuri speciale (orizontală și verticală).
Vei ști să decizi dacă trei puncte sunt coliniare și care este poziția relativă a două drepte: secante, paralele sau confundate.
Vei ști să rezolvi problemele-tip de teză: natura unui triunghi, al patrulea vârf al unui paralelogram, aria decupată de o dreaptă cu axele, pragul de rentabilitate a două oferte.

Hai să descoperim împreună

1. Harta temei: de la punct la dreaptă

Capitolul are o structură foarte clară, în două etaje. La parter stau punctele, la etaj stau dreptele, iar scara dintre ele este panta.

Etajul	Noțiunile	Lecțiile de bază
Punctul	reper, cadrane, coordonate, distanță, mijloc	Reperul cartezian, Coordonatele unui punct din plan
Segmentul	lungime, mijloc, simetrice, figuri	Distanța dintre două puncte, Coordonatele mijlocului
Dreapta	pantă, ecuații, intersecții cu axele	Panta unei drepte, Ecuația dreptei prin două puncte
Pozițiile	coliniaritate, paralelism, intersecție	Verificarea coliniarității, Intersecția a două drepte

Ideea de bază, pe care merită s-o spui cu voce tare înainte de teză: orice enunț geometric se traduce într-o ecuație sau într-un calcul cu coordonate. „Punctul aparține dreptei" înseamnă „coordonatele verifică ecuația". „Punctele sunt coliniare" înseamnă „pantele coincid". „Dreptele se intersectează" înseamnă „sistemul are soluție unică". Dacă ai reflexul traducerii, restul e algebră de clasa a VIII-a.

2. Punctul: coordonate, cadrane, poziții speciale

Un punct $P (x, y)$ are pe primul loc abscisa (deplasarea pe orizontală, față de axa $O y$ ) și pe al doilea loc ordonata (deplasarea pe verticală). Ordinea nu se schimbă niciodată: $(3, 5)$ și $(5, 3)$ sunt puncte diferite.

Semnele coordonatelor dau cadranul, în sens trigonometric: cadranul I are $(+, +)$ , al II-lea $(-, +)$ , al III-lea $(-, -)$ , al IV-lea $(+, -)$ . Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran: pe $O x$ ordonata este $0$ , pe $O y$ abscisa este $0$ , iar originea are ambele coordonate nule.

Merită reținute și pozițiile speciale, pentru că apar în aproape orice problemă: două puncte au aceeași abscisă exact când segmentul care le unește este vertical, și aceeași ordonată exact când segmentul este orizontal. Simetricul lui $A (x, y)$ față de axa $O x$ este $(x, - y)$ , față de $O y$ este $(- x, y)$ , iar față de origine este $(- x, - y)$ — se schimbă coordonata „de peste" axă. Aplicațiile concrete, de la hărți la planuri de oraș, sunt în Coordonate în situații practice.

3. Cele două formule ale segmentului

Toate problemele cu segmente se rezolvă cu două formule, care se completează una pe alta:

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}, M_{A B} (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2}) .$

Prima vine din teorema lui Pitagora: construiește triunghiul dreptunghic cu catetele paralele cu axele, iar catetele au lungimile $∣ x_{B} - x_{A} ∣$ și $∣ y_{B} - y_{A} ∣$ . De aceea ordinea punctelor nu contează — numerele opuse au același pătrat. A doua este pur și simplu media aritmetică pe fiecare coordonată.

Trei sfaturi practice care aduc puncte. Întâi, lasă rezultatul exact, cu radicalul simplificat: $80 = 45$ , nu $8, 94$ . Apoi, când compari sau egalezi distanțe, lucrează cu pătratele lor — $A B = A C ⟺ A B^{2} = A C^{2}$ — și scapi de radicali din prima linie. În fine, reține problema inversă a mijlocului: dacă știi mijlocul $M$ și un capăt $A$ , celălalt capăt este $B (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$ . Aceeași formulă dă simetricul unui punct față de altul.

De aici ies direct problemele de recunoaștere a figurilor, tratate în Figuri în reperul cartezian: triunghi isoscel dacă două laturi sunt egale, echilateral dacă toate trei, dreptunghic dacă pătratul laturii mari este suma pătratelor celorlalte două (reciproca teoremei lui Pitagora). Iar patrulaterul $A B C D$ este paralelogram exact când diagonalele au același mijloc, adică $x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D}$ și $y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D}$ .

