Într-un inel $$(A, +, \cdot)$$, din egalitatea $$ac = bc$$ rezultă $$a = b$$:

dacă $$c \ne 0$$ și $$c$$ nu este divizor al lui zero

Cum se rezolvă ecuația x(x- 1)= 0 în ℤ₆?

Se încearcă toate cele șase clase, fiindcă 6 nu este prim și produsul a două clase nenule poate ieși nul. Ies patru soluții: 0, 1, 3 și 4. Reflexul din numerele reale, care ar da doar primele două, pierde jumătate din răspuns.

Cât face a înmulțit cu zero într-un inel?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Divizori ai lui zero; inele integre

Tot zero, indiferent din ce sunt făcute elementele: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ . Nu este o convenție, ci o consecință a axiomelor. Pornești de la $0 + 0 = 0$ , înmulțești cu $a$ și folosești distributivitatea; iese $a \cdot 0 + a \cdot 0 = a \cdot 0$ , iar simplificarea în grupul aditiv lasă $a \cdot 0 = 0$ . Din același tipar ies regulile semnelor, printre care $(- a) (- b) = ab$ .

Lecția aparține suplimentului pentru Bacalaureat M1, care acoperă programa aplicată la sesiunile 2027–2029. Regulile de calcul într-un inel se deduc numai din cele opt axiome, deci sunt valabile în orice inel. Propoziția 1: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ , demonstrată pornind de la $0 + 0 = 0$ , înmulțind cu $a$ și folosind distributivitatea. Propoziția 2 (regulile semnelor): $(- a) b = - (ab)$ , $a (- b) = - (ab)$ și $(- a) (- b) = ab$ , toate obținute din unicitatea opusului. Scăderea se definește prin $a - b := a + (- b)$ . ⚠️ Într-un inel oarecare $(a + b)^{2} = a^{2} + ab + ba + b^{2}$ , iar formula cu $2 ab$ cere $ab = ba$ .

Un element $a \neq = 0$ se numește divizor al lui zero dacă există $b \neq = 0$ cu $ab = 0$ sau $ba = 0$ ; elementul $0$ nu este niciodată divizor al lui zero. Exemplul-etalon este $(1000) (0001) = O_{2}$ . Un inel comutativ, nenul și fără divizori ai lui zero se numește inel integru; criteriul de integritate moștenită spune că un inel inclus într-un inel integru, care conține pe $0$ și pe $1$ , este el însuși integru. Teorema centrală: $Z_{n}$ este integru dacă și numai dacă $n$ este prim, iar în $Z_{n}$ fiecare clasă nenulă este ori inversabilă, ori divizor al lui zero, după cum $(a, n) = 1$ sau $(a, n) > 1$ . Propoziția 3 (simplificarea): din $a c = b c$ cu $c \neq = 0$ și $c$ nedivizor al lui zero rezultă $a = b$ .

De reținut

$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ și $(- a) (- b) = ab$ , deduse numai din axiome
într-un inel oarecare $(a + b)^{2} = a^{2} + ab + ba + b^{2}$
$Z_{n}$ iese inel integru exact pentru $n$ prim; altfel apar divizori ai lui zero

Greșeala tipică

Un factor care este divizor al lui zero se taie din ambii membri, ca și cum ar fi orice alt element. În $Z_{6}$ , egalitatea $\hat{2} x = \hat{2} y$ e îndeplinită și de perechea $x = \hat{1}$ , $y = \hat{4}$ , deci concluzia $x = y$ nu se susține.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele clase este divizor al lui zero în inelul $(Z_{20}, +, \cdot)$ ?
- a) $\hat{3}$
- b) $\hat{7}$
- c) $15$
- d) $19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $15$

Clasa $\overset{a}{^}$ nenulă este divizor al lui zero exact când $(a, 20) > 1$ . Avem $(15, 20) = 5 > 1$ , iar $15 \cdot \hat{4} = 60 = \hat{0}$ cu $\hat{4} \neq = \hat{0}$ . Celelalte trei clase au reprezentanții primi cu $20$ , deci sunt inversabile, iar un element inversabil nu poate fi divizor al lui zero.
Pentru care dintre valorile de mai jos este inelul $(Z_{n}, +, \cdot)$ integru?
- a) $n = 23$
- b) $n = 21$
- c) $n = 15$
- d) $n = 25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $n = 23$

