Derivata funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=(x^{2}-1)e^{x}$$, este:

$$e^{x}\left(x^{2}+2x-1\right)$$

$$e^{x}\left(x^{2}-2x-1\right)$$

Care dintre următoarele egalități este ADEVĂRATĂ pentru orice funcții derivabile $$f$$ și $$g$$?

$$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'}{g'}$$

$$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{fg' - f'g}{g^{2}}$$

Care sunt regulile de derivare?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivata sumei, a produsului și a câtului

Sunt patru: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ , $(α f)^{'} = α f^{'}$ , $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ și $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ , ultima acolo unde numitorul nu se anulează. Ele transformă tabelul derivatelor într-un instrument care merge la orice expresie. Strategia de calcul: privești expresia, întrebi care este ultima operație efectuată și cu ea începi, coborând apoi spre factori.

Funcțiile din probleme nu sunt „uzuale": sunt sume, produse și câturi de funcții uzuale. Patru reguli transformă tabelul într-un instrument universal: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}; (α f)^{'} = α f^{'}; (f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}; (\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}, g \neq = 0.$ Regula sumei se obține despărțind raportul de diferențe în doi; de aici, orice funcție polinomială se derivează termen cu termen, pe tot $R$ . La produs se adună și se scade termenul $f (x_{0}) g (x)$ , iar pasul $g (x) \to g (x_{0})$ funcționează pentru că derivabilitatea atrage continuitatea — prima aplicație serioasă a acelei teoreme. Regula câtului iese din regula produsului, prin derivata lui $\frac{1}{g}$ .

Derivatele nu se înmulțesc: pentru $f = g = x$ avem $(f g)^{'} = 2 x$ , nu $1$ . Nici la cât nu se împart: ordinea de la numărător nu se poate inversa, fiindcă $f g^{'} - f^{'} g$ este exact opusul rezultatului corect.

Domeniile: suma, diferența și produsul sunt derivabile pe toată mulțimea comună, iar câtul numai în punctele în care $g$ nu se anulează — acolo unde numitorul se anulează, funcția pur și simplu nu e definită.

Strategia de calcul: te uiți la expresie și întrebi care este ultima operație; cu ea începi, apoi cobori spre factori și, la capăt, citești rândul din tabel.

De reținut

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ , unde $g \neq = 0$
derivatele nu se înmulțesc și nu se împart între ele

Greșeala tipică

Se scrie derivata câtului cu termenii inversați la numărător. Ordinea corectă începe cu derivata numărătorului; inversând-o, obții exact opusul rezultatului.

Exerciții din această mini-lecție

Derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 1) e^{x}$ , este:
- a) $e^{x} (x^{2} + 2 x - 1)$
- b) $2 x e^{x}$
- c) $e^{x} (x^{2} - 2 x - 1)$
- d) $e^{x} (x^{2} - 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $e^{x} (x^{2} + 2 x - 1)$

Regula produsului dă $f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} - 1) e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x - 1)$ . Varianta $2 x e^{x}$ este greșeala $(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$ ; varianta $e^{x} (x^{2} - 1)$ păstrează doar al doilea termen.
Derivata funcției $f : R ∖ {2} \to R$ , $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ , este:
- a) $\frac{7}{( x - 2 ) ^{2}}$
- b) $3$
- c) $\frac{6 x - 5}{( x - 2 ) ^{2}}$
- d) $- \frac{7}{( x - 2 ) ^{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- \frac{7}{( x - 2 ) ^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{3 ( x - 2 ) - ( 3 x + 1 ) \cdot 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 2 ) ^{2}}$ . Varianta pozitivă apare exact dacă inversezi ordinea la numărător ( $f g^{'} - f^{'} g$ ), iar varianta $3$ vine din „împărțirea derivatelor", care nu este o regulă.
Care dintre următoarele egalități este ADEVĂRATĂ pentru orice funcții derivabile $f$ și $g$ ?
- a) $(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$
- b) $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$
- c) $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
- d) $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f g ^{'} - f ^{'} g}{g ^{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

Aceasta este regula produsului. Prima variantă cade la contraexemplul $f = g = x$ ; a doua nu este o regulă de derivare; a patra are termenii de la numărător inversați, deci dă opusul rezultatului corect.

Întrebări conexe

Cât este derivata lui x la pătrat, înmulțit cu sin x?

Aplici regula produsului: $(x^{2} sin x)^{'} = 2 x sin x + x^{2} cos x$ . Primul termen ia derivata primului factor, al doilea pe a celuilalt. Rezultatul nu se poate scrie ca produs de derivate, care ar da $2 x cos x$ , un răspuns greșit.

De ce nu se inversează ordinea la numărătorul derivatei câtului?

Fiindcă $f g^{'} - f^{'} g$ este exact opusul rezultatului corect, deci semnul întregii derivate se răstoarnă. Un mod de a ține minte ordinea: începe cu derivata numărătorului. Verificarea rapidă se face pe un exemplu simplu, cum ar fi $\frac{x}{x + 1}$ .

Cât este derivata lui 3x la a treia, minus 5x, plus 2?

Derivezi termen cu termen și obții $9 x^{2} - 5$ . Constanta dispare, fiindcă derivata unui număr este zero, iar coeficienții rămân în față. Orice funcție polinomială se derivează astfel, pe toată dreapta reală.

Cum derivez o constantă înmulțită cu o funcție?

Lași constanta în față și derivezi doar funcția: $(5 sin x)^{'} = 5 cos x$ . Regula este un caz particular al derivării produsului, în care unul dintre factori are derivata nulă. Ea scurtează foarte mult calculele.

Pe ce mulțime este derivabil un cât de două funcții?

Numai în punctele în care numitorul nu se anulează. Acolo unde el se anulează, funcția nici nu este definită, deci discuția nu are obiect. Suma, diferența și produsul, în schimb, sunt derivabile pe toată mulțimea comună.

Ce se întâmplă dacă înmulțesc derivatele în loc să aplic regula produsului?

Obții un rezultat fals. Pentru $f = g = x$ , produsul este $x^{2}$ , cu derivata $2 x$ , în timp ce produsul derivatelor ar da $1$ . Exemplul acesta, calculabil din cap, arată imediat că regula are doi termeni.

Oamenii mai întreabă și: reguli de derivare · derivata produsului · derivata câtului · derivata sumei · formule de derivare de bază