Mijlocul segmentului cu capetele $$S(-7, 4)$$ și $$T(3, -9)$$ este punctul:

$$M\!\left(-2, -\dfrac52\right)$$

$$M\!\left(5, -\dfrac{13}{2}\right)$$

$$M\!\left(-2, \dfrac52\right)$$

Simetricul punctului $$A(-3, 7)$$ față de punctul $$P(2, -1)$$ este:

$$A'\!\left(-\dfrac12, 3\right)$$

Cum aflu al patrulea vârf al unui paralelogram?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Reper, distanță și mijloc

Într-un paralelogram diagonalele au același mijloc, deci al patrulea vârf iese dintr-o egalitate de mijlocuri. Pentru $A B C D$ , mijlocul lui $A C$ trebuie să coincidă cu mijlocul lui $B D$ , de unde $D$ are coordonatele $x_{A} + x_{C} - x_{B}$ și $y_{A} + y_{C} - y_{B}$ . Cu $A (1, 2)$ , $B (4, 3)$ și $C (6, 7)$ iese $D (3, 6)$ , iar controlul se face verificând că ambele mijlocuri dau punctul $(3, 5; 4, 5)$ .

Geometria devine calcul în clipa în care fiecare punct primește o pereche de numere. În reperul cartezian $x O y$ — două axe perpendiculare, cu aceeași unitate și cu originea comună $O$ — punctul $A$ este descris complet de perechea ordonată $(x_{A}, y_{A})$ : abscisa se citește pe $O x$ , ordonata pe $O y$ . Semnele coordonatelor dau cadranul, iar punctele situate pe axe au o coordonată nulă.

Din teorema lui Pitagora, aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele, rezultă distanța dintre două puncte: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ . Obiceiul care economisește cel mai mult timp este să lucrezi cu $A B^{2}$ până la ultimul pas — comparațiile dintre laturi se fac atunci exact, pe numere raționale, iar radicalul se extrage abia la final. Tot din pătratele laturilor se citește natura triunghiului: isoscel când două dintre ele sunt egale, dreptunghic când suma a două dă al treilea.

A doua formulă este a mijlocului: $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ , adică mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Din ea ies imediat simetricul lui $A$ față de $P$ , anume $A^{'} (2 x_{P} - x_{A}, 2 y_{P} - y_{A})$ , și criteriul de paralelogram: diagonalele au același mijloc. Ține minte contrastul care se confundă cel mai des — la distanță se scade, la mijloc se adună. Iar înainte de a numi trei puncte „triunghi”, verifică $Δ \neq = 0$ , unde $Δ$ este determinantul format din coordonatele vârfurilor și o coloană de $1$ ; aria lui este $S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ .

De reținut

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
Mijlocul: $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Paralelogram $A B C D$ : $D = A + C - B$ pe fiecare coordonată

Greșeala tipică

Se scrie al patrulea vârf după ordinea în care apar literele în enunț, fără să se țină cont care sunt diagonalele. În $A B C D$ diagonalele sunt $A C$ și $B D$ , iar o altă asociere dă un cu totul alt punct.

Exerciții din această mini-lecție

Distanța dintre punctele $A (- 2, 5)$ și $B (6, - 1)$ este egală cu:
- a) $42$
- b) $10$
- c) $14$
- d) $27$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

$A B^{2} = (6 - (- 2))^{2} + (- 1 - 5)^{2} = 8^{2} + (- 6)^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $A B = 10$ . Varianta $42$ apare dacă se adună coordonatele în loc să se scadă, iar $14$ dacă se adună pur și simplu $8$ cu $6$ .
Mijlocul segmentului cu capetele $S (- 7, 4)$ și $T (3, - 9)$ este punctul:
- a) $M (5, - \frac{13}{2})$
- b) $M (- 4, - 5)$
- c) $M (- 2, \frac{5}{2})$
- d) $M (- 2, - \frac{5}{2})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $M (- 2, - \frac{5}{2})$

Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale capetelor: $x_{M} = \frac{- 7 + 3}{2} = - 2$ și $y_{M} = \frac{4 + ( - 9 )}{2} = - \frac{5}{2}$ . Prima variantă folosește diferențele în loc de sume, a doua uită împărțirea la $2$ .
Simetricul punctului $A (- 3, 7)$ față de punctul $P (2, - 1)$ este:
- a) $A^{'} (7, - 9)$
- b) $A^{'} (- 8, 15)$
- c) $A^{'} (- \frac{1}{2}, 3)$
- d) $A^{'} (5, - 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A^{'} (7, - 9)$

$P$ trebuie să fie mijlocul lui $[A A^{'}]$ , deci dublezi centrul și scazi punctul: $x_{A^{'}} = 2 \cdot 2 - (- 3) = 7$ și $y_{A^{'}} = 2 \cdot (- 1) - 7 = - 9$ . Verificare: mijlocul lui $[A A^{'}]$ este $(\frac{- 3 + 7}{2}, \frac{7 - 9}{2}) = (2, - 1) = P$ ✓.

Întrebări conexe

Cum calculez lungimea unui segment din coordonate?

Scazi coordonatele de același fel, ridici diferențele la pătrat, aduni și extragi radicalul. Pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ ies $3$ și $4$ , deci lungimea este $5$ , adică ipotenuza unui triunghi dreptunghic cunoscut.

Ce coordonate are centrul de greutate al unui triunghi?

Media aritmetică a coordonatelor celor trei vârfuri, luată separat pe fiecare axă. Formula iese din faptul că punctul acesta împarte fiecare mediană în raportul $2 : 1$ , socotit dinspre vârf.

Cum aflu simetricul unui punct față de axa Ox?

Păstrezi abscisa și schimbi semnul ordonatei: din $P (3, - 5)$ iese $P^{'} (3, 5)$ . Față de axa $O y$ se schimbă abscisa, iar față de origine se schimbă amândouă, fiindcă punctul se rotește cu o jumătate de tură.

Cum aflu perimetrul unui triunghi cu vârfuri date?

Calculezi pe rând cele trei lungimi de laturi și le aduni. Radicalii care nu se simplifică se lasă ca atare, iar rezultatul se dă în formă exactă, nu aproximat, dacă enunțul nu cere altfel.

Ce distanță are un punct față de axa Oy?

Este valoarea absolută a abscisei lui, fiindcă distanța se măsoară pe orizontală, până la axa verticală. Simetric, distanța până la axa $O x$ este valoarea absolută a ordonatei.

Cum aflu un punct care împarte un segment într-un raport dat?

Combini coordonatele capetelor cu ponderi date de raport: pentru raportul $k$ socotit dinspre $A$ , punctul are coordonatele $\frac{x _{A} + k x _{B}}{1 + k}$ și analog pe ordonată. Pentru $k = 1$ se regăsește mijlocul segmentului.

Oamenii mai întreabă și: al patrulea vârf al unui paralelogram · coordonatele vârfului D dintr-un paralelogram · diagonalele au același mijloc · cum aflu un vârf lipsă din coordonate