Relațiile lui Viète și aplicațiile lor

Un inginer verifică raportul unui program care a calculat rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea. Nu vrea să reia calculul de la zero — ar dura prea mult pentru miile de ecuații din fișier. Face altceva: adună cele două rădăcini afișate și le înmulțește, apoi compară rezultatele cu două numere obținute direct din coeficienți, printr-o simplă împărțire. Dacă cele două verificări trec, rezultatul e aproape sigur corect. Dacă nu, programul are un bug.

Trucul lui se bazează pe una dintre cele mai elegante relații din algebră, descoperită în secolul al XVI-lea de matematicianul francez François Viète: suma și produsul rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea se citesc direct din coeficienți, fără să rezolvi nimic. Este exact tipul de instrument pe care programa de matematică-informatică îl cere: „utilizarea relațiilor lui Viète pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al doilea". Vei vedea că el rezolvă probleme care altfel ar fi mizerabile — expresii cu radicali imposibil de mânuit, probleme cu parametru, discuții despre semnele rădăcinilor. Plecăm de la formulele deduse în lecția despre ecuația de gradul al doilea.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci relațiile lui Viète din formulele de rezolvare și, alternativ, din forma factorizată a trinomului.
• Vei ști să calculezi $S=x_1+x_2$ și $P=x_1{x}_2$ fără să rezolvi ecuația și să folosești aceste două numere ca instrument de verificare.
• Vei ști să formezi ecuația de gradul al doilea când cunoști suma și produsul rădăcinilor ei.
• Vei ști să exprimi expresii simetrice — $x_1^2+x_2^2$, $x_1^3+x_2^3$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$, $|x_1-x_2|$ — numai prin $S$ și $P$.
• Vei ști să stabilești semnele rădăcinilor fără a le calcula, folosind semnele lui $\Delta$, $S$ și $P$.
• Vei ști să rezolvi probleme cu parametru, în care o condiție impusă rădăcinilor devine o ecuație sau o inecuație în parametru.

Hai să descoperim împreună

1. Punctul de plecare: formulele de rezolvare

Fie ecuația de gradul al doilea $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$ și coeficienți reali. Am dedus deja că totul depinde de discriminantul $\Delta =b^2-4ac$: dacă $\Delta \ge 0$, ecuația are rădăcinile reale

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$$

Când $\Delta >0$ ele sunt distincte, când $\Delta =0$ ele coincid ($x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$), iar când $\Delta <0$ ecuația nu are rădăcini reale. Tot ce urmează în această lecție presupune $\Delta \ge 0$ — altfel nu există numere reale $x_1$ și $x_2$ despre care să vorbim. (În clasa a XII-a, cu numerele complexe, relațiile rămân valabile și pentru $\Delta <0$.)

2. Teorema lui Viète: suma și produsul

Teoremă (relațiile lui Viète). Dacă ecuația $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$ și $\Delta \ge 0$, are rădăcinile reale $x_1$ și $x_2$, atunci

$$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a},P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$

Demonstrație. Adunăm cele două formule. Radicalii au semne opuse, deci se anulează reciproc:

$$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}.$$

Pentru produs folosim formula diferenței de pătrate, $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$, cu $u=-b$ și $v=\sqrt{\Delta }$:

$$x_1{x}_2=\frac{(-b+\sqrt{\Delta })(-b-\sqrt{\Delta })}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.■$$

Observă cât de curat dispare radicalul: chiar dacă rădăcinile sunt numere iraționale urâte, suma și produsul lor sunt raționale ori de câte ori coeficienții sunt raționali. Aceasta este toată puterea relațiilor lui Viète.

