Ce clase din ℤₙ sunt exact divizorii lui zero?

Cele nenule care nu sunt prime cu n. În ℤ₁₂ acestea sunt 2, 3, 4, 6, 8, 9 și 10. Împreună cu cele patru clase inversabile și cu 0 acoperă toată mulțimea, deci fiecare clasă nenulă cade într-una dintre cele două tabere.

Cum recunoști o lege cu structură ascunsă?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Recapitulare: inele și corpuri cu structuri ascunse

După forma desfășurată. O lege scrisă $x \otimes y = x y - a x - a y + a^{2} + a$ se strânge întotdeauna în $(x - a) (y - a) + a$ : numărul $a$ este jumătate din coeficientul lui $x$ , luat cu semn schimbat, iar termenul liber confirmă potrivirea. Alături de ea stă $x \oplus y = x + y - a$ . Forma strânsă spune apoi singură cine e zeroul, cine e unitatea și cum arată simetricele, fără vreun calcul nou.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Problemele „cu structură ascunsă” pornesc de la două legi scrise prin formule. Prima mișcare este recunoașterea formei: o lege de tipul $x \otimes y = x y - a x - a y + a^{2} + a$ se scrie întotdeauna $x \otimes y = (x - a) (y - a) + a$ , iar alături de ea stă $x \oplus y = x + y - a$ . Din forma factorizată se citesc pe rând zeroul (neutrul lui $\oplus$ , egal cu $a$ ), unitatea (neutrul lui $\otimes$ , egală cu $a + 1$ ), simetricul $x^{'} = 2 a - x$ față de $\oplus$ și inversul față de $\otimes$ , care nu este $\frac{1}{x}$ . A doua mișcare este transportul de structură: funcția $f (x) = x - a$ este izomorfism către $(R, +, \cdot)$ , deci transferă deodată toate axiomele — se scriu doar cele două condiții de morfism și bijectivitatea, nu se reverifică nimic. Pe un interval construcția cade: zeroul $a$ trebuie să aparțină mulțimii. La mulțimile de matrice, asociativitatea și distributivitatea se moștenesc din $M_{2} (R)$ ; se verifică doar stabilitatea și existența elementelor speciale. În sfârșit, $Z_{n}$ este corp dacă și numai dacă $n$ este prim, iar clasele neinversabile sunt exact divizorii lui zero.

De reținut

$x y - a x - a y + a^{2} + a = (x - a) (y - a) + a$
zeroul este $a$ , unitatea $a + 1$ , iar simetricul față de $\oplus$ este $2 a - x$
$Z_{n}$ e corp exact pentru $n$ prim, iar clasele neinversabile sunt divizorii lui zero

Greșeala tipică

Se verifică pe rând toate axiomele de corp după ce izomorfismul a fost deja construit. Este muncă în plus fără punctaj: funcția găsită transferă totul, iar demonstrația se încheie după bijectivitate.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ se definește $x \otimes y = x y - 8 x - 8 y + 72$ . Forma factorizată a acestei legi este:
- a) $(x - 8) (y - 8) + 72$
- b) $(x - 4) (y - 4) + 8$
- c) $(x + 8) (y + 8) - 8$
- d) $(x - 8) (y - 8) + 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(x - 8) (y - 8) + 8$

Desfacem varianta d: $(x - 8) (y - 8) + 8 = x y - 8 x - 8 y + 64 + 8 = x y - 8 x - 8 y + 72$ , exact legea dată. Regula de recunoaștere: coeficientul lui $x$ și cel al lui $y$ dau parametrul $a = 8$ , iar termenul liber trebuie să fie $a^{2} + a = 72$ . Varianta a ar cere termenul liber $64 + 72$ , iar varianta b ar da coeficienți $- 4$ .
Pentru legile $x \oplus y = x + y - 8$ și $x \otimes y = (x - 8) (y - 8) + 8$ pe $R$ , elementul unitate (neutrul lui $\otimes$ ) este:
- a) $8$
- b) $1$
- c) $9$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $9$