4. Panta: un singur raport care spune totul

Panta dreptei determinate de $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ , cu $x_{1} \neq = x_{2}$ , este

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}},$

adică raportul dintre variația pe verticală și variația pe orizontală. Important: respectă aceeași ordine la numărător și la numitor; dacă începi cu $B$ sus, începi cu $B$ și jos. Panta nu depinde de perechea de puncte aleasă pe dreaptă — triunghiurile care se formează sunt asemenea, deci raportul e același.

Semnul dă sensul: $m > 0$ dreapta urcă, $m < 0$ dreapta coboară, $m = 0$ dreapta e orizontală. Modulul dă înclinarea: cu cât $∣ m ∣$ este mai mare, cu atât dreapta e mai abruptă. Și reține excepția care se cere aproape sigur la teză: dreapta verticală nu are pantă, pentru că numitorul $Δ x$ ar fi zero. A nu se confunda cu panta zero a orizontalei — sunt situații opuse.

În aplicații, panta se citește ca rată de variație: cu cât se schimbă $y$ atunci când $x$ crește cu o unitate. Într-un grafic al costului unei convorbiri, panta este tariful pe minut; într-un grafic al distanței în funcție de timp, panta este viteza.

5. Ecuațiile dreptei: trei situații, trei rețete

Ce se dă	Ce scrii	Observație
un punct $A (x_{0}, y_{0})$ și panta $m$	$y - y_{0} = m (x - x_{0})$	scrie întâi formula, apoi înlocuiește
două puncte $A$ , $B$	calculezi $m$ , apoi formula de mai sus	poți folosi oricare dintre puncte
ordonate egale ( $y_{A} = y_{B}$ )	$y = y_{A}$	dreaptă orizontală, panta $0$
abscise egale ( $x_{A} = x_{B}$ )	$x = x_{A}$	dreaptă verticală, fără pantă

Din $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ obții, desfăcând paranteza, forma explicită $y = m x + n$ , unde $m$ este panta și $n$ este ordonata la origine. Mutând totul într-un membru ajungi la forma generală $a x + b y + c = 0$ , cu coeficienți întregi — forma în care se dau de obicei dreptele în enunțuri. Detaliile complete sunt în Ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată.

Două verificări obligatorii, care te salvează de erori de calcul: după ce ai scris ecuația prin două puncte, verifică ambele puncte în ea; iar dacă enunțul dă forma generală și ai nevoie de pantă, izolează întâi $y$ (echivalent: $m = - \frac{a}{b}$ , pentru $b \neq = 0$ ).

Intersecțiile cu axele se obțin punând pe rând câte o coordonată egală cu zero: $y = 0$ dă tăietura cu $O x$ , $x = 0$ dă tăietura cu $O y$ . Din forma $y = m x + n$ , tăietura cu $O y$ este direct $(0, n)$ . Dacă tăieturile sunt $A (a, 0)$ și $B (0, b)$ , triunghiul format cu axele este dreptunghic în origine și are aria $\frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{2}$ — o întrebare clasică, tratată în Intersecțiile dreptei cu axele.

6. Poziții relative: coliniaritate și intersecție

Trei puncte $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare dacă există o dreaptă care le conține pe toate. Ai două metode, ambele bune:

Metoda pantelor: $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare $⟺ m_{A B} = m_{A C}$ (dreptele au punctul comun $A$ și aceeași direcție).
Metoda ecuației: scrii ecuația dreptei $A B$ și verifici dacă $C$ o satisface; are avantajul că îți lasă în mână și ecuația.

Există și o formă fără fracții, singura care funcționează chiar dacă două puncte au aceeași abscisă: $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ .

Pentru două drepte, punctele comune sunt exact soluțiile sistemului format din ecuațiile lor:

Sistemul	Dreptele	Din pante
soluție unică	secante	$m_{1} \neq = m_{2}$
incompatibil (egalitate falsă)	paralele distincte	$m_{1} = m_{2}$ , $n_{1} \neq = n_{2}$
o infinitate de soluții	confundate	$m_{1} = m_{2}$ , $n_{1} = n_{2}$

În problemele practice, punctul de intersecție înseamnă egalitatea celor două mărimi: pragul la care două oferte costă la fel, momentul întâlnirii a doi mobili, prețul de echilibru. Pozițiile posibile ale unei drepte — orizontală, verticală, oblică — sunt recapitulate în Poziția unei drepte.