Exemplu imediat. Pentru $2x^2-5x-3=0$ avem $S=\frac{5}{2}$ și $P=-\frac{3}{2}$. Verificăm rezolvând: $\Delta =25+24=49$, deci $x_1=\frac{5+7}{4}=3$ și $x_2=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$. Într-adevăr, $3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ și $3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}$. ✓

3. A doua demonstrație: forma factorizată

Există un drum și mai scurt, pe care merită să-l știi pentru că se generalizează la ecuații de grad mai mare. Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt rădăcinile trinomului, atunci

$$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$

Desfacem parantezele din membrul drept:

$$a(x-x_1)(x-x_2)=a\left[x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2\right]=a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2.$$

Două polinoame sunt egale pentru orice $x$ exact atunci când au aceiași coeficienți. Identificăm: coeficientul lui $x$ dă $b=-a(x_1+x_2)$, adică $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, iar termenul liber dă $c=a{x}_1{x}_2$, adică $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Aceleași relații, obținute prin identificare de coeficienți. $■$

Reține și forma factorizată în sine: e utilă la simplificarea fracțiilor algebrice și la studiul semnului trinomului, unde ai folosit-o deja când ai analizat intersecțiile parabolei cu axele.

4. Drumul invers: formarea ecuației din rădăcini

Dacă relațiile lui Viète merg de la coeficienți la rădăcini, ele merg și înapoi. Presupune că vrei o ecuație de gradul al doilea ale cărei rădăcini să fie două numere date, cu suma $S$ și produsul $P$. Alegem $a=1$ (orice altă valoare dă o ecuație echivalentă, cu coeficienții înmulțiți cu $a$) și obținem $b=-S$, $c=P$:

$$\boxed{x^2-Sx+P=0}$$

Aceasta este ecuația de gradul al doilea cu suma $S$ și produsul $P$. Atenție la semnul minus din fața lui $S$ — acolo se pierd cele mai multe puncte.

Exemplu. Ecuația cu rădăcinile $2+\sqrt{3}$ și $2-\sqrt{3}$: $S=4$, iar $P=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$. Ecuația este $x^2-4x+1=0$. Verificare: $\Delta =16-4=12$, deci $x=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$. ✓

Când există efectiv două numere reale cu suma $S$ și produsul $P$? Exact când ecuația $x^2-Sx+P=0$ are rădăcini reale, adică atunci când $S^2-4P\ge 0$. De exemplu, nu există numere reale cu suma $3$ și produsul $5$: ar trebui ca $9-20\ge 0$, fals.

5. Arsenalul expresiilor simetrice

O expresie în $x_1$ și $x_2$ se numește simetrică dacă rămâne neschimbată când schimbi între ele cele două rădăcini. Toate expresiile simetrice se pot scrie folosind numai $S$ și $P$ — iar asta le face calculabile fără să știm rădăcinile. Iată trusa de bază, pe care o vei folosi la aproape fiecare exercițiu:

Merită să deduci singur măcar două dintre ele. De exemplu, din $(x_1+x_2{)}^3=x_1^3+3x_1^2{x}_2+3x_1{x}_2^2+x_2^3=x_1^3+x_2^3+3x_1{x}_2(x_1+x_2)$ rezultă imediat $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS$.

O scurtătură pentru puteri mari. Notează $s_n=x_1^n+x_2^n$. Fiecare rădăcină verifică $x^2=Sx-P$ (rescrierea ecuației $x^2-Sx+P=0$). Înmulțim cu $x^{n-1}$ și obținem $x^{n+1}=S{x}^n-P{x}^{n-1}$; scriem relația pentru $x_1$ și pentru $x_2$ și adunăm:

$$s_{n+1}=S\cdot s_n-P\cdot s_{n-1},s_0=2,s_1=S.$$

E o formulă de recurență — genul de obiect pe care un informatician îl transformă în trei linii de cod. Pentru $x^2-3x+1=0$ ($S=3$, $P=1$) obții în cascadă $s_2=3\cdot 3-2=7$, $s_3=3\cdot 7-3=18$, $s_4=3\cdot 18-7=47$, $s_5=3\cdot 47-18=123$.

6. Semnele rădăcinilor, fără a le calcula

Uneori nu te interesează valorile rădăcinilor, ci doar dacă sunt pozitive, negative sau de semne contrare. Relațiile lui Viète răspund instantaneu, folosind trei informații: semnul lui $\Delta$, al lui $S$ și al lui $P$.