Teorema lecției spune că $Z_{n}$ este integru dacă și numai dacă $n$ este prim; dintre valorile date, doar $23$ este prim. Pentru celelalte găsim imediat divizori ai lui zero: $\hat{3} \cdot \hat{5} = \hat{0}$ în $Z_{15}$ , $\hat{3} \cdot \hat{7} = \hat{0}$ în $Z_{21}$ și $\hat{5} \cdot \hat{5} = \hat{0}$ în $Z_{25}$ — ultimul arată că nici puterile de numere prime nu sunt bune.
Într-un inel $(A, +, \cdot)$ , din egalitatea $a c = b c$ rezultă $a = b$ :
- a) întotdeauna
- b) niciodată
- c) dacă $c \neq = 0$
- d) dacă $c \neq = 0$ și $c$ nu este divizor al lui zero
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) dacă $c \neq = 0$ și $c$ nu este divizor al lui zero

Este exact Propoziția 3: din $a c = b c$ obținem $(a - b) c = 0$ , iar concluzia $a - b = 0$ cere ca $c$ să nu poată anula un element nenul. Condiția $c \neq = 0$ singură nu ajunge: în $Z_{6}$ avem $\hat{2} \cdot \hat{1} = \hat{2} \cdot \hat{4}$ , dar $\hat{1} \neq = \hat{4}$ , pentru că $\hat{2}$ este divizor al lui zero.

Întrebări conexe

Ce pereche de matrice arată existența divizorilor lui zero?

Matricele $(1000)$ și $(0001)$ : amândouă nenule, iar produsul lor este $O_{2}$ . De aceea inelul matricelor pătratice de ordin cel puțin doi nu este integru, iar simplificarea prin astfel de factori rămâne interzisă.

Care sunt regulile semnelor într-un inel?

Sunt trei: $(- a) b = - (ab)$ , $a (- b) = - (ab)$ și $(- a) (- b) = ab$ . Toate ies din faptul că opusul unui element este bine precizat: dacă un element adunat cu $ab$ dă zero, atunci el este opusul lui $ab$ . Nu se folosește nicio proprietate a numerelor.

Ce spune criteriul de integritate moștenită?

Că integritatea se moștenește în jos: o mulțime aflată înăuntrul unui inel fără divizori ai lui zero, care păstrează pe $0$ și pe $1$ , rămâne la rândul ei integră. Motivul e direct: un produs de elemente nenule nu se poate anula în structura mică fără să se anuleze și în cea mare. Așa se arată repede că $Z [i]$ este integru.

Este $0$ divizor al lui zero?

Nu, niciodată. Definiția cere explicit ca ambele elemente din produs să fie nenule, tocmai ca noțiunea să aibă sens; altfel orice inel ar avea un divizor al lui zero, iar clasificarea și-ar pierde rostul. O listă de divizori ai lui zero nu îl cuprinde deci pe $0$ .

Cum se rezolvă ecuația $x (x - \hat{1}) = \hat{0}$ în $Z_{6}$ ?

Se încearcă toate cele șase clase, fiindcă $6$ nu este prim și produsul a două clase nenule poate ieși nul. Ies patru soluții: $\hat{0}$ , $\hat{1}$ , $\hat{3}$ și $\hat{4}$ . Reflexul din numerele reale, care ar da doar primele două, pierde jumătate din răspuns.

Cum se definește scăderea într-un inel?

Prin adunarea cu opusul: $a - b$ înseamnă $a + (- b)$ . Nu este o a treia operație, ci o prescurtare, iar existența opuselor o asigură axioma grupului aditiv. De aceea toate regulile despre semne se transferă direct la scădere.

Oamenii mai întreabă și: ce este un divizor al lui zero · inel integru · reguli de calcul într-un inel · când se poate simplifica într-un inel · divizorii lui zero din Z n