Formula $$(A + B)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k\, A^{n-k} B^{k}$$, cu $$A, B \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$$, este adevărată:

numai dacă $$A \cdot B = B \cdot A$$

numai dacă $$A$$ sau $$B$$ este nilpotentă

numai dacă $$A = \alpha I_p$$ și $$B = O_p$$

Se consideră $$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$. Pentru orice $$n \in \mathbb{N}^{*}$$, matricea $$A^{n}$$ este:

$$\begin{pmatrix} 3^{n} & 5n \cdot 3^{\,n-1} \\ 0 & 3^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3^{n} & 5n \\ 0 & 3^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3^{n} & 5n \cdot 3^{n} \\ 0 & 3^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3^{n} & 5^{n} \\ 0 & 3^{n} \end{pmatrix}$$

Cum calculez puterea cu binomul lui Newton?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ridicarea la putere cu binomul lui Newton

Scrii matricea ca sumă între un multiplu al matricei unitate și un rest, $A = α I_{p} + N$ , alegând $α$ egal cu elementul de pe diagonală. Cele două părți sunt permutabile, deci se aplică dezvoltarea binomială. Cum $N^{2} = O$ la cazurile obișnuite, rămân numai primii doi termeni: $A^{n} = α^{n} I_{p} + n α^{n - 1} N$ . Pentru $A = (3013)$ iese $A^{n} = (3^{n} 0 n \cdot 3^{n - 1} 3^{n})$ .

Spre deosebire de inducție, care îți cere să ghicești formula înainte de a o demonstra, binomul o produce. Are însă o ipoteză de care depinde totul: pentru $A, B \in M_{p} (C)$ cu $A B = B A$ , $(A + B)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} A^{n - k} B^{k} .$ Fără comutare formula este falsă: dezvoltarea corectă a lui $(A + B)^{2}$ este întotdeauna $A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , iar termenii din mijloc se strâng în $2 A B$ numai dacă $A B = B A$ . Ipoteza se verifică prin calcul, nu se presupune.

Partenerul universal este $I_{p}$ , care comută cu orice matrice pătratică de același ordin. De aceea descompunerea $A = α I_{p} + N$ , cu $N = A - α I_{p}$ , este mereu permisă — dar utilă doar când puterile lui $N$ sunt cunoscute. Cazul de aur: $N$ nilpotentă, adică $N^{q} = O_{p}$ pentru un exponent $q$ . Atunci toți termenii cu $k \geq q$ dispar și suma se reduce la cel mult $q$ bucăți, oricât de mare ar fi $n$ .

Rețeta, în patru pași: alegi $α$ uitându-te la diagonala principală (trebuie să fie constantă); scrii $N = A - α I_{p}$ și îi calculezi puterile până obții efectiv matricea nulă; scrii suma trunchiată; verifici formula pentru $n = 1$ și $n = 2$ . Atenție la exponenții scalarului: ei sunt $α^{n}$ , $α^{n - 1}$ , $α^{n - 2}$ — acolo se pierd cele mai multe puncte.

De reținut

$A = α I_{p} + N$ , cu $α$ luat de pe diagonală
$I_{p}$ comută cu orice, deci dezvoltarea binomială e permisă
Dacă $N^{2} = O$ : $A^{n} = α^{n} I_{p} + n α^{n - 1} N$

Greșeala tipică

Se aplică dezvoltarea binomială la o sumă oarecare de două matrice. Formula cere ca factorii să fie permutabili; fără această verificare, termenii de mijloc nu se pot strânge sub coeficienți binomiali.

Exerciții din această mini-lecție

Formula $(A + B)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} A^{n - k} B^{k}$ , cu $A, B \in M_{p} (C)$ , este adevărată:
- a) pentru orice $A$ și $B$
- b) numai dacă $A \cdot B = B \cdot A$
- c) numai dacă $A$ sau $B$ este nilpotentă
- d) numai dacă $A = α I_{p}$ și $B = O_{p}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) numai dacă $A \cdot B = B \cdot A$

