Determinantul unei matrice de ordinul $$4$$ se calculează:

prin transformări elementare, urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană

cu formula $$a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$, aplicată pe blocuri

Când folosesc Cramer și când Kronecker-Capelli?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Recapitulare: matrice, determinanți, sisteme

Cramer se aplică unui sistem cu tot atâtea ecuații câte necunoscute și cu determinantul matricei nenul; atunci sistemul are soluție unică, scrisă direct cu rapoarte de determinanți. Dacă determinantul se anulează sau numărul ecuațiilor nu se potrivește, treci la rangul matricei și la teorema Kronecker-Capelli, care compară rangul sistemului cu cel al matricei extinse. Gradul de nedeterminare iese $n - r$ .

Cele trei capitole sunt trei etaje ale aceleiași clădiri, iar firul roșu se scrie într-un rând: tablou $\to$ operații $\to$ determinant $\to$ inversabilitate $\to$ compatibilitate $\to$ soluție. Propoziția de reținut: determinantul este numărul care decide.

La trecerea de la numere la matrice, unele reguli se pierd. Înmulțirea nu este comutativă, din $A B = O_{n}$ nu rezultă că un factor e nul, iar $(A + B)^{2}$ se desface după formula obișnuită numai dacă $A B = B A$ . Împărțirea nu există: se spune „înmulțire cu inversa", precizând partea. Metodele de ridicare la putere sunt patru elementare — inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație — plus Hamilton-Cayley, a cincea.

La determinanți, metoda se alege după ordin: formula directă la ordinul $2$ , regula lui Sarrus numai la ordinul $3$ , iar de la ordinul $4$ transformări elementare urmate de dezvoltarea $det A = \sum_{j} a_{ij} δ_{ij}$ . Transformările se scriu cu notațiile lor: $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ , $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ cu $i \neq = j$ , analog pe coloane.

$A$ este inversabilă exact când $det A \neq = 0$ ; inversa se obține cu adjuncta, $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ , sau prin Gauss-Jordan.

La sisteme, arborele de decizie: $det A \neq = 0$ cu $n$ ecuații și $n$ necunoscute $\to$ Cramer; altfel $rang A$ și Kronecker-Capelli, iar gradul de nedeterminare este $n - r$ .

De reținut

$det A \neq = 0$ deschide drumul spre regula lui Cramer
altfel se trece la rang și la teorema Kronecker-Capelli
gradul de nedeterminare este $n - r$

Greșeala tipică

Se declară sistemul incompatibil numai pentru că determinantul se anulează. Un determinant nul poate da și sistem compatibil nedeterminat; hotărăște comparația rangurilor.

Exerciții din această mini-lecție

Determinantul unei matrice de ordinul $4$ se calculează:
- a) cu regula lui Sarrus
- b) cu regula triunghiului
- c) cu formula $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ , aplicată pe blocuri
- d) prin transformări elementare, urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) prin transformări elementare, urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană

Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul $3$ ; aplicate la ordinul $4$ produc $8$ termeni în loc de $24$ și un rezultat fals, care se depunctează integral. Procedeul corect este să faci zerouri pe o linie sau pe o coloană, cu operații de tipul $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ (care nu schimbă valoarea), și apoi să dezvolți după acea linie.
Fie $A, B \in M_{2} (C)$ , cu $det A \neq = 0$ . Soluția ecuației matriceale $X A = B$ este:
- a) $X = B A^{- 1}$
- b) $X = A^{- 1} B$
- c) $X = \frac{B}{A}$
- d) $X = A B^{- 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $X = B A^{- 1}$

Se înmulțește cu $A^{- 1}$ de partea în care apare $A$ , adică la dreapta: din $X A = B$ rezultă $X A A^{- 1} = B A^{- 1}$ , deci $X = B A^{- 1}$ . Fiindcă înmulțirea matricelor nu e comutativă, $A^{- 1} B$ și $B A^{- 1}$ sunt, în general, matrice diferite. Împărțirea de matrice nu există ca operație.
Matricea $A (m) = (m 3 2 m - 1)$ nu este inversabilă pentru:
- a) $m \in {- 3, 2}$
- b) $m = 6$
- c) $m \in {- 2, 3}$
- d) niciun $m$ real
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m \in {- 2, 3}$

$det A (m) = m (m - 1) - 6 = m^{2} - m - 6 = (m - 3) (m + 2)$ , iar criteriul determinantului spune că matricea este inversabilă exact când $det A \neq = 0$ . Determinantul se anulează pentru $m = 3$ și $m = - 2$ , deci pentru aceste două valori matricea este singulară; pentru orice altă valoare a lui $m$ ea are inversă.

Întrebări conexe

Ce reguli de la numere se pierd la înmulțirea matricelor?

Comutativitatea, în primul rând: $A B$ și $B A$ pot fi diferite. Apoi, chiar dacă produsul iese matricea nulă, factorii pot fi amândoi nenuli. În sfârșit, pătratul unei sume urmează formula știută doar când cei doi termeni comută.

Când este inversabilă o matrice pătratică?

Exact atunci când determinantul ei nu este zero. Inversa se obține fie cu adjuncta, prin formula $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ , fie prin transformări elementare. Cu matrice nu se împarte: spui că înmulțești cu inversa și arăți din ce parte.

Ce înseamnă gradul de nedeterminare al unui sistem?

Este numărul necunoscutelor secundare, adică diferența $n - r$ dintre numărul necunoscutelor și rangul matricei. El arată câți parametri apar în scrierea soluției. Un grad nul înseamnă sistem compatibil determinat.

Ce notații au transformările elementare pe linii?

Schimbarea a două linii se scrie $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , înmulțirea cu un număr nenul $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ , iar adunarea unui multiplu $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , cu indici diferiți. Aceleași notații se folosesc și pe coloane.

Cum se calculează un determinant de ordinul al patrulea?

Prin transformări elementare, până când o linie rămâne aproape numai cu zerouri, apoi prin dezvoltare după ea. Regula lui Sarrus nu se aplică aici: ea funcționează doar la ordinul al treilea.

Ce spune teorema Hamilton-Cayley despre puterile unei matrice?

Pentru o matrice de ordinul al doilea dă relația $A^{2} = tr (A) A - det (A) I_{2}$ , din care puterile se calculează recurent. Este a cincea metodă de ridicare la putere, alături de inducție, binomul lui Newton, șiruri recurente și matricea de rotație.

Oamenii mai întreabă și: recapitulare matrice și determinanți · când se aplică regula lui Cramer · teorema Kronecker-Capelli · rezolvarea sistemelor liniare · rangul unei matrice