De ce funcționează. Dacă produsul e pozitiv, cele două rădăcini au același semn; suma decide atunci care este acel semn. Dacă produsul e negativ, rădăcinile au semne contrare — și, în plus, nu mai trebuie să verifici discriminantul: din $P=\frac{c}{a}<0$ rezultă $ac<0$, deci $-4ac>0$ și $\Delta =b^2-4ac>0$ în mod obligatoriu.

Exemplu. Pentru $x^2-x-12=0$ avem $P=-12<0$, deci rădăcinile sunt de semne contrare. Într-adevăr, $\Delta =49$ și rădăcinile sunt $4$ și $-3$. Pentru $x^2+7x+10=0$: $\Delta =9>0$, $P=10>0$, $S=-7<0$ — ambele negative; și chiar așa e, $-2$ și $-5$.

7. Rețeta pentru problemele cu parametru

Aproape orice problemă cu parametru din capitolul acesta urmează același traseu în trei pași:

1. Condiția de existență. Scrii $\Delta \ge 0$ (sau $\Delta >0$, dacă se cer rădăcini distincte) și rezolvi inecuația în parametru. Fără acest pas, tot ce urmează e vorbă goală: nu poți impune condiții unor rădăcini care nu există.
2. Traducerea condiției. Rescrii cerința (o sumă de pătrate, un raport, un semn) numai prin $S$ și $P$, folosind tabelul din secțiunea 5, apoi înlocuiești $S=-\frac{b}{a}$ și $P=\frac{c}{a}$. Obții o ecuație sau o inecuație în parametru.
3. Intersecția. Reții doar valorile parametrului care satisfac simultan pasul 1 și pasul 2 și verifici răspunsul pe un caz concret.

Vei aplica rețeta de mai multe ori mai jos. Este exact ce ți se cere și la Bacalaureatul M1, unde subiectul al II-lea conține aproape mereu o astfel de discuție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea directă a lui S și P

Pentru ecuația $3x^2-7x+2=0$, calculați suma și produsul rădăcinilor, apoi verificați rezolvând ecuația.

Rezolvare. Aici $a=3$, $b=-7$, $c=2$. Verificăm întâi existența rădăcinilor: $\Delta =49-24=25>0$. Deci

$$S=-\frac{b}{a}=\frac{7}{3},P=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}.$$

Verificare: $\sqrt{\Delta }=5$, deci $x_1=\frac{7+5}{6}=2$ și $x_2=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}$. Suma: $2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ ✓. Produsul: $2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Expresii simetrice cu rădăcini iraționale

Ecuația $x^2-6x+4=0$ are rădăcinile $x_1$ și $x_2$. Calculați $x_1^2+x_2^2$, $x_1^3+x_2^3$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ și $|x_1-x_2|$.

Rezolvare. $\Delta =36-16=20>0$, deci rădăcinile există și sunt distincte; ele sunt $3\pm \sqrt{5}$ — numere iraționale cu care nu vrem să lucrăm direct. Din Viète: $S=6$, $P=4$.

• $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=36-8=28$;
• $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=216-3\cdot 4\cdot 6=216-72=144$;
• $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$;
• $|x_1-x_2|=\sqrt{S^2-4P}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Control rapid: $(3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$ ✓. Observă că toate rezultatele sunt raționale, în afara ultimului — cel care conține chiar diferența rădăcinilor. $■$

Exemplul 3 — Formarea ecuației

Scrieți ecuația de gradul al doilea cu coeficienți întregi care are rădăcinile $-3$ și $\frac{5}{2}$.

Rezolvare. $S=-3+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$ și $P=-3\cdot \frac{5}{2}=-\frac{15}{2}$. Ecuația monică este

$$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{15}{2}=0.$$

Înmulțim cu $2$ ca să scăpăm de numitori: $2x^2+x-15=0$. Verificare: $\Delta =1+120=121$, $\sqrt{\Delta }=11$, deci $x=\frac{-1\pm 11}{4}$, adică $\frac{5}{2}$ și $-3$. ✓ $■$

Exemplul 4 — Ecuația rădăcinilor transformate

Ecuația $x^2-5x+2=0$ are rădăcinile $x_1$ și $x_2$. Formați ecuația de gradul al doilea care are rădăcinile $x_1+1$ și $x_2+1$.