7. Rețetele de teză, pe scurt

Natura unui triunghi cu vârfuri date: calculezi pătratele celor trei laturi (fără radicali!), compari între ele pentru isoscel/echilateral și verifici relația lui Pitagora pentru dreptunghic.
Al patrulea vârf al unui paralelogram $A B C D$ : din egalitatea mijloacelor diagonalelor, $D (x_{A} + x_{C} - x_{B}, y_{A} + y_{C} - y_{B})$ .
Punct de pe o axă egal depărtat de două puncte date: notezi $P (x, 0)$ (sau $P (0, y)$ ), scrii $P A^{2} = P B^{2}$ și rezolvi; pătratele se simplifică și rămâne o ecuație de gradul întâi.
Parametru pentru coliniaritate: scrii ecuația dreptei prin cele două puncte complet cunoscute și impui ca al treilea punct să o verifice.
Aria decupată cu axele: afli cele două tăieturi și aplici $\frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{2}$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Natura unui triunghi

Se consideră punctele $A (- 1, 2)$ , $B (3, - 1)$ și $C (6, 3)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel și calculați aria lui.

Rezolvare. Calculăm pătratele laturilor, ca să evităm radicalii:

$A B^{2} = (3 + 1)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 16 + 9 = 25, B C^{2} = (6 - 3)^{2} + (3 + 1)^{2} = 9 + 16 = 25,$ $A C^{2} = (6 + 1)^{2} + (3 - 2)^{2} = 49 + 1 = 50.$

Din $A B^{2} = B C^{2}$ rezultă $A B = B C = 5$ , deci triunghiul este isoscel. Mai departe, $A B^{2} + B C^{2} = 25 + 25 = 50 = A C^{2}$ , deci, prin reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în $B$ , cu ipotenuza $A C = 50 = 52$ .

Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor: $A = \frac{A B \cdot B C}{2} = \frac{5 \cdot 5}{2} = 12, 5$ .

Reține ordinea de lucru: pătratele întâi, radicalii la final. Dacă ai fi calculat de la început $25$ și $50$ , verificarea relației lui Pitagora ar fi cerut ridicări la pătrat inutile.

Exemplul 2 — Al patrulea vârf al unui paralelogram

Determinați coordonatele punctului $D$ astfel încât $A B C D$ să fie paralelogram, unde $A (2, 1)$ , $B (6, 3)$ și $C (5, 7)$ .

Rezolvare. Într-un paralelogram, diagonalele au același mijloc. Diagonalele lui $A B C D$ sunt $A C$ și $B D$ , deci punem condiția $M_{A C} = M_{B D}$ :

$\frac{x _{A} + x _{C}}{2} = \frac{x _{B} + x _{D}}{2} ⟺ x_{D} = x_{A} + x_{C} - x_{B} = 2 + 5 - 6 = 1,$ $y_{D} = y_{A} + y_{C} - y_{B} = 1 + 7 - 3 = 5.$

Așadar $D (1, 5)$ . Verificare: mijlocul lui $A C$ este $(\frac{7}{2}, 4)$ , iar mijlocul lui $B D$ este $(\frac{6 + 1}{2}, \frac{3 + 5}{2}) = (\frac{7}{2}, 4)$ . ✓

Atenție la ordinea literelor: în $A B C D$ diagonalele sunt $A C$ și $B D$ , nu $A B$ și $C D$ . Dacă enunțul ar cere paralelogramul $A B D C$ , condiția s-ar schimba.

Exemplul 3 — Ecuația dreptei, tăieturi și arie

Se consideră punctele $A (- 2, 1)$ și $B (4, 4)$ . a) Scrieți ecuația dreptei $A B$ . b) Determinați intersecțiile ei cu axele. c) Calculați aria triunghiului format de dreaptă cu axele de coordonate.