Demonstrația binomului folosește, la fiecare pas, schimbarea ordinii factorilor — legală la numere, interzisă la matrice. Singura ipoteză, dar obligatorie, este comutarea: $A B = B A$ . Nilpotența nu are legătură cu valabilitatea formulei, ci doar cu utilitatea ei: ea taie suma la câțiva termeni.
Se consideră $A = (3053)$ . Pentru orice $n \in N^{*}$ , matricea $A^{n}$ este:
- a) $(3^{n} 0 5 n 3^{n})$
- b) $(3^{n} 0 5 n \cdot 3^{n} 3^{n})$
- c) $(3^{n} 0 5 n \cdot 3^{n - 1} 3^{n})$
- d) $(3^{n} 0 5^{n} 3^{n})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(3^{n} 0 5 n \cdot 3^{n - 1} 3^{n})$

Diagonala este constantă, egală cu $3$ , deci $α = 3$ și $N = A - 3 I_{2} = (0050)$ , cu $N^{2} = O_{2}$ . Suma se oprește la $k = 1$ : $A^{n} = 3^{n} I_{2} + n \cdot 3^{n - 1} N$ . Exponentul lui $3$ din al doilea termen este $n - 1$ , nu $n$ — vine din $α^{n - k}$ cu $k = 1$ . Control pentru $n = 2$ : $(90309)$ .
Fie $N \in M_{3} (C)$ cu $N^{3} = O_{3}$ și $N^{2} \neq = O_{3}$ . Câți termeni are dezvoltarea lui $(I_{3} + N)^{n}$ , pentru $n \geq 2$ ?
- a) $n + 1$
- b) unul singur
- c) doi
- d) trei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) trei

Indicele de nilpotență este $3$ , deci toate puterile $N^{k}$ cu $k \geq 3$ sunt nule și termenii lor dispar din sumă. Rămân exact cei cu $k \in {0, 1, 2}$ : $(I_{3} + N)^{n} = I_{3} + n N + \frac{n ( n - 1 )}{2} N^{2}$ — trei termeni, oricât de mare ar fi $n$ . Aici stă toată puterea metodei: o sumă cu $n + 1$ termeni se reduce la una cu cel mult $q$ .

Întrebări conexe

Ce condiție trebuie să respecte cele două matrice din sumă?

Trebuie să fie permutabile, adică produsul lor să dea același rezultat în ambele ordini. Altfel termenii dezvoltării nu se pot strânge după coeficienți binomiali, fiindcă $X Y$ și $Y X$ rămân matrice diferite și numărul termenilor crește exponențial.

Cum descompun o matrice de ordinul 2 în parte scalară și rest?

Iei $α$ valoarea repetată de pe diagonală, scrii $α I_{2}$ și scazi: ce rămâne este $N$ . Din $(3013)$ ies $3 I_{2}$ și $(0010)$ , iar a doua matrice are pătratul nul.

Ce coeficienți apar în dezvoltarea binomială la matrice?

Exact combinările din dezvoltarea obișnuită: termenul de rang $k$ poartă $C_{n}^{k}$ , puterea $α^{n - k}$ și puterea $N^{k}$ . Diferența față de numere este că factorii sunt matrice, deci ordinea în fiecare termen trebuie păstrată chiar dacă rezultatul nu se schimbă.

Cum verific rapid dacă N la pătrat se anulează?

Faci produsul $N \cdot N$ și te uiți dacă iese matricea nulă. La ordinul $2$ , orice matrice cu un singur element nenul, așezat în afara diagonalei, are pătratul nul; la ordinul $3$ se poate întâmpla ca abia cubul să se anuleze.

Ce avantaj are metoda binomului față de inducție?

Dă formula direct, fără să ghicești tiparul și fără să mai demonstrezi nimic după aceea. Se plătește printr-o condiție tare: matricea trebuie să aibă diagonala constantă, ca restul să iasă cu puteri care se sting repede.

Cum calculez A la puterea n dacă matricea are 1 pe diagonală și a deasupra?

Aici $α = 1$ , deci $α^{n} = 1$ și formula se scurtează la $I_{2} + n N$ . Rezultatul are $1$ pe diagonală și $na$ în colțul de sus, adică exact creșterea liniară obținută și prin inducție.

Oamenii mai întreabă și: binomul lui Newton la matrice · A la puterea n cu alfa I plus N · matrice nilpotentă și binomul lui Newton · dezvoltare binomială cu matrice