Relația $$L_{n} = x\ln^{n}x - nL_{n-1}$$, unde $$L_{n} = \displaystyle\int \ln^{n}x\,dx$$, se obține prin:

integrare prin părți, cu $$g'(x) = 1$$

schimbarea de variabilă $$t = \ln x$$

Pentru $$J_{n} = \displaystyle\int \sin^{n}x\,dx$$, calculul lui $$J_{7}$$ pornește de la:

$$J_{5}$$, calculat direct din tabel

De ce este falsă egalitatea $$\displaystyle\int \ln^{3}x\,dx = \frac{\ln^{4}x}{4} + \mathcal{C}$$?

pentru că regula puterii se aplică variabilei, nu unei funcții de variabilă

pentru că lipsește intervalul

pentru că exponentul trebuie coborât cu o unitate

Ce este o relație de recurență la integrale?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Relații de recurență

Este o formulă care leagă termenul de rang $n$ al unui șir de integrale de unul de rang mai mic, ca să nu reiei calculul pentru fiecare $n$ . Ea se demonstrează, de obicei prin integrare prin părți: pentru $L_{n} = \int ln^{n} x d x$ iese $L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ . Formula singură nu ajunge, mai trebuie și termenul de plecare, calculat direct din tabel.

Când integrala depinde de un număr natural $n$ , în locul unui calcul separat pentru fiecare $n$ se caută o relație de recurență: o formulă care leagă termenul de rang $n$ de unul de rang mai mic. Ea se demonstrează — prin integrare prin părți sau printr-o rescriere algebrică — nu se memorează.

Formula singură nu ajunge: mai trebuie termenul de plecare, $I_{0}$ sau $I_{1}$ , calculat direct din tabelul primitivelor. Când recurența coboară din doi în doi, există două lanțuri independente: cel par pornește din $I_{0}$ , cel impar din $I_{1}$ — la $J_{5} = \int sin^{5} x d x$ se pornește de la $J_{1} = - cos x$ , nu de la $J_{0}$ .

Recurențele clasice sunt $L_{n} = \int ln^{n} x d x$ , cu $L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ ; $J_{n} = \int sin^{n} x d x$ ; $K_{n} = \int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}$ , unde alegerea bună este $g^{'} (x) = 1$ ; și $T_{n} = \int tg^{n} x d x$ , obținută fără părți, printr-o rescriere. Când integrala rămasă îl conține chiar pe $I_{n}$ , relația se tratează ca ecuație cu necunoscuta $I_{n}$ . Pe tot lanțul, $I_{n}$ desemnează o primitivă fixată, iar $C$ se scrie o singură dată, la răspunsul final.

De reținut

$L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$
recurență plus termen de plecare
pas din doi în doi: lanțurile $I_{0}$ și $I_{1}$

Greșeala tipică

Se învață recurența pe de rost și se aplică la orice șir. Ea se demonstrează de fiecare dată, prin părți sau printr-o rescriere, fiindcă forma ei depinde de familia de funcții din enunț.

Exerciții din această mini-lecție

Relația $L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ , unde $L_{n} = \int ln^{n} x d x$ , se obține prin:
- a) integrare prin părți, cu $g^{'} (x) = 1$
- b) schimbarea de variabilă $t = ln x$
- c) identificarea coeficienților
- d) liniarizare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) integrare prin părți, cu $g^{'} (x) = 1$

Se scrie $ln^{n} x = 1 \cdot ln^{n} x$ , se derivează logaritmul și se integrează factorul $1$ : $L_{n} = x ln^{n} x - \int x \cdot n ln^{n - 1} x \cdot \frac{1}{x} d x = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ . Este același truc ca la $\int ln x d x$ , ridicat la rang general.
Pentru $J_{n} = \int sin^{n} x d x$ , calculul lui $J_{7}$ pornește de la:
- a) $J_{0} = x$
- b) $J_{1} = - cos x$
- c) $J_{2}$
- d) $J_{5}$ , calculat direct din tabel
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $J_{1} = - cos x$

Recurența coboară din doi în doi, deci indicii păstrează paritatea: $7 \to 5 \to 3 \to 1$ . Lanțul impar pornește de la $J_{1} = \int sin x d x = - cos x$ ; $J_{0}$ aparține lanțului par și nu apare niciodată în calculul unui $J$ de indice impar.
De ce este falsă egalitatea $\int ln^{3} x d x = \frac{ln ^{4} x}{4} + C$ ?
- a) pentru că lipsește intervalul
- b) pentru că lipsește modulul
- c) pentru că regula puterii se aplică variabilei, nu unei funcții de variabilă
- d) pentru că exponentul trebuie coborât cu o unitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pentru că regula puterii se aplică variabilei, nu unei funcții de variabilă

Derivând membrul drept se obține $\frac{4 ln ^{3} x}{4} \cdot \frac{1}{x} = \frac{ln ^{3} x}{x}$ , nu $ln^{3} x$ : apare în plus derivata funcției din interior. Drumul corect este relația $L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ , aplicată de trei ori.

Întrebări conexe

De unde pornește lanțul la un șir de primitive?

De la un termen calculat direct din tabel, $I_{0}$ sau $I_{1}$ . Când recurența coboară din doi în doi, sunt două lanțuri: rangurile pare pornesc din $I_{0}$ , cele impare din $I_{1}$ . La $\int sin^{5} x d x$ se pleacă deci de la $I_{1} = - cos x$ .

Cât este primul termen al șirului cu logaritm de x la puterea n?

Pentru $n = 1$ se calculează prin părți, cu factorul $1$ : $L_{1} = \int ln x d x = x ln x - x + C$ . Verificare: derivata lui $x ln x - x$ este $ln x$ , fiindcă cei doi termeni de valoare $1$ se reduc. Termenul de rang zero este chiar $x$ , iar de aici pornește tot lanțul.

Ce alegere se face la recurența cu tangentă la puterea n?

Aici nu se folosesc părțile, ci o rescriere: $tg^{n} x = tg^{n - 2} x (tg^{2} x + 1) - tg^{n - 2} x$ . Prima bucată se integrează prin substituție, fiindcă paranteza este derivata tangentei, iar a doua este chiar termenul de rang $n - 2$ .

Ce fac dacă integrala rămasă îl conține chiar pe I n?

Tratezi egalitatea ca ecuație cu necunoscuta $I_{n}$ și izolezi termenul. Este același truc ca la integralele care se întorc: se strâng într-un membru termenii cu $I_{n}$ , se împarte la coeficientul obținut, iar constanta se adaugă la răspunsul final.

Ce înseamnă că I n este o primitivă fixată?

Că pe tot lanțul litera $I_{n}$ desemnează aceeași funcție aleasă, nu întreaga familie de primitive. Altfel constantele s-ar aduna la fiecare pas, iar relația nu ar mai fi o egalitate între funcții. Constanta se scrie o dată, la capătul calculului.

Oamenii mai întreabă și: relații de recurență la primitive · recurență pentru integrale · In în funcție de In minus 1 · integrala din logaritm la puterea n · recurență cu sinus la puterea n