Rezolvare. a) Panta: $m = \frac{4 - 1}{4 - ( - 2 )} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Cu punctul $A$ :

$y - 1 = \frac{1}{2} (x + 2) ⟺ y = \frac{x}{2} + 2.$

Verificare cu $B$ : $\frac{4}{2} + 2 = 4$ . ✓ Forma generală: $x - 2 y + 4 = 0$ .

b) Cu $y = 0$ : $\frac{x}{2} + 2 = 0$ , deci $x = - 4$ și tăietura cu $O x$ este $(- 4, 0)$ . Cu $x = 0$ : $y = 2$ , deci tăietura cu $O y$ este $(0, 2)$ .

c) Triunghiul are catetele pe axe, de lungimi $∣ - 4∣ = 4$ și $∣2∣ = 2$ , deci aria este $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ .

Exemplul 4 — Coliniaritate cu parametru

Determinați numărul real $a$ pentru care punctele $A (1, 2)$ , $B (3, 6)$ și $C (a, 3 a - 2)$ sunt coliniare.

Rezolvare. Scriem întâi dreapta determinată de punctele complet cunoscute. Panta: $m_{A B} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$ , iar ecuația, cu punctul $A$ : $y - 2 = 2 (x - 1)$ , adică $y = 2 x$ .

Punem condiția ca $C$ să verifice ecuația: $3 a - 2 = 2 a$ , de unde $a = 2$ .

Pentru $a = 2$ obținem $C (2, 4)$ , iar $4 = 2 \cdot 2$ . ✓ Cele trei puncte sunt coliniare, toate aflându-se pe dreapta $y = 2 x$ .

Metoda este general valabilă: scrii dreapta prin punctele fără parametru și impui ca al treilea să o verifice. Este mai sigură decât egalarea pantelor, pentru că nu riști o împărțire la zero.

Exemplul 5 — Intersecția a două drepte, într-un context practic

O sală de sport oferă două variante de plată. Varianta A: abonament lunar de $40$ de lei plus $2$ lei pentru fiecare oră petrecută în sală. Varianta B: fără abonament, dar $5$ lei pe oră. Pentru câte ore de antrenament pe lună cele două variante costă la fel? Care este mai avantajoasă pentru cineva care merge $15$ ore pe lună?

Rezolvare. Notăm cu $x$ numărul de ore și scriem costurile ca funcții de gradul întâi, adică drepte:

$d_{A} : y = 2 x + 40, d_{B} : y = 5 x .$

Punctul de intersecție se află rezolvând sistemul, prin egalare: $2 x + 40 = 5 x$ , deci $3 x = 40$ și $x = \frac{40}{3}$ ; atunci $y = 5 \cdot \frac{40}{3} = \frac{200}{3}$ . Pentru $\frac{40}{3}$ ore pe lună, adică 13 ore și 20 de minute, ambele variante costă $\frac{200}{3}$ de lei (aproximativ $66, 67$ lei). Verificare: $2 \cdot \frac{40}{3} + 40 = \frac{80 + 120}{3} = \frac{200}{3}$ .

Pentru $15$ ore: varianta A costă $2 \cdot 15 + 40 = 70$ de lei, varianta B costă $5 \cdot 15 = 75$ de lei. Este mai avantajoasă varianta A.

Interpretarea geometrică e cea care contează: dreapta $d_{B}$ este mai abruptă (panta $5 > 2$ ), deci după punctul de intersecție ea trece deasupra. Sub $\frac{40}{3}$ ore convine B, peste $\frac{40}{3}$ ore convine A — iar $x = \frac{40}{3}$ este pragul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră punctele $A (2, - 1)$ și $B (6, 3)$ . a) Determinați coordonatele mijlocului segmentului $A B$ . b) Determinați ecuația dreptei $A B$ . c) Arătați că punctul $C (0, - 3)$ aparține dreptei $A B$ .

Rezolvare. a) $M (\frac{2 + 6}{2}, \frac{- 1 + 3}{2}) = M (4, 1)$ .

b) Panta: $m = \frac{3 - ( - 1 )}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1$ . Cu punctul $A$ : $y - (- 1) = 1 \cdot (x - 2)$ , adică $y + 1 = x - 2$ , deci

$y = x - 3, sau, sub form \overset{a}{˘} general \overset{a}{˘}, x - y - 3 = 0.$

Verificare cu $B$ : $6 - 3 = 3$ . ✓

c) Înlocuim coordonatele lui $C$ în ecuație: pentru $x = 0$ obținem $y = 0 - 3 = - 3$ , exact ordonata lui $C$ . Prin urmare $C (0, - 3)$ aparține dreptei $A B$ , iar punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare.

