Despre șirul $$a_n = -n^{2} + 3$$ este adevărat că:

are limita $$-\infty$$, deci este divergent

este convergent, cu limita $$-\infty$$

Care sunt cele șapte nedeterminări?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Recapitulare: limite de șiruri și de funcții

În ordinea canonică: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ și $0^{0}$ . Ele marchează locurile în care regulile de calcul cu limite se opresc, iar expresia trebuie prelucrată. Fiecare are unealta ei: factorizare și simplificare, împărțire la puterea dominantă, amplificare cu conjugata, răsturnarea unui factor sau logaritmare.

Două capitole, o singură întrebare: spre ce se îndreaptă valorile? Vocabularul se cere exact. Un șir convergent are limită finită; unul divergent nu e convergent — inclusiv atunci când are limită infinită. Iar $lim a_{n} = + \infty$ înseamnă că limita există în $\overline{R}$ ; „nu există limită" se spune doar când e adevărat, ca la $(- 1)^{n}$ .

Etalonul este $(q^{n})_{n}$ : limita este $0$ pentru $∣ q ∣ < 1$ , este $1$ pentru $q = 1$ , este $+ \infty$ pentru $q > 1$ și nu există pentru $q \leq - 1$ .

Tehnica se alege după forma expresiei: raport de polinoame — se împarte prin puterea cea mai mare din numitor; diferență cu radicali — conjugata; sumă de puteri — factor comun puterea dominantă; șir dat prin recurență — monotonie, mărginire, teorema lui Weierstrass (care garantează că limita există și e finită) și abia apoi trecerea la limită.

Limita unei funcții se definește cu șiruri, ceea ce dă și metoda de a arăta că o limită nu există: două șiruri care tind la $x_{0}$ cu imagini de limite diferite. Criteriul cu limite laterale spune același lucru: limita există dacă și numai dacă $l_{s} (x_{0})$ și $l_{d} (x_{0})$ există și sunt egale.

Cele șapte nedeterminări, în ordinea canonică: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ . Iar dintre cele cinci limite fundamentale, atenție la $x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a$ — nu $1$ .

De reținut

cele șapte: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$
convergent înseamnă limită finită
$x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a$

Greșeala tipică

Se spune „limita nu există” despre un șir sau o funcție care tinde la infinit. Acolo limita există în mulțimea extinsă; formularea se rezervă cazurilor de tipul $(- 1)^{n}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Despre șirul $a_{n} = - n^{2} + 3$ este adevărat că:
- a) este convergent, cu limita $- \infty$
- b) nu are limită
- c) are limita $- \infty$ , deci este divergent
- d) este mărginit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) are limita $- \infty$ , deci este divergent

Termenii coboară oricât de jos, deci limita există în $\overline{R}$ și este $- \infty$ . Cuvântul „convergent" este însă rezervat limitelor finite, așa că șirul este divergent. „Nu are limită" ar fi altceva — cazul șirurilor care oscilează, ca $(- 1)^{n}$ . Iar mărginit nu este, tocmai pentru că nu are minorant.
Șirul $a_{n} = (- 2)^{n}$ :
- a) are limita $+ \infty$
- b) nu are limită
- c) are limita $0$
- d) are limita $- 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu are limită

Se aplică tabelul lui $q^{n}$ , cu $q = - 2 \leq - 1$ : acesta este cazul în care limita nu există. Motivul se vede pe subșiruri: termenii de rang par tind la $+ \infty$ , cei de rang impar la $- \infty$ , iar limita, dacă ar exista, ar fi unică. Este singurul rând al tabelului în care răspunsul nu este un element al lui $\overline{R}$ .
$x \to 0 lim \frac{3 ^{x} - 1}{x}$ este egală cu:
- a) $ln 3$
- b) $1$
- c) $3$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $ln 3$

Este a treia limită fundamentală, $x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a$ , pentru $a > 0$ . Valoarea $1$ apare numai în cazul particular $a = e$ — de aceea greșeala e ușor de făcut. Aici $a = 3$ , deci limita este $ln 3 \approx 1, 0986$ .

Întrebări conexe

Ce limită are șirul q la puterea n?

Depinde de $q$ : pentru $∣ q ∣ < 1$ limita este $0$ , pentru $q = 1$ este $1$ , pentru $q > 1$ este $+ \infty$ , iar pentru $q \leq - 1$ șirul nu are limită. Etalonul acesta se folosește la aproape orice exercițiu cu puteri.

Ce înseamnă că un șir este convergent?

Că are limită finită. Un șir cu limita $+ \infty$ nu este convergent, ci divergent, deși limita lui există. Cuvintele se cer exact la examen: „divergent” acoperă și cazul în care limita lipsește cu totul.

Ce tehnică folosesc la o diferență cu radicali?

Amplificarea cu conjugata, care mută nedeterminarea într-un raport. Pentru radicali de ordinul al treilea partenerul devine trinomul $a^{2} + ab + b^{2}$ . Se scrie și că expresia cu care ai amplificat nu se anulează.

Ce tehnică folosesc la o sumă de puteri cu baze diferite?

Dai factor comun puterea care crește cel mai repede, adică cea cu baza cea mai mare în modul. La $\frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{3 ^{n} - 1}$ scoți $3^{n}$ sus și jos, iar fracțiile rămase se sting, deci limita este $1$ .

De ce limita din a la puterea x, minus 1, supra x nu este 1?

Pentru că valoarea corectă este $ln a$ , iar acest număr coincide cu $1$ doar pentru baza $e$ . La baza $2$ rezultatul este aproximativ $0, 693$ . Confuzia vine de la limita cu logaritm, unde răspunsul chiar este $1$ .

Ce criteriu leagă limita de limitele laterale?

Într-un punct la care se poate ajunge din amândouă părțile, limita există dacă și numai dacă cele două laterale există și coincid. Tot de aici vine și modul de a dovedi lipsa unei limite: două laterale cu valori diferite.

Oamenii mai întreabă și: cele șapte nedeterminări · cazuri de nedeterminare · recapitulare limite · limite de șiruri și de funcții · cele cinci limite fundamentale