Pentru ecuația $$2x^2+5x-3=0$$, care sunt suma $$S$$ și produsul $$P$$ al rădăcinilor?

$$S=-\dfrac{5}{2}$$, $$P=-\dfrac{3}{2}$$

$$S=\dfrac{5}{2}$$, $$P=-\dfrac{3}{2}$$

$$S=-\dfrac{5}{2}$$, $$P=\dfrac{3}{2}$$

$$S=\dfrac{5}{2}$$, $$P=\dfrac{3}{2}$$

Ce sunt relațiile lui Viète?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Relațiile lui Viète: sumă și produs

Sunt două egalități care leagă rădăcinile de coeficienți, fără a le mai calcula: suma lor este $- \frac{b}{a}$ , iar produsul este $\frac{c}{a}$ . Se folosesc doar când discriminantul nu este negativ. La $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ suma iese $- \frac{5}{2}$ și produsul $- \frac{3}{2}$ , ceea ce se potrivește cu rădăcinile $\frac{1}{2}$ și $- 3$ . Drumul invers dă ecuația $x^{2} - S x + P = 0$ .

Teorema lui Viète leagă rădăcinile ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ (cu $a \neq = 0$ și $Δ \geq 0$ ) de coeficienți, fără a le calcula: $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ și $P = x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ . Se deduc fie adunând/înmulțind formulele $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ (radicalii se anulează la sumă, iar produsul folosește $(u + v) (u - v) = u^{2} - v^{2}$ ), fie prin identificarea coeficienților în forma factorizată $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Chiar dacă rădăcinile sunt iraționale, $S$ și $P$ rămân raționale ori de câte ori coeficienții sunt raționali — de aici puterea relațiilor ca instrument rapid de verificare a unui calcul. Drumul invers: ecuația cu suma $S$ și produsul $P$ este $x^{2} - S x + P = 0$ , iar două numere reale cu aceste $S, P$ există exact când $S^{2} - 4 P \geq 0$ . Orice expresie simetrică în $x_{1}, x_{2}$ se scrie prin $S$ și $P$ : $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ , $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P$ , $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = S^{3} - 3 P S$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{S}{P}$ . Fără a calcula rădăcinile, semnele lor se citesc din $Δ$ , $S$ și $P$ : dacă $P > 0$ , rădăcinile au același semn (dat de $S$ ); dacă $P < 0$ , au semne contrare (și atunci $Δ > 0$ automat). La probleme cu parametru, ordinea corectă e: întâi $Δ \geq 0$ , apoi traducerea cerinței prin $S, P$ , la final intersecția condițiilor.

De reținut

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
ecuația cu sumă și produs date: $x^{2} - S x + P = 0$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$
$P < 0$ înseamnă rădăcini de semne contrare

Greșeala tipică

Se scrie suma cu semnul plus în față, deși formula cere opusul raportului dintre coeficientul mijlociu și cel dominant; controlează pe o ecuație simplă, cu rădăcini cunoscute.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru ecuația $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ , care sunt suma $S$ și produsul $P$ al rădăcinilor?
- a) $S = - \frac{5}{2}$ , $P = - \frac{3}{2}$
- b) $S = \frac{5}{2}$ , $P = - \frac{3}{2}$
- c) $S = - \frac{5}{2}$ , $P = \frac{3}{2}$
- d) $S = \frac{5}{2}$ , $P = \frac{3}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = - \frac{5}{2}$ , $P = - \frac{3}{2}$

Aici $a = 2$ , $b = 5$ , $c = - 3$ . Conform relațiilor lui Viète, $S = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{2}$ și $P = \frac{c}{a} = - \frac{3}{2}$ . Verificare: $Δ = 25 + 24 = 49 > 0$ , deci rădăcinile există: $x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{4}$ , adică $\frac{1}{2}$ și $- 3$ . Suma: $\frac{1}{2} + (- 3) = - \frac{5}{2}$ ✓. Produsul: $\frac{1}{2} \cdot (- 3) = - \frac{3}{2}$ ✓. Opțiunile b), c), d) greșesc fie semnul lui $S$ (uitând minusul din $- b / a$ ), fie semnul lui $P$ .
Ecuația de gradul al doilea cu coeficient dominant $1$ , care are rădăcinile $- 2$ și $5$ , este:
- a) $x^{2} - 3 x - 10 = 0$
- b) $x^{2} + 3 x - 10 = 0$
- c) $x^{2} - 3 x + 10 = 0$
- d) $x^{2} + 7 x - 10 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x^{2} - 3 x - 10 = 0$