La barem, fiecare punct se notează separat, iar formula scrisă înainte de înlocuire aduce puncte chiar dacă apoi greșești un calcul. Nu sări pașii intermediari.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet și, ori de câte ori poți, fă un desen rapid — nu îl folosești ca demonstrație, dar îți spune imediat dacă rezultatul e plauzibil. La fiecare problemă, scrie întâi ce ai și ce ceri.

1. Reprezentați într-un reper cartezian punctele $A (3, 2)$ , $B (- 2, 4)$ , $C (- 3, - 1)$ și $D (4, - 2)$ și precizați cadranul fiecăruia.

2. Calculați distanța dintre punctele $M (- 1, 3)$ și $N (3, 6)$ .

3. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $P Q$ , unde $P (- 5, 2)$ și $Q (3, 8)$ .

4. Determinați simetricul punctului $A (2, - 3)$ față de originea reperului, apoi față de punctul $B (5, 1)$ .

5. Calculați panta dreptei determinate de punctele $A (1, - 2)$ și $B (5, 6)$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dreapta de ecuație $x = 3$ are panta egală cu $0$ ."

7. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul $A (2, 5)$ și are panta $m = - 3$ . Aduceți rezultatul la forma generală.

8. Determinați ecuația dreptei determinate de punctele $A (- 1, 4)$ și $B (3, - 4)$ .

9. Determinați coordonatele punctelor în care dreapta de ecuație $2 x - 3 y + 12 = 0$ taie axele de coordonate.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul $P (2, - 1)$ aparține dreptei de ecuație $3 x + 2 y - 4 = 0$ ."

11. Verificați dacă punctele $A (- 2, - 3)$ , $B (1, 3)$ și $C (3, 7)$ sunt coliniare.

12. Determinați numărul real $a$ pentru care punctele $A (- 1, 0)$ , $B (2, 3)$ și $C (a, 3 a - 5)$ sunt coliniare.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră dreptele $d_{1} : y = 2 x - 1$ și $d_{2} : y = - x + 5$ . a) Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două drepte. b) Verificați dacă punctul $A (1, 1)$ aparține dreptei $d_{1}$ . c) Determinați ecuația dreptei care trece prin $A$ și are panta $3$ .

14. Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_{1} : y = 3 x - 2$ și $d_{2} : 6 x - 2 y + 5 = 0$ .

15. (Problemă aplicată.) Firma de taxi A percepe $5$ lei la pornire și $2, 5$ lei pe kilometru; firma B percepe $8$ lei la pornire și $2$ lei pe kilometru. Scrieți costurile ca funcții de distanța $x$ și determinați de la ce distanță devine mai avantajoasă firma B.

16. (Problemă aplicată.) Pe harta unei zone, cu o unitate egală cu $1$ km, se află satele $A (2, 3)$ , $B (10, 9)$ și $C (2, 9)$ . a) Calculați distanțele $A B$ , $A C$ și $B C$ . b) Arătați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic și calculați perimetrul lui. c) Un releu se montează la mijlocul drumului $A B$ — determinați coordonatele lui.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră punctele $A (- 3, 2)$ și $B (1, - 6)$ . a) Determinați coordonatele mijlocului segmentului $A B$ . b) Calculați lungimea segmentului $A B$ . c) Determinați ecuația dreptei $A B$ .

18. (Provocare.) Se consideră punctele $A (2, 1)$ și $B (8, 4)$ . a) Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $B$ este mijlocul segmentului $A C$ . b) Determinați coordonatele punctului de pe axa $O y$ egal depărtat de $A$ și de $B$ .

Răspunsuri și explicații

1. $A (3, 2)$ — cadranul I $(+, +)$ ; $B (- 2, 4)$ — cadranul II $(-, +)$ ; $C (- 3, - 1)$ — cadranul III $(-, -)$ ; $D (4, - 2)$ — cadranul IV $(+, -)$ . Semnele coordonatelor determină complet cadranul.

2. $M N = (3 + 1)^{2} + (6 - 3)^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ .

3. $M (\frac{- 5 + 3}{2}, \frac{2 + 8}{2}) = M (- 1, 5)$ .