Rezolvare. Din Viète, $S=5$ și $P=2$ (iar $\Delta =25-8=17>0$, deci rădăcinile există). Calculăm suma și produsul noilor rădăcini:

$$S^{\prime }=(x_1+1)+(x_2+1)=S+2=7,$$ $$P^{\prime }=(x_1+1)(x_2+1)=x_1{x}_2+x_1+x_2+1=P+S+1=2+5+1=8.$$

Ecuația căutată este $x^2-7x+8=0$. Verificare numerică: rădăcinile primei ecuații sunt aproximativ $4,562$ și $0,438$; adunând $1$ obținem $5,562$ și $1,438$, cu suma $7$ și produsul $8$. ✓

Variantă utilă: ecuația cu rădăcinile $\frac{1}{x_1}$ și $\frac{1}{x_2}$ are $S^{\prime \prime }=\frac{S}{P}$ și $P^{\prime \prime }=\frac{1}{P}$; pentru $a{x}^2+bx+c=0$ (cu $c\ne 0$) ea devine, după simplificări, $c{x}^2+bx+a=0$ — coeficienții citiți invers. $■$

Exemplul 5 — Discuția semnelor după parametru

Se consideră ecuația $x^2-mx+m+3=0$, cu $m$ real. Discutați semnele rădăcinilor în funcție de $m$.

Rezolvare. Avem $\Delta =m^2-4(m+3)=m^2-4m-12=(m-6)(m+2)$, iar $S=m$ și $P=m+3$.

Existența rădăcinilor reale: $\Delta \ge 0⟺(m-6)(m+2)\ge 0⟺m\in (-\infty ,-2]\cup [6,+\infty )$.

Rădăcini de semne contrare: $P<0⟺m<-3$. (Aici $\Delta >0$ vine de la sine.) Test: pentru $m=-4$, ecuația $x^2+4x-1=0$ are rădăcinile $-2\pm \sqrt{5}$, adică aproximativ $0,24$ și $-4,24$ — semne contrare ✓.

Ambele rădăcini strict pozitive: $\Delta \ge 0$, $S>0$, $P>0$, adică $m\ge 6$ (condițiile $m>0$ și $m>-3$ sunt automat îndeplinite). Test: $m=7$ dă $x^2-7x+10=0$, cu rădăcinile $2$ și $5$ ✓.

Ambele rădăcini strict negative: $\Delta \ge 0$, $S<0$, $P>0$, adică $m\le -2$, $m<0$ și $m>-3$, deci $m\in (-3,-2]$. Test: $m=-2$ dă $x^2+2x+1=0$, cu rădăcina dublă $-1$ ✓.

Cazul de graniță: pentru $m=-3$ avem $P=0$, deci o rădăcină este $0$ și cealaltă este $S=-3$; într-adevăr, $x^2+3x=0$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră ecuația $x^2-3x+1=0$, cu rădăcinile $x_1$ și $x_2$. a) Arătați că $x_1^2+x_2^2=7$. b) Calculați $x_1^3+x_2^3$. c) Arătați că $x_1^4+x_2^4=47$.

Rezolvare. $\Delta =9-4=5>0$, deci rădăcinile sunt reale și distincte; $S=3$, $P=1$.

a) $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=9-2=7$. ✓

b) $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=27-3\cdot 1\cdot 3=27-9=18$.

c) Cea mai rapidă cale e recurența $s_{n+1}=S{s}_n-P{s}_{n-1}$, adică aici $s_{n+1}=3s_n-s_{n-1}$: din $s_2=7$ și $s_3=18$ obținem $s_4=3\cdot 18-7=47$. ✓ (Aceeași valoare se obține și cu formula $x_1^4+x_2^4=(S^2-2P{)}^2-2P^2=49-2=47$.) $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Regula de aur a capitolului: înainte de orice, verifică $\Delta \ge 0$ — abia apoi ai voie să vorbești despre $x_1$ și $x_2$.