$S = - 2 + 5 = 3$ și $P = (- 2) \cdot 5 = - 10$ . Ecuația căutată este $x^{2} - S x + P = 0$ , adică $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ . Verificare: $Δ = 9 + 40 = 49$ , $Δ = 7$ , deci $x = \frac{3 \pm 7}{2}$ , adică $5$ și $- 2$ ✓. Opțiunea b) greșește semnul lui $S$ (scrie $+ 3 x$ în loc de $- 3 x$ ); c) greșește semnul lui $P$ ; d) calculează greșit $S$ .
Ecuația $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ are rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ . Cât este $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ?
- a) $14$
- b) $16$
- c) $12$
- d) $18$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $14$

$Δ = 16 - 4 = 12 > 0$ , deci rădăcinile există (deși sunt iraționale, $2 \pm 3$ ). Din Viète, $S = 4$ și $P = 1$ . Folosim identitatea $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 16 - 2 = 14$ . Opțiunea b) uită să scadă $2 P$ ; c) și d) provin din calcule greșite ale lui $S^{2}$ sau $2 P$ .

Întrebări conexe

Cât fac suma și produsul rădăcinilor lui 2x la pătrat minus 7x plus 3?

Coeficienții sunt $2$ , $- 7$ și $3$ , deci suma este $\frac{7}{2}$ , iar produsul $\frac{3}{2}$ . Discriminantul $49 - 24 = 25$ este pozitiv, deci rădăcinile există și sunt $3$ și $\frac{1}{2}$ . Se verifică: suma dă $\frac{7}{2}$ , produsul dă $\frac{3}{2}$ .

Cum calculez unu supra x1 plus unu supra x2 cu relațiile lui Viète?

Aduci la același numitor și obții raportul dintre sumă și produs, adică $\frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$ . Pentru $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ rezultă $\frac{4}{1} = 4$ . Produsul trebuie să fie nenul, altfel una dintre fracții nu are sens.

Cum aflu parametrul m dacă știu suma rădăcinilor?

Scrii suma cu formula lui Viète, o egalezi cu valoarea cerută și rezolvi ecuația în parametru. La final verifici că discriminantul rămâne nenegativ pentru valoarea găsită, altfel rădăcinile nu ar exista și cerința nu ar avea sens.

Cum calculez x1 la a treia plus x2 la a treia din sumă și produs?

Folosești identitatea prin care suma cuburilor se scrie ca $S^{3} - 3 P S$ . Pentru $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ai $S = 4$ și $P = 2$ , deci rezultatul este $64 - 24 = 40$ . Aceeași metodă merge la suma pătratelor, unde formula devine $S^{2} - 2 P$ .

Ce ecuație are rădăcinile duble față de o ecuație dată?

Dacă noile rădăcini sunt $2 x_{1}$ și $2 x_{2}$ , suma lor se dublează, iar produsul se împătrește. Scrii apoi ecuația din noua sumă și noul produs. Pentru $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , unde $S = 3$ și $P = 2$ , rezultă $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .

Se pot afla rădăcinile doar din sumă și produs?

Da, dacă ele sunt numere reale. Formezi ecuația $z^{2} - S z + P = 0$ și o rezolvi. Condiția ca rezultatele să fie reale este ca $S^{2} - 4 P$ să nu fie negativ. Din $S = 8$ și $P = 15$ obții numerele $5$ și $3$ .

Oamenii mai întreabă și: relațiile lui Viete suma și produsul · suma și produsul rădăcinilor · formula x1 plus x2 și x1 ori x2 · teorema lui Viete