4. Față de origine: $A^{'} (- 2, 3)$ (se schimbă semnele ambelor coordonate). Față de $B$ : $A^{''} (2 \cdot 5 - 2, 2 \cdot 1 + 3) = A^{''} (8, 5)$ — dublezi coordonatele centrului și scazi coordonatele punctului.

5. $m = \frac{6 - ( - 2 )}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2$ . Panta fiind pozitivă, dreapta urcă.

6. Fals. Dreapta $x = 3$ este verticală și nu are pantă, pentru că $Δ x = 0$ , iar împărțirea la zero nu este definită. Panta $0$ o au dreptele orizontale, de forma $y = b$ .

7. $y - 5 = - 3 (x - 2) ⟺ y = - 3 x + 11$ , adică $3 x + y - 11 = 0$ . Verificare: pentru $x = 2$ obținem $y = 5$ . ✓

8. $m = \frac{- 4 - 4}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ ; cu punctul $A$ : $y - 4 = - 2 (x + 1)$ , deci $y = - 2 x + 2$ , adică $2 x + y - 2 = 0$ . Verificare cu $B$ : $- 2 \cdot 3 + 2 = - 4$ . ✓

9. Cu $y = 0$ : $2 x + 12 = 0$ , deci $x = - 6$ și punctul este $(- 6, 0)$ . Cu $x = 0$ : $- 3 y + 12 = 0$ , deci $y = 4$ și punctul este $(0, 4)$ .

10. Adevărat. Înlocuim: $3 \cdot 2 + 2 \cdot (- 1) - 4 = 6 - 2 - 4 = 0$ . Coordonatele verifică ecuația, deci punctul aparține dreptei.

11. $m_{A B} = \frac{3 - ( - 3 )}{1 - ( - 2 )} = \frac{6}{3} = 2$ și $m_{A C} = \frac{7 - ( - 3 )}{3 - ( - 2 )} = \frac{10}{5} = 2$ . Pantele fiind egale și dreptele având punctul comun $A$ , punctele sunt coliniare (toate se află pe dreapta $y = 2 x + 1$ ).

12. Panta: $m_{A B} = \frac{3 - 0}{2 - ( - 1 )} = 1$ , iar ecuația dreptei $A B$ este $y = x + 1$ . Impunem ca $C$ să o verifice: $3 a - 5 = a + 1$ , deci $2 a = 6$ și $a = 3$ . Atunci $C (3, 4)$ , iar $4 = 3 + 1$ . ✓

13. a) Egalăm: $2 x - 1 = - x + 5$ , deci $3 x = 6$ și $x = 2$ , iar $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ ; punctul de intersecție este $(2, 3)$ . b) Pentru $x = 1$ , $d_{1}$ dă $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ , deci da, $A (1, 1)$ aparține lui $d_{1}$ . c) $y - 1 = 3 (x - 1)$ , adică $y = 3 x - 2$ .

14. Aducem $d_{2}$ la forma explicită: $6 x - 2 y + 5 = 0 ⟺ y = 3 x + 2, 5$ . Cele două drepte au aceeași pantă ( $m = 3$ ), dar ordonate la origine diferite ( $- 2$ față de $2, 5$ ), deci sunt paralele distincte; sistemul format din ecuațiile lor este incompatibil.

15. $C_{A} (x) = 2, 5 x + 5$ și $C_{B} (x) = 2 x + 8$ . Egalitatea $2, 5 x + 5 = 2 x + 8$ dă $0, 5 x = 3$ , deci $x = 6$ km, cu costul comun $20$ de lei. Cum dreapta lui A este mai abruptă (panta $2, 5 > 2$ ), pentru curse mai lungi de $6$ km este mai avantajoasă firma B, iar pentru curse mai scurte firma A.

16. a) $A B = 8^{2} + 6^{2} = 100 = 10$ km; $A C = 0 + 6^{2} = 6$ km (segment vertical); $B C = 8^{2} + 0 = 8$ km (segment orizontal). b) $A C^{2} + B C^{2} = 36 + 64 = 100 = A B^{2}$ , deci triunghiul este dreptunghic în $C$ , cu ipotenuza $A B$ ; perimetrul este $10 + 6 + 8 = 24$ km. c) $M (\frac{2 + 10}{2}, \frac{3 + 9}{2}) = M (6, 6)$ .