1. Pentru ecuația $x^2+5x-14=0$, scrie $S$ și $P$ fără să rezolvi, apoi rezolvă și verifică.

2. Calculează suma și produsul rădăcinilor ecuației $3x^2-7x+2=0$ și verifică rezultatul prin rezolvare directă.

3. Formează ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$, care are rădăcinile $4$ și $-9$.

4. Formează ecuația de gradul al doilea cu rădăcinile $1+\sqrt{2}$ și $1-\sqrt{2}$. Ce observi la coeficienți?

5. Ecuația $x^2-8x+13=0$ are rădăcinile $x_1$ și $x_2$. Calculează $x_1^2+x_2^2$ și $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$, fără a rezolva ecuația.

6. Ecuația $x^2-4x+1=0$ are rădăcinile $x_1$ și $x_2$. Calculează $x_1^3+x_2^3$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă suma rădăcinilor unei ecuații de gradul al doilea este $0$, atunci rădăcinile sunt numere opuse."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $P<0$, ecuația are obligatoriu două rădăcini reale, de semne contrare."

9. Determină $m$ real astfel încât rădăcinile ecuației $2x^2-3x+m=0$ să verifice $x_1^2+x_2^2=\frac{5}{4}$. Verifică apoi rezolvând ecuația obținută.

10. Fără a rezolva, stabilește semnele rădăcinilor pentru: a) $x^2-5x+6=0$; b) $x^2+7x+10=0$; c) $x^2-x-12=0$.

11. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $x^2-2(m+1)x+m^2+3=0$ are rădăcini reale.

12. Ecuația $x^2-6x+8=0$ are rădăcinile $x_1$ și $x_2$. Formează ecuația care are rădăcinile $x_1+2$ și $x_2+2$.

13. (Problemă aplicată.) Un teren dreptunghiular are perimetrul de $26$ m și aria de $40$ m². Află dimensiunile terenului, folosind relațiile lui Viète.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există două numere reale a căror sumă este $3$ și al căror produs este $5$."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră ecuația $x^2-5x+3=0$, cu rădăcinile $x_1$ și $x_2$. Calculează $x_1^2+x_2^2$, $(x_1-x_2{)}^2$ și $x_1^3+x_2^3$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care rădăcinile ecuației $x^2-mx+2m-3=0$ sunt de semne contrare.

17. (Raționament.) Fie $x_1$ și $x_2$ rădăcinile reale ale ecuației $x^2-Sx+P=0$ și $s_n=x_1^n+x_2^n$. Demonstrează că $s_{n+1}=S\cdot s_n-P\cdot s_{n-1}$ pentru orice $n\ge 1$.

18. (Provocare.) Ecuația $x^2-3x+1=0$ are rădăcinile $x_1$ și $x_2$. Folosind exercițiul 17, arată că $x_1^n+x_2^n$ este număr natural pentru orice $n\ge 1$ și calculează $x_1^5+x_2^5$.

Răspunsuri și explicații

1. $S=-5$, $P=-14$. Rezolvare: $\Delta =25+56=81$, $\sqrt{\Delta }=9$, deci $x_1=2$, $x_2=-7$. Verificare: $2-7=-5$ ✓ și $2\cdot (-7)=-14$ ✓.

2. $S=\frac{7}{3}$, $P=\frac{2}{3}$; $\Delta =25$, rădăcinile sunt $2$ și $\frac{1}{3}$, cu $2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ și $2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ ✓.

3. $S=4+(-9)=-5$, $P=4\cdot (-9)=-36$, deci $x^2+5x-36=0$. Control: $\Delta =25+144=169$, $\sqrt{\Delta }=13$, rădăcinile $\frac{-5\pm 13}{2}$, adică $4$ și $-9$ ✓.

4. $S=2$, $P=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1$, deci $x^2-2x-1=0$. Coeficienții sunt întregi, deși rădăcinile sunt iraționale — exact efectul anulării radicalilor din relațiile lui Viète.

5. $\Delta =64-52=12>0$, deci rădăcinile există; $S=8$, $P=13$. Atunci $x_1^2+x_2^2=64-26=38$ și $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{8}{13}$.

6. $\Delta =16-4=12>0$; $S=4$, $P=1$, deci $x_1^3+x_2^3=64-3\cdot 1\cdot 4=52$.

