Enunțul complet al teoremei lui Rolle cere ca funcția $$f : [a,b] \to \mathbb{R}$$ să fie:

continuă pe $$[a,b]$$, derivabilă pe $$(a,b)$$ și cu $$f(a) = f(b)$$

derivabilă pe $$[a,b]$$ și cu $$f(a) = f(b)$$

continuă pe $$(a,b)$$ și cu $$f(a) = f(b)$$

continuă și derivabilă pe $$[a,b]$$

Formularea corectă pentru funcția $$f : \mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \dfrac1x$$, este:

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$(-\infty, 0)$$ și pe $$(0, +\infty)$$

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$\mathbb{R}^{*}$$

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$\mathbb{R}$$

$$f$$ este strict crescătoare pe $$\mathbb{R}^{*}$$

Formula $$\displaystyle\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + \mathcal{C}$$ nu se aplică pentru:

$$n = -1$$, când primitiva este $$\ln\lvert x \rvert + \mathcal{C}$$, pe un interval care nu conține originea

$$n = 0$$, când integrandul este constant

$$n = 1$$, când integrandul este liniar

Ce se depunctează cel mai des la Bac?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Redactarea la Bacalaureat M1: ce se depunctează

Ipotezele nescrise ale unei teoreme, concluzia care lipsește la sfârșit, soluțiile străine nerespinse, cazurile speciale sărite și rezultatele date fără unitate sau fără interval. Baremul punctează drumul, nu doar numărul final, deci o rezolvare corectă dar nescrisă până la capăt pierde puncte, iar una începută corect și neterminată aduce totuși puncte.

Baremul de Bacalaureat M1 nu punctează rezultatul, ci drumul scris către el: cele $5$ puncte ale unui subpunct se împart de obicei $2 + 3$ sau $1 + 2 + 2$ . De aici trei consecințe — o rezolvare începută corect și neterminată aduce puncte, un rezultat corect fără pași nu ia punctajul întreg, iar o eroare de calcul la final nu anulează pașii anteriori. Ipotezele teoremelor se enunță complet și înaintea concluziei: Rolle cere continuitate pe $[a, b]$ , derivabilitate pe $(a, b)$ și $f (a) = f (b)$ ; Lagrange, primele două; L'Hôpital se aplică numai după ce s-a scris că suntem în cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ ; teorema de medie cere continuitate pe intervalul închis și mărginit. Cele patru cazuri uitate sunt dreapta verticală, care nu are pantă; $Δ = 0$ , care nu spune singur dacă un sistem e nedeterminat sau incompatibil; capătul intervalului, unde teorema lui Fermat nu se aplică; și $n = - 1$ la $\int x^{n} d x$ , unde primitiva este $ln ∣ x ∣ + C$ . O demonstrație se scrie în cele patru mișcări ale redactării: ce se dă, ce se cere, drumul cu justificările la vedere, concluzia în cuvinte — ultima lipsește cel mai des. Iar controlul de bun-simț numeric prinde în treizeci de secunde majoritatea greșelilor: o arie iese pozitivă, o probabilitate stă în $[0, 1]$ , un volum conține $π$ .

De reținut

cele $5$ puncte se împart pe pași
ipotezele se enunță înaintea concluziei
cazuri uitate: dreapta verticală, $Δ = 0$ , $n = - 1$

Greșeala tipică

Se scrie doar rezultatul, fără pașii care duc la el. Baremul punctează drumul, deci un răspuns corect fără justificări ia doar o parte din puncte, uneori mai puțin decât o rezolvare neterminată.