17. a) $M (\frac{- 3 + 1}{2}, \frac{2 - 6}{2}) = M (- 1, - 2)$ . b) $A B = (1 + 3)^{2} + (- 6 - 2)^{2} = 16 + 64 = 80 = 45$ . c) $m = \frac{- 6 - 2}{1 + 3} = - 2$ , deci $y - 2 = - 2 (x + 3)$ , adică $y = - 2 x - 4$ sau $2 x + y + 4 = 0$ . Verificare cu $B$ : $- 2 \cdot 1 - 4 = - 6$ . ✓

18. a) $B$ mijloc înseamnă $C (2 x_{B} - x_{A}, 2 y_{B} - y_{A}) = (2 \cdot 8 - 2, 2 \cdot 4 - 1) = C (14, 7)$ . b) Notăm $P (0, y)$ și punem $P A^{2} = P B^{2}$ : $(0 - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = (0 - 8)^{2} + (y - 4)^{2}$ , adică $4 + y^{2} - 2 y + 1 = 64 + y^{2} - 8 y + 16$ . Termenii $y^{2}$ se simplifică și rămâne $5 - 2 y = 80 - 8 y$ , deci $6 y = 75$ și $y = \frac{25}{2}$ . Punctul căutat este $P (0, \frac{25}{2})$ ; verificare: $P A^{2} = P B^{2} = \frac{545}{4}$ . ✓

De reținut

Distanța și mijlocul sunt cele două formule de bază ale segmentului: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ și $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ . Prima vine din teorema lui Pitagora, a doua din media aritmetică pe coordonate.
Panta $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ dă direcția dreptei: semnul spune dacă urcă sau coboară, modulul spune cât de abrupt. Dreapta verticală nu are pantă; orizontala are panta $0$ .
Ecuația dreptei se scrie mereu la fel: $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Din ea obții forma explicită $y = m x + n$ și forma generală $a x + b y + c = 0$ ; apartenența unui punct se testează înlocuind coordonatele.
Coliniaritate: $m_{A B} = m_{A C}$ , sau, echivalent, $C$ verifică ecuația dreptei $A B$ . Poziția a două drepte: pante diferite $\Rightarrow$ secante; pante egale și ordonate la origine diferite $\Rightarrow$ paralele; totul egal $\Rightarrow$ confundate.
La figuri, lucrează cu pătratele distanțelor: triunghi isoscel dacă două pătrate sunt egale, dreptunghic dacă suma a două este a treia, paralelogram dacă diagonalele au același mijloc.

Greșeli frecvente

Inversarea coordonatelor. $(3, 5)$ nu este același punct cu $(5, 3)$ : prima este întotdeauna abscisa. Aceeași grijă la scrierea răspunsului final, care trebuie dat ca pereche ordonată, nu ca număr.
Panta calculată „în cruce". Se scade în aceeași ordine sus și jos: $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , nu $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{1} - x _{2}}$ . Semnul greșit schimbă complet direcția dreptei.
„Verticala are panta zero". Verticala nu are pantă (numitorul e nul), iar orizontala are panta $0$ . Confuzia apare la aproape fiecare teză.
Radicalul lăsat nesimplificat sau aproximat prea devreme. Răspunsul corect este $45$ , nu $80$ și nici $8, 94$ . Valoarea zecimală se dă doar dacă problema o cere explicit.
Ecuația scrisă fără verificare. După ce ai găsit ecuația dreptei prin două puncte, înlocuiește ambele puncte în ea. Este verificarea care costă zece secunde și salvează întregul exercițiu.

Aplică acasă

Harta camerei tale. Alege un colț al camerei ca origine și două laturi ca axe, cu unitatea de $1$ metru. Notează coordonatele a patru obiecte (birou, pat, ușă, fereastră), apoi calculează distanțele dintre ele cu formula și verifică două dintre ele cu ruleta. Diferențele îți vor arăta cât de sensibilă e formula la precizia coordonatelor.
Două oferte, un grafic. Găsește două oferte reale comparabile (două abonamente de internet, două tarife de taxi, două prețuri de imprimare). Scrie fiecare cost ca funcție de gradul întâi, desenează cele două drepte pe aceeași foaie de matematică și citește pe grafic pragul de la care se schimbă varianta convenabilă. Verifică apoi prin calcul.
Triunghiul din trei repere. Alege pe o hartă online trei repere din orașul tău și citește-le coordonatele pe o grilă pe care o desenezi tu. Calculează pătratele laturilor și stabilește dacă triunghiul format este oarecare, isoscel sau aproape dreptunghic.