7. Adevărat. $x_1+x_2=0$ înseamnă $x_2=-x_1$, adică rădăcinile sunt opuse. Echivalent, $b=0$ și ecuația are forma $a{x}^2+c=0$, cu rădăcinile $\pm \sqrt{-c/a}$ (când $-c/a\ge 0$).

8. Adevărat. Din $P=\frac{c}{a}<0$ rezultă $ac<0$, deci $-4ac>0$ și $\Delta =b^2-4ac>0$: rădăcinile sunt reale și distincte. Cum produsul lor e negativ, ele au semne contrare.

9. $S=\frac{3}{2}$, $P=\frac{m}{2}$, deci $x_1^2+x_2^2=\frac{9}{4}-m=\frac{5}{4}$, de unde $m=1$. Condiția $\Delta \ge 0$: $\Delta =9-8=1>0$ ✓. Verificare: $2x^2-3x+1=0$ are rădăcinile $1$ și $\frac{1}{2}$, iar $1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ ✓.

10. a) $\Delta =1>0$, $S=5>0$, $P=6>0$ → ambele pozitive (sunt $2$ și $3$). b) $\Delta =9>0$, $S=-7<0$, $P=10>0$ → ambele negative (sunt $-2$ și $-5$). c) $P=-12<0$ → semne contrare (sunt $4$ și $-3$).

11. Coeficientul lui $x$ e par, deci lucrăm cu $\frac{\Delta }{4}=(m+1{)}^2-(m^2+3)=2m-2$. Condiția $2m-2\ge 0$ dă $m\ge 1$. Control: pentru $m=1$, ecuația $x^2-4x+4=0$ are rădăcina dublă $2$; pentru $m=3$, ecuația $x^2-8x+12=0$ are rădăcinile $2$ și $6$ ✓.

12. $S=6$, $P=8$. Noile sume și produse: $S^{\prime }=S+4=10$ și $P^{\prime }=P+2S+4=8+12+4=24$. Ecuația este $x^2-10x+24=0$, cu rădăcinile $4$ și $6$ — adică $2+2$ și $4+2$ ✓.

13. Fie $x$ și $y$ dimensiunile. Din perimetru, $x+y=13$; din arie, $xy=40$. Ele sunt rădăcinile ecuației $z^2-13z+40=0$, cu $\Delta =169-160=9$, deci $z=\frac{13\pm 3}{2}$: dimensiunile sunt $8$ m și $5$ m. Verificare: perimetru $2(8+5)=26$ m ✓, arie $40$ m² ✓.

14. Fals. Astfel de numere ar fi rădăcinile ecuației $x^2-3x+5=0$, care are $\Delta =9-20=-11<0$ — deci nu există rădăcini reale. Condiția generală este $S^2\ge 4P$, iar aici $9<20$.

15. $\Delta =25-12=13>0$; $S=5$, $P=3$. Atunci $x_1^2+x_2^2=25-6=19$, $(x_1-x_2{)}^2=S^2-4P=25-12=13$ (egal cu $\Delta$, fiindcă $a=1$) și $x_1^3+x_2^3=125-3\cdot 3\cdot 5=125-45=80$.

16. Rădăcini de semne contrare $⟺P<0⟺2m-3<0⟺m<\frac{3}{2}$, adică $m\in \left(-\infty ,\frac{3}{2}\right)$. Discriminantul nu trebuie discutat separat: $P<0$ îl face automat pozitiv (vezi exercițiul 8). Control: pentru $m=1$, ecuația $x^2-x-1=0$ are rădăcinile $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$, adică aproximativ $1,62$ și $-0,62$ ✓.

