Care afirmație este adevărată în orice grup $$(G, \cdot)$$?

ecuația $$ax = b$$ are exact o soluție

din $$ax = ya$$ rezultă $$x = y$$

$$(xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1}$$ pentru orice $$x, y$$

$$xy = yx$$ pentru orice $$x, y$$

De ce nu se împarte niciodată într-un grup?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Reguli de calcul într-un grup

Fiindcă împărțirea nu este definită acolo: singurele unelte sunt legea grupului și simetricele. Scrierea $\frac{b}{a}$ nu are sens, mai ales într-un grup necomutativ, unde $a^{- 1} b$ și $b a^{- 1}$ sunt de regulă elemente diferite. Corect se spune că se compune la stânga cu $a^{- 1}$ sau la dreapta cu $a^{- 1}$ , iar ecuațiile $a x = b$ și $x a = b$ au atunci câte o soluție.

Într-un grup $(G, \cdot)$ toate regulile de calcul se deduc din cele trei axiome — asociativitate, element neutru, orice element simetrizabil — și sunt valabile indiferent din ce sunt făcute elementele. Elementul neutru $e$ este unic, inversul fiecărui element este unic, $(x^{- 1})^{- 1} = x$ și $e^{- 1} = e$ . Inversul unui produs răstoarnă ordinea: $(x y)^{- 1} = y^{- 1} x^{- 1}$ , iar pentru mai mulți factori $(x_{1} x_{2} \dots x_{n})^{- 1} = x_{n}^{- 1} \dots x_{1}^{- 1}$ . Scrierea $x^{- 1} y^{- 1}$ este corectă numai dacă $x$ și $y$ comută.

Specific grupurilor este verificarea într-o singură parte: din $x y = e$ rezultă automat $y = x^{- 1}$ și $y x = e$ . De aici vin regulile de simplificare — din $a x = a y$ rezultă $x = y$ , din $x a = y a$ rezultă $x = y$ — valabile în orice grup, comutativ sau nu, dar numai când factorul comun stă de aceeași parte în ambii membri; din $a x = y a$ nu se simplifică nimic. Rezultatul principal: ecuațiile $a x = b$ și $x a = b$ au, fiecare, exact o soluție, anume $x = a^{- 1} b$ , respectiv $x = b a^{- 1}$ ; ele coincid doar dacă $a$ și $b$ comută. Nu se scrie niciodată $\frac{b}{a}$ — se spune „înmulțim la stânga (la dreapta) cu $a^{- 1}$ ”. Consecința pe tablă: fiecare element apare exact o dată în fiecare linie și în fiecare coloană. Iar dacă $x^{2} = e$ pentru orice $x$ , grupul este comutativ.

De reținut

$(x y)^{- 1} = y^{- 1} x^{- 1}$ , cu ordinea factorilor răsturnată
din $a x = a y$ sau din $x a = y a$ rezultă $x = y$ ; din $a x = y a$ nu rezultă nimic
$a x = b$ dă $x = a^{- 1} b$ , iar $x a = b$ dă $x = b a^{- 1}$

Greșeala tipică

Din $a x = y a$ se scoate concluzia $x = y$ . Simplificarea are voie numai când factorul comun apare de aceeași parte în ambii membri, adică ori la stânga în amândoi, ori la dreapta în amândoi.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un grup $(G, \cdot)$ , inversul produsului $x y z$ este:
- a) $x^{- 1} y^{- 1} z^{- 1}$
- b) $z^{- 1} y^{- 1} x^{- 1}$
- c) $y^{- 1} x^{- 1} z^{- 1}$
- d) $z^{- 1} x^{- 1} y^{- 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $z^{- 1} y^{- 1} x^{- 1}$

La trecerea la invers ordinea factorilor se răstoarnă: $(x y z)^{- 1} = z^{- 1} y^{- 1} x^{- 1}$ . Verificarea e directă: $(x y z) (z^{- 1} y^{- 1} x^{- 1}) = x y (z z^{- 1}) y^{- 1} x^{- 1} = e$ . Varianta $x^{- 1} y^{- 1} z^{- 1}$ păstrează ordinea și este corectă doar în grupurile comutative; celelalte două amestecă factorii.
În grupul $(U (Z_{7}, \cdot), \cdot)$ , soluția ecuației $\hat{5} \cdot x = \hat{3}$ este:
- a) $\hat{1}$
- b) $\hat{5}$
- c) $\hat{2}$
- d) $\hat{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\hat{2}$