Pentru părinți și profesori

Lecția este o sinteză a întregului capitol de geometrie analitică și presupune parcurse lecțiile despre reper, distanță, mijloc, pantă, ecuațiile dreptei și pozițiile relative. Rolul ei este să transforme un set de formule izolate într-un algoritm de lucru: traduc enunțul geometric în coordonate $\to$ aplic formula potrivită $\to$ interpretez rezultatul înapoi în limbaj geometric. Este exact structura pe care o cere baremul la subiectele de geometrie analitică.

Punctele de verificat la elev: (1) scrie corect perechea ordonată și recunoaște cadranul; (2) aplică formula distanței fără să uite pătratele și fără să aproximeze radicalul; (3) calculează panta respectând ordinea scăderilor; (4) știe că verticala nu are pantă; (5) scrie ecuația dreptei pornind de la formula $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ și verifică ambele puncte; (6) traduce „coliniare" în „pante egale" sau „verifică ecuația". Întrebări bune de control: „Ce înseamnă geometric că sistemul celor două ecuații nu are soluții?", „Cum arăți că un triunghi este dreptunghic, fără să măsori unghiuri?", „Ce reprezintă panta într-un grafic cost–distanță?".

La examen, subiectele de geometrie analitică sunt printre cele mai previzibile: mijloc, distanță, ecuația dreptei, apartenența unui punct, intersecția a două drepte. Sunt exerciții scurte, cu punctaj sigur, cu condiția ca formulele să fie știute exact. Semne că elevul a înțeles: își face singur un desen orientativ, verifică rezultatul în ecuație și interpretează punctul de intersecție ca „momentul în care cele două mărimi devin egale".

Întrebări frecvente

Care este formula distanței dintre două puncte în plan? $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ . Ea vine din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele. Ordinea punctelor nu contează, pentru că diferențele apar la pătrat.

Cum aflu coordonatele mijlocului unui segment? Faci media aritmetică pe fiecare coordonată separat: $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ . Dacă știi mijlocul și un capăt, celălalt capăt se află cu $B (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$ .

De ce dreapta verticală nu are pantă? Pentru că panta este raportul $\frac{Δ y}{Δ x}$ , iar la o dreaptă verticală toate punctele au aceeași abscisă, deci $Δ x = 0$ și împărțirea nu se poate face. Nu spune „panta este infinită" și nici „panta este zero" — corect este „nu are pantă".

Cum scriu ecuația unei drepte când cunosc două puncte? În doi pași: calculezi panta $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , apoi scrii $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ cu oricare dintre cele două puncte. Dacă punctele au aceeași ordonată, dreapta este $y = y_{1}$ ; dacă au aceeași abscisă, este $x = x_{1}$ .

Cum verific dacă trei puncte sunt coliniare? Cel mai simplu: calculezi $m_{A B}$ și $m_{A C}$ — dacă sunt egale, punctele sunt coliniare. Alternativ, scrii ecuația dreptei $A B$ și verifici dacă al treilea punct o satisface; metoda a doua funcționează și când apare un parametru.

Ce înseamnă că sistemul format din ecuațiile a două drepte este incompatibil? Înseamnă că dreptele nu au niciun punct comun, adică sunt paralele distincte. Se recunosc după pante egale și ordonate la origine diferite. Dacă sistemul are o infinitate de soluții, dreptele sunt confundate.

Cum calculez aria triunghiului format de o dreaptă cu axele de coordonate? Afli tăieturile: $A (a, 0)$ pe $O x$ (pui $y = 0$ ) și $B (0, b)$ pe $O y$ (pui $x = 0$ ). Triunghiul $O A B$ este dreptunghic în origine, deci aria este $\frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{2}$ . Modulele sunt obligatorii, pentru că tăieturile pot avea coordonate negative.

Ce tipuri de probleme de geometrie analitică se dau la examen? Cele mai frecvente: mijlocul unui segment, lungimea unui segment, ecuația dreptei determinate de două puncte, verificarea apartenenței unui punct la o dreaptă și intersecția a două drepte. Se rezolvă în câteva rânduri, dacă formulele sunt știute exact.