17. Fiecare rădăcină verifică ecuația: $x_i^2=S{x}_i-P$ pentru $i\in \{1,2\}$. Înmulțim cu $x_i^{n-1}$ și obținem $x_i^{n+1}=S{x}_i^n-P{x}_i^{n-1}$. Scriem relația pentru $i=1$ și $i=2$ și adunăm membru cu membru: $x_1^{n+1}+x_2^{n+1}=S(x_1^n+x_2^n)-P(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})$, adică $s_{n+1}=S{s}_n-P{s}_{n-1}$. $■$

18. Aici $S=3$, $P=1$, deci recurența devine $s_{n+1}=3s_n-s_{n-1}$, cu $s_0=2$ și $s_1=3$. Cum orice termen se obține din doi termeni naturali prin înmulțire cu $3$ și scădere, iar rezultatul rămâne pozitiv (șirul e crescător de la $s_1$ încolo), toți termenii sunt numere naturale — un raționament prin inducție după doi pași consecutivi. Calculăm: $s_2=9-2=7$, $s_3=21-3=18$, $s_4=54-7=47$, $s_5=141-18=123$. Deci $x_1^5+x_2^5=123$, deși fiecare rădăcină în parte, $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$, este irațională.

De reținut

• Relațiile lui Viète: pentru $a{x}^2+bx+c=0$ cu $\Delta \ge 0$, $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Se citesc din coeficienți, fără a rezolva ecuația.
• Drumul invers: ecuația cu suma $S$ și produsul $P$ este $x^2-Sx+P=0$; astfel de numere reale există exact când $S^2-4P\ge 0$.
• Expresiile simetrice se exprimă prin $S$ și $P$: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$, $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}$, $(x_1-x_2{)}^2=S^2-4P$.
• Semnele rădăcinilor se decid din $\Delta$, $S$ și $P$: $P>0$ înseamnă același semn (dat de $S$), iar $P<0$ înseamnă semne contrare — caz în care $\Delta >0$ este automat.
• La problemele cu parametru, ordinea e obligatorie: întâi condiția $\Delta \ge 0$, apoi traducerea cerinței prin $S$ și $P$, la final intersecția mulțimilor de valori.

Greșeli frecvente

• Uiți semnul minus la sumă. $S=-\frac{b}{a}$, nu $\frac{b}{a}$. Test rapid pe o ecuație cu rădăcini evidente: $x^2-5x+6=0$ are rădăcinile $2$ și $3$, deci $S=5=-\frac{-5}{1}$ ✓.
• Folosești Viète fără să verifici $\Delta \ge 0$. Pentru $x^2+x+1=0$ ai scrie „$S=-1$, $P=1$", dar ecuația nu are rădăcini reale — expresiile calculate nu se referă la niciun număr real.
• Aplici relațiile la ecuația neadusă la forma standard. Din $2x^2=5x-3$ trebuie întâi $2x^2-5x+3=0$; abia apoi $S=\frac{5}{2}$, $P=\frac{3}{2}$.
• La formarea ecuației scrii $x^2+Sx+P=0$. Semnul corect este $x^2-Sx+P=0$. Verifică mereu pe un exemplu banal: rădăcinile $1$ și $2$ dau $x^2-3x+2=0$.
• La probleme cu parametru uiți intersecția condițiilor. Găsești, de pildă, $m=1$ din condiția impusă rădăcinilor, dar nu verifici dacă pentru $m=1$ ecuația chiar are rădăcini reale. Un răspuns care nu trece testul $\Delta \ge 0$ trebuie eliminat.

Aplică acasă

1. Verificatorul de teme. Ia ultimele cinci ecuații de gradul al doilea pe care le-ai rezolvat la școală. Pentru fiecare, verifică rezultatele numai prin Viète: adună rădăcinile și compară cu $-\frac{b}{a}$, înmulțește-le și compară cu $\frac{c}{a}$. Notează cât timp îți ia — vei vedea că e de câteva ori mai rapid decât o rezolvare repetată.

2. Fabrica de ecuații. Inventează cinci perechi de numere „frumoase" (întregi, fracții simple, conjugate cu radical de tipul $2\pm \sqrt{7}$) și construiește pentru fiecare ecuația de gradul al doilea corespunzătoare. Dă-i lista unui coleg să o rezolve și verifică-i răspunsurile — tu le știi deja.

3. Trei linii de cod. Dacă lucrezi cu un limbaj de programare, scrie o funcție care primește $a$, $b$, $c$ și afișează $\Delta$, $S$, $P$ și verdictul despre semnele rădăcinilor, fără să calculeze rădăcinile. Testeaz-o pe ecuațiile din exercițiul 10 și compară cu răspunsurile tale.

