Ecuația $$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{25} = 0$$ descrie:

două drepte concurente, $$y = \pm\dfrac{5}{3}x$$

Ce se împarte la ce la o ecuație de forma Ax²+By²=D?

Toată ecuația se împarte la D, adică la membrul drept, ca să rămână 1 acolo. Din 25x²+9y²=225 ies numitorii 9 și 25, deci semiaxele sunt 3 pe orizontală și 5 pe verticală, iar axa mare urcă pe ordonate.

Cum recunosc tipul unei conice?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Recunoașterea conicelor din ecuație

Pui două întrebări, dar numai după normalizare, adică după ce în membrul drept ajunge $1$ . Prima numără variabilele ridicate la pătrat: una singură înseamnă parabolă. A doua privește semnul dintre pătrate — plus duce la elipsă, minus la hiperbolă, iar numitorii egali dau cerc. Din $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ citești o elipsă cu semiaxele $5$ și $3$ .

Tipul unei conice se decide în două întrebări: câte variabile apar la pătrat — una singură înseamnă parabolă — și ce semn stă între cele două pătrate — plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă; numitori egali după normalizare înseamnă cerc. Întrebările se pun însă numai după normalizare: ecuațiile de forma $A x^{2} + B y^{2} = D$ se împart la $D$ , iar ecuația generală a cercului se aduce la formă canonică prin completarea pătratelor.

Poziția numitorului mare arată axa. La elipsă, semiaxa mare este radicalul numitorului mai mare și stă pe axa variabilei de sub care apare: dacă numitorul mare e sub $y^{2}$ , axa mare și focarele urcă pe $O y$ . La hiperbolă, axa transversă este cea a termenului cu plus, deci $\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$ are vârfurile și focarele pe $O y$ . Panta asimptotelor, valabilă la ambele orientări, este raportul dintre semiaxa de sub $y^{2}$ și semiaxa de sub $x^{2}$ , obținut înlocuind $1$ cu $0$ în ecuația canonică.

Nu orice ecuație de gradul al doilea este conică: membrul drept nul dă un punct sau două drepte concurente, iar un membru drept negativ dă mulțimea vidă. O conică este reuniunea graficelor funcțiilor obținute scoțând $y$ cu ambele semne ale radicalului, pe domeniul dat de condiția de existență — domeniul face parte din răspuns. Excepțiile, singurele conice care sunt grafice de funcții, sunt $x^{2} = \pm 2 p y$ și $x y = k$ .

De reținut

două întrebări: câte pătrate apar și ce semn stă între ele
normalizarea vine înaintea oricărei citiri de elemente
grafice de funcții sunt doar $x^{2} = \pm 2 p y$ și $x y = k$

Greșeala tipică

Se citesc semiaxele direct din ecuația nenormalizată. Din $25 x^{2} + 9 y^{2} = 225$ nu ies $5$ și $3$ în ordinea scrisă: după împărțirea la $225$ , semiaxa mare este $5$ și stă pe axa ordonatelor.

Exerciții din această mini-lecție

Focarele conicei $\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{100} = 1$ sunt:
- a) $(0, \pm 6)$
- b) $(\pm 10, 0)$
- c) $(0, \pm 10)$
- d) $(\pm 6, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(0, \pm 6)$

Numitorul mai mare, $100$ , stă sub $y^{2}$ , deci semiaxa mare este $a = 10$ și se află pe axa $O y$ , iar $b = 8$ . Atunci $c = 100 - 64 = 6$ și focarele sunt $(0, \pm 6)$ , pe axa mare. Presupunerea automată că axa mare este $O x$ este exact greșeala pe care o testează întrebarea.
Asimptotele hiperbolei $\frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{9} = 1$ sunt:
- a) $y = \pm x$
- b) $y = \pm \frac{3}{4} x$
- c) $y = \pm \frac{4}{3} x$
- d) $y = \pm \frac{16}{9} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = \pm \frac{4}{3} x$

Regula valabilă la ambele orientări: panta este raportul dintre semiaxa de sub $y^{2}$ și semiaxa de sub $x^{2}$ , adică $\frac{4}{3}$ . Se obține imediat înlocuind $1$ cu $0$ : $\frac{y ^{2}}{16} = \frac{x ^{2}}{9}$ . Regula „numărătorul e semiaxa de sub termenul cu minus” este adevărată doar pentru forma cu axa transversă pe $O x$ .
Ecuația $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{25} = 0$ descrie:
- a) un singur punct
- b) o hiperbolă
- c) mulțimea vidă
- d) două drepte concurente, $y = \pm \frac{5}{3} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) două drepte concurente, $y = \pm \frac{5}{3} x$

Membrul drept fiind nul, ecuația se factorizează: $(\frac{x}{3} - \frac{y}{5}) (\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) = 0$ , deci mulțimea este reuniunea dreptelor $y = \pm \frac{5}{3} x$ — chiar asimptotele hiperbolei cu același membru stâng. Este una dintre conicele degenerate, cazul planului care trece prin vârful conului.

Întrebări conexe

Ce semn între pătrate înseamnă hiperbolă?

Semnul minus. Plusul dă elipsă, iar dacă după normalizare cei doi numitori ies egali, elipsa este de fapt cerc. Când o singură variabilă apare la pătrat, iar cealaltă la puterea întâi, curba este parabolă.

Ce conică descrie o ecuație cu numitori egali?

Un cerc, cazul particular de elipsă în care cele două semiaxe coincid. Ecuația $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ se rescrie $x^{2} + y^{2} = 9$ , deci raza este $3$ . Excentricitatea unei astfel de curbe este zero, iar focarele se suprapun în centru.

Ce se obține dintr-o ecuație de conică cu membrul drept negativ?

Mulțimea vidă. O sumă de pătrate împărțite la numere pozitive nu poate fi negativă, deci nicio pereche de coordonate nu verifică egalitatea. Dacă membrul drept este nul, se obține un punct sau două drepte care se taie, după semnele din stânga.

Cum recunosc o conică mutată din origine?

După termenii de gradul întâi în $x$ sau în $y$ . Completezi pătratele și aduci ecuația la forma cu paranteze, $\frac{( x - x _{0} ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - y _{0} ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ; perechea $(x_{0}, y_{0})$ arată unde s-a mutat centrul, iar tipul conicei rămâne același.

Câte variabile la pătrat are ecuația unei parabole?

Una singură. Cealaltă apare la puterea întâi, ceea ce deosebește parabola de celelalte trei conice, unde amândouă variabilele sunt ridicate la pătrat. De aici și faptul că parabola nu are centru de simetrie.

Ce se împarte la ce la o ecuație de forma $A x^{2} + B y^{2} = D$ ?

Toată ecuația se împarte la $D$ , adică la membrul drept, ca să rămână $1$ acolo. Din $25 x^{2} + 9 y^{2} = 225$ ies numitorii $9$ și $25$ , deci semiaxele sunt $3$ pe orizontală și $5$ pe verticală, iar axa mare urcă pe ordonate.

Oamenii mai întreabă și: ce fel de conică este o ecuație · normalizarea ecuației unei conice · conica din ecuație · conice ca reuniuni de grafice · numitorul mare sub y la pătrat