Exerciții din această mini-lecție

Enunțul complet al teoremei lui Rolle cere ca funcția $f : [a, b] \to R$ să fie:
- a) derivabilă pe $[a, b]$ și cu $f (a) = f (b)$
- b) continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ și cu $f (a) = f (b)$
- c) continuă pe $(a, b)$ și cu $f (a) = f (b)$
- d) continuă și derivabilă pe $[a, b]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ și cu $f (a) = f (b)$

Cele trei ipoteze se scriu exact așa, cu intervalul închis la continuitate și deschis la derivabilitate. Deosebirea nu e formală: funcția $f (x) = 1 - x^{2}$ pe $[- 1, 1]$ e continuă pe intervalul închis, dar nu e derivabilă în capete — și totuși teorema se aplică. Cerința „derivabilă pe $[a, b]$ ” ar exclude-o inutil, iar „continuă pe $(a, b)$ ” ar fi prea slabă. Ipoteza se scrie înaintea concluziei.
Formularea corectă pentru funcția $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , este:
- a) $f$ este strict descrescătoare pe $R^{*}$
- b) $f$ este strict descrescătoare pe $R$
- c) $f$ este strict crescătoare pe $R^{*}$
- d) $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$

Monotonia se enunță pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale, chiar dacă semnul derivatei e același peste tot. Contraexemplul e imediat: $- 1 < 1$ , dar $f (- 1) = - 1 < 1 = f (1)$ , deci pe $R^{*}$ funcția nu este descrescătoare. Iar $R$ nici măcar nu este domeniul ei. Aceeași regulă se aplică la convexitate și la afirmația „două primitive diferă printr-o constantă”.
Formula $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ nu se aplică pentru:
- a) $n = 0$ , când integrandul este constant
- b) $n = 1$ , când integrandul este liniar
- c) $n = - 1$ , când primitiva este $ln ∣ x ∣ + C$ , pe un interval care nu conține originea
- d) orice $n$ negativ
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $n = - 1$ , când primitiva este $ln ∣ x ∣ + C$ , pe un interval care nu conține originea

Pentru $n = - 1$ numitorul $n + 1$ se anulează, deci formula nu are sens; acolo primitiva este $ln ∣ x ∣ + C$ , cu modul, pe $(- \infty, 0)$ sau pe $(0, + \infty)$ . Este unul dintre cele patru cazuri uitate. Pentru $n = 0$ formula dă corect $x + C$ , iar pentru orice alt exponent negativ funcționează, cu intervalul precizat: de pildă $\int x^{- 3} d x = - \frac{1}{2 x ^{2}} + C$ .

Întrebări conexe

Cum se împart cele 5 puncte ale unui subpunct?

De obicei în două sau trei bucăți, de tipul doi plus trei ori unu plus doi plus doi. Se punctează separat pornirea, adică formula ori condițiile de existență, apoi calculul, iar la sfârșit finalizarea cu concluzia scrisă în cuvinte.

Ce se verifică înainte de a folosi regula lui l'Hospital?

Că raportul duce într-adevăr la un caz de nedeterminare și că numărătorul și numitorul sunt derivabile în jurul punctului. Fără rândul acesta scris, corectorul nu acordă punctul de justificare, chiar dacă valoarea finală este bună.

Care sunt cele patru mișcări ale redactării?

Se scrie ce dă enunțul, apoi ce se cere, apoi drumul cu justificările lăsate la vedere, iar la urmă concluzia în cuvinte. Tocmai aceasta din urmă se uită cel mai des, deși leagă calculul de întrebarea pusă și are rândul ei în barem.

Ce se pierde dacă lipsește concluzia în cuvinte?

Punctul de finalizare al subpunctului. Un număr subliniat nu spune ce reprezintă, iar corectorul nu completează în locul candidatului. Concluzia se scrie într-un rând, cu termenii din enunț, chiar dacă pare o repetare.

Ce controale numerice prind repede o greșeală?

O arie iese pozitivă, o probabilitate stă între zero și unu, un volum conține numărul $π$ , o integrală dintr-o funcție pozitivă nu poate fi negativă. Fiecare cere câteva secunde și prinde erori pe care recitirea calculului le ratează.

Oamenii mai întreabă și: ce se depunctează la Bacalaureat · cum se redactează o rezolvare · ipotezele teoremelor la examen · concluzia în cuvinte · cazuri uitate la Bac