Într-un șir al lui Rolle, o valoare $$h(x_i) = 0$$ înseamnă că:

punctul $$x_i$$ este el însuși soluție, și anume multiplă

în vecinătatea lui $$x_i$$ există exact două soluții

tabelul a fost completat greșit

pe intervalul respectiv ecuația nu are nicio soluție

Cum se citește un șir al lui Rolle?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ecuația f(x) = g(x) și șirul lui Rolle

Se compară semnele valorilor din tabel, două câte două, în ordinea în care apar. Între două semne contrare se află exact o soluție a ecuației; două semne la fel înseamnă că pe acolo nu trece nicio soluție; iar o valoare nulă arată că punctul însuși este soluție, și anume multiplă. Numărul schimbărilor de semn, adunat cu zerourile găsite, dă numărul exact de rădăcini.

Soluțiile reale ale ecuației $f (x) = g (x)$ sunt exact abscisele punctelor comune ale celor două grafice, privite pe domeniul lor comun — abscisele, nu punctele. Există două drumuri. Drumul A suprapune graficele lui $f$ și $g$ și numără intersecțiile; e cel mai rapid când amândouă graficele sunt deja cunoscute. Drumul B trece totul într-un membru, $h = f - g$ , iar ecuația devine $h (x) = 0$ : soluțiile sunt zerourile lui $h$ . Reflexul bun: desenezi pe drumul A ca să vezi ce se întâmplă, scrii pe drumul B ca să demonstrezi.

Graficul dă numărul probabil de soluții și valori aproximative, dar nu deosebește o tangență de o încrucișare lină și nu arată nimic în afara ferestrei desenate, deci nu ține loc de demonstrație. Șirul lui Rolle dă numărul exact: se rezolvă $h^{'} (x) = 0$ și se rețin soluțiile din domeniu, se calculează valorile în ele și limitele la capete, se completează tabelul cu trei rânduri — $x$ , $h (x)$ , semnul — și se citește. Între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție; o valoare nulă înseamnă că punctul este el însuși soluție, și anume multiplă; două semne egale înseamnă niciuna.

Când domeniul este întrerupt se scriu două tabele, câte unul pe interval, pentru că proprietatea valorilor intermediare nu trece peste gaură. La funcțiile mărginite se restrânge întâi domeniul, din inegalitățile de mărginire. La Bacalaureat M1 concluzia se scrie pe drumul șirului lui Rolle, iar lectura grafică doar o însoțește.

De reținut

soluțiile lui $f (x) = g (x)$ sunt abscisele punctelor comune ale graficelor
șirul lui Rolle: puncte critice și capete, valorile, semnele
domeniu cu gol: câte un tabel al șirului lui Rolle pentru fiecare interval

Greșeala tipică

Pe un domeniu cu gol se scrie un singur tabel. Proprietatea valorilor intermediare nu trece peste punctul lipsă, așa că fiecare interval își cere tabelul lui.

Exerciții din această mini-lecție

Câte soluții reale are ecuația $ln x = 3 - x$ ?
- a) exact trei
- b) niciuna
- c) exact una
- d) exact două
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) exact una

Domeniul ecuației este $(0, + \infty)$ . Cu $h (x) = ln x + x - 3$ avem $h^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$ pe tot domeniul, deci $h$ este strict crescătoare și derivata nu se anulează: șirul lui Rolle are numai capetele. Limitele sunt $- \infty$ în $0$ la dreapta și $+ \infty$ la $+ \infty$ , deci semnele sunt $-$ , $+$ : o singură schimbare, deci exact o soluție.
Într-un șir al lui Rolle, o valoare $h (x_{i}) = 0$ înseamnă că:
- a) punctul $x_{i}$ este el însuși soluție, și anume multiplă
- b) în vecinătatea lui $x_{i}$ există exact două soluții
- c) tabelul a fost completat greșit
- d) pe intervalul respectiv ecuația nu are nicio soluție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) punctul $x_{i}$ este el însuși soluție, și anume multiplă

Acolo se anulează simultan $h$ și $h^{'}$ , deci $x_{i}$ este rădăcină multiplă a ecuației $h (x) = 0$ ; în plus, în cele două felii vecine nu mai există nicio altă soluție. În lucrare se scrie explicit „soluție dublă”, pentru că baremul cere precizarea. Un desen nu poate stabili niciodată multiplicitatea.
Pentru ecuația $\frac{2}{x} = x - 1$ , câte tabele ale șirului lui Rolle se scriu și câte soluții reale are ecuația?
- a) un tabel, o soluție
- b) un tabel, două soluții
- c) două tabele, o soluție
- d) două tabele, două soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) două tabele, două soluții

Domeniul este $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ , deci se scriu două tabele: proprietatea valorilor intermediare nu trece peste punctul exclus. Cu $h (x) = \frac{2}{x} - x + 1$ avem $h^{'} (x) = - \frac{2}{x ^{2}} - 1 < 0$ , deci nu există puncte critice; pe fiecare interval semnele sunt $+$ , $-$ , deci câte o soluție. Verificare: $x^{2} - x - 2 = 0$ dă $x = - 1$ și $x = 2$ .

Întrebări conexe

Ce rânduri are tabelul șirului lui Rolle?

Trei. Pe primul stau punctele: capetele domeniului și soluțiile ecuației $h^{'} (x) = 0$ , în ordine crescătoare. Pe al doilea, valorile funcției în acele puncte, iar la capete limitele. Pe al treilea, semnul fiecărei valori, care este de fapt tot ce se citește.

Ce înseamnă două semne consecutive egale în șir?

Că pe intervalul dintre punctele respective ecuația nu are nicio soluție. Funcția fiind monotonă acolo și păstrând semnul la capete, ea nu poate trece prin zero. Concluzia se scrie pentru fiecare interval în parte, apoi se adună.

Ce înseamnă un zero care apare chiar în șirul lui Rolle?

Că punctul critic este el însuși soluție a ecuației. Îl treci direct în lista soluțiilor și îl numeri o singură dată, iar cele două intervale vecine lui nu mai aduc alte rădăcini, fiindcă la capătul comun valoarea este deja zero.

Ce limite se trec în șirul lui Rolle la capetele domeniului?

Limitele funcției $h$ în acele capete, chiar dacă ele sunt infinite; semnul lor este cel care contează. Fără ele, ultima felie a tabelului nu poate arăta nicio schimbare de semn, iar numărul de soluții iese mai mic decât cel adevărat.

Ce sunt soluțiile unei ecuații privite pe două grafice?

Abscisele punctelor în care cele două curbe se întâlnesc, nu punctele întregi. Un răspuns dat cu perechi de coordonate este greșit ca formă: se cer valorile lui $x$ , iar ordonatele rămân doar o verificare.

Cum se restrânge domeniul la funcțiile mărginite?

Din inegalitățile de mărginire. Dacă un membru ia valori numai într-un interval, atunci și celălalt trebuie să cadă acolo, ceea ce taie de la început o parte din dreapta reală. Se studiază apoi doar intervalul rămas, iar munca scade mult.

Oamenii mai întreabă și: șirul lui Rolle · rezolvarea grafică a ecuației f egal g · numărul de rădăcini reale · funcția h egal f minus g · câte soluții are o ecuație