Pentru părinți și profesori

Lecția instalează una dintre uneltele cel mai des folosite din algebra de liceu. Elevul trebuie să plece de aici cu trei automatisme: (1) $S=-\frac{b}{a}$ și $P=\frac{c}{a}$, cu verificarea prealabilă a condiției $\Delta \ge 0$; (2) traducerea oricărei expresii simetrice în $S$ și $P$; (3) discuția semnelor rădăcinilor fără calculul lor. Demonstrația teoremei se cere la nivel de mate-info în ambele variante — prin adunarea formulelor de rezolvare și prin identificarea coeficienților în forma factorizată $a(x-x_1)(x-x_2)$.

Întrebări bune de control: „Care este suma rădăcinilor lui $x^2-7x+12=0$, fără să o rezolvi?" (răspuns: $7$); „Ce ecuație are rădăcinile $3$ și $-5$?" ($x^2+2x-15=0$); „De ce, dacă produsul rădăcinilor e negativ, nu mai trebuie să verific discriminantul?". Semne că a înțeles: începe orice problemă cu parametru scriind condiția $\Delta \ge 0$, nu confundă $S$ cu $-S$ la formarea ecuației și transformă spontan $x_1^2+x_2^2$ în $S^2-2P$ în loc să caute rădăcinile.

La Bacalaureatul M1, relațiile lui Viète apar aproape la fiecare sesiune: cerințe directe de tipul „calculați $x_1^2+x_2^2$", determinarea unui parametru dintr-o condiție impusă rădăcinilor, sau utilizarea lor ca pas intermediar în probleme despre parabole și sisteme, cum vei vedea în lecțiile despre sisteme cu ecuații de gradul al doilea și despre dreaptă și parabolă.

Întrebări frecvente

Ce sunt relațiile lui Viète, pe scurt? Sunt două formule care leagă rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea de coeficienții ei: suma rădăcinilor este $-\frac{b}{a}$, iar produsul lor este $\frac{c}{a}$. Le poți folosi fără să rezolvi ecuația.

Cum calculez $x_1^2+x_2^2$ fără să aflu rădăcinile? Folosești identitatea $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=S^2-2P$. De exemplu, pentru $x^2-6x+4=0$ obții $36-8=28$, deși rădăcinile sunt iraționale.

Ce ecuație are rădăcinile date? Dacă vrei rădăcinile cu suma $S$ și produsul $P$, ecuația este $x^2-Sx+P=0$. Dacă îți trebuie coeficienți întregi, înmulțești toată ecuația cu numitorul comun.

Se pot aplica relațiile lui Viète dacă discriminantul este negativ? Pe mulțimea numerelor reale, nu: ecuația nu are rădăcini reale, deci $x_1$ și $x_2$ nici nu există. În clasa a XII-a, când vei lucra cu numere complexe, relațiile rămân adevărate și în acest caz.

Cum aflu semnele rădăcinilor fără să le calculez? Te uiți la trei numere: $\Delta$, $S$ și $P$. Dacă $P>0$, rădăcinile au același semn, dat de semnul lui $S$; dacă $P<0$, ele au semne contrare (și sunt sigur reale). Nu uita condiția $\Delta \ge 0$ în primul caz.

De unde vine forma $x^2-Sx+P=0$? Din relațiile lui Viète cu $a=1$: atunci $b=-S$ și $c=P$. Este pur și simplu ecuația $x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2=0$, adică forma desfăcută a produsului $(x-x_1)(x-x_2)=0$.

La ce mă ajută relațiile lui Viète la Bacalaureat? Îți scurtează drastic rezolvările: expresii simetrice, probleme cu parametru, semne ale rădăcinilor, verificarea rapidă a unui rezultat. Sunt printre puținele formule care apar în aproape fiecare variantă de subiect la profilul matematică-informatică.

Există relații asemănătoare la ecuațiile de grad mai mare? Da. Pentru ecuația de gradul al treilea $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$ se obțin, prin același raționament cu forma factorizată, relațiile $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$ și $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$. Le vei studia la polinoame, în clasa a XII-a.