Căutăm $u$ cu $x \otimes u = x$ pentru orice $x$ : $(x - 8) (u - 8) + 8 = x$ se scrie $(x - 8) (u - 8) = x - 8$ , deci $u - 8 = 1$ și $u = 9$ . Regula generală: pentru $a$ dat, zeroul este $a$ , iar unitatea este $a + 1$ . Varianta $8$ confundă unitatea cu zeroul, iar variantele $1$ și $0$ transportă neutrele obișnuite fără să țină cont de translație.
Cu legile de mai sus, simetricul lui $11$ față de $\oplus$ și inversul lui $11$ față de $\otimes$ sunt:
- a) $5$ și $\frac{25}{3}$
- b) $- 11$ și $\frac{1}{11}$
- c) $5$ și $\frac{1}{11}$
- d) $- 3$ și $\frac{25}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$ și $\frac{25}{3}$

Simetricul față de $\oplus$ se notează $x^{'}$ și verifică $11 + x^{'} - 8 = 8$ , deci $x^{'} = 5$ (regula $x^{'} = 2 a - x$ ). Inversul față de $\otimes$ verifică $(11 - 8) (x^{- 1} - 8) + 8 = 9$ , adică $3 (x^{- 1} - 8) = 1$ și $x^{- 1} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$ . Varianta b transportă neutrele obișnuite, iar varianta c confundă $x^{- 1}$ față de $\otimes$ cu inversul obișnuit al numărului.

Întrebări conexe

Ce se citește din forma factorizată a unei legi de compoziție?

Aproape tot subiectul: asociativitatea și comutativitatea, neutrul, simetricul, partea stabilă și funcția care duce structura într-una cunoscută. Un singur pas de rescriere înlocuiește patru sau cinci verificări separate, ceea ce face din el prima mișcare a oricărei rezolvări.

Ce axiome se moștenesc de la inelul matricelor pătratice?

Asociativitatea celor două operații, comutativitatea adunării și distributivitatea. Ele sunt adevărate pentru toate matricele, deci și pentru cele din mulțimea studiată. Rămân de verificat stabilitatea la adunare și la înmulțire, apoi prezența matricei nule, a unității și a opuselor.

De ce nu se mai reverifică axiomele după ce ai găsit izomorfismul?

Pentru că izomorfismul le mută pe toate deodată. O egalitate adevărată în structura cunoscută se traduce, prin funcție, într-o egalitate adevărată în cea studiată. Se scriu deci numai cele două condiții de morfism și bijectivitatea, iar restul se declară transferat.

Ce clase din $Z_{n}$ sunt exact divizorii lui zero?

Cele nenule care nu sunt prime cu $n$ . În $Z_{12}$ acestea sunt $\hat{2}$ , $\hat{3}$ , $\hat{4}$ , $\hat{6}$ , $\hat{8}$ , $\hat{9}$ și $10$ . Împreună cu cele patru clase inversabile și cu $\hat{0}$ acoperă toată mulțimea, deci fiecare clasă nenulă cade într-una dintre cele două tabere.

Ce trebuie scris când afirmi că o structură nu este corp?

Un element concret care nu are invers, împreună cu motivul. O propoziție generală despre lipsa inverselor, nesprijinită pe un caz anume, nu se punctează. În $Z_{10}$ se arată, de pildă, că $\hat{2}$ nu are invers, fiindcă $2$ și $10$ au divizorul comun $2$ .

Ce funcție folosești ca izomorfism către corpul numerelor reale?

Translația $f (x) = x - a$ , cu inversa $f^{- 1} (t) = t + a$ . Ea duce legea $\oplus$ în adunare și legea $\otimes$ în înmulțire, iar bijectivitatea se citește din formula inversei. Pe un interval construcția cade, fiindcă o translație duce un interval tot într-un interval.

Oamenii mai întreabă și: structuri ascunse la bacalaureat · lege de compoziție cu forma factorizată · transport de structură la corpuri · divizorii lui zero din Z n · inel comutativ de matrice