Înmulțim la stânga cu $\hat{5}^{- 1}$ . Din $\hat{5} \cdot \hat{3} = 15 = \hat{1}$ rezultă $\hat{5}^{- 1} = \hat{3}$ , deci $x = \hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{9} = \hat{2}$ . Verificare: $\hat{5} \cdot \hat{2} = 10 = \hat{3}$ . Varianta $\hat{1}$ se obține înmulțind $\hat{3} \cdot \hat{5}$ în loc de $\hat{5}^{- 1} \cdot \hat{3}$ , varianta $\hat{5}$ vine din scăderea $\hat{3} - \hat{5}$ , iar $\hat{6}$ din $\hat{3} + \hat{3}$ .
Care afirmație este adevărată în orice grup $(G, \cdot)$ ?
- a) ecuația $a x = b$ are exact o soluție
- b) din $a x = y a$ rezultă $x = y$
- c) $(x y)^{- 1} = x^{- 1} y^{- 1}$ pentru orice $x, y$
- d) $x y = y x$ pentru orice $x, y$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ecuația $a x = b$ are exact o soluție

Ecuația $a x = b$ are soluția unică $x = a^{- 1} b$ : existența se verifică direct, iar unicitatea vine din simplificarea la stânga. Egalitatea $(x y)^{- 1} = x^{- 1} y^{- 1}$ cere ca $x$ și $y$ să comute; enunțul „din $a x = y a$ rezultă $x = y$ ” este greșeala clasică de simplificare „de părți diferite” — factorul $a$ stă la stânga într-un membru și la dreapta în celălalt; iar „ $x y = y x$ pentru orice $x, y$ ” confundă grupul cu grupul comutativ.

Întrebări conexe

Când este inversul unui produs egal cu produsul inverselor în aceeași ordine?

Numai dacă $x$ și $y$ comută. Regula generală răstoarnă ordinea, $(x y)^{- 1} = y^{- 1} x^{- 1}$ , ceea ce se verifică înmulțind $x y$ cu $y^{- 1} x^{- 1}$ și simplificând pe rând. În grupurile comutative cele două scrieri coincid, dar la matrice sau la permutări greșeala se vede imediat în rezultat.

De ce nu poate avea un grup două elemente neutre?

Dacă $e$ și $f$ ar fi amândouă neutre, produsul $e f$ se calculează în două feluri: privit cu $e$ neutru dă $f$ , iar privit cu $f$ neutru dă $e$ . Rezultă $e = f$ , deci notația $e$ desemnează fără ambiguitate un singur element.

Cum arăt că $y$ este inversul lui $x$ verificând un singur produs?

Într-un grup ajunge egalitatea $x y = e$ . Compunând la stânga cu $x^{- 1}$ obții $y = x^{- 1}$ , iar de aici rezultă și $y x = e$ . Economia este reală la exerciții cu matrice sau cu funcții, unde al doilea produs ar cere încă o pagină de calcul.

Cât este inversul inversului unui element dintr-un grup?

Este chiar elementul de la care ai pornit: $(x^{- 1})^{- 1} = x$ . Motivul stă în egalitatea $x^{- 1} x = e$ , care spune deopotrivă că $x$ este simetricul lui $x^{- 1}$ . Tot de aici iese $e^{- 1} = e$ , fiindcă neutrul compus cu el însuși dă neutrul.

Cum arăt că o mulțime cu o lege dată nu este grup?

Cauți axioma care cade și dai un contraexemplu concret. De obicei lipsește simetricul unui element sau legea iese din mulțime la un anumit produs. Un singur exemplu care încalcă o axiomă este de ajuns; nu trebuie verificate și celelalte.

Ce reguli de calcul rămân valabile într-un grup necomutativ?

Rămân toate cele deduse din axiome: neutrul și simetricele nu se dublează, $(x^{- 1})^{- 1} = x$ , inversul unui produs cu ordinea răsturnată și simplificarea cu un factor aflat de aceeași parte. Cad doar formulele care presupun comutarea, precum desfacerea lui $(x y)^{n}$ în $x^{n} y^{n}$ .

Oamenii mai întreabă și: reguli de calcul într-un grup · cum se rezolvă ecuația ax egal b · inversul unui produs într-un grup · simplificarea într-un grup · se poate împărți într-un grup