Se consideră $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$$. Pentru orice $$n \in \mathbb{N}^{*}$$, matricea $$A^{n}$$ este:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5n & 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5^{n} & 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5n & n \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} n & 0 \\ 5n & n \end{pmatrix}$$

Într-o demonstrație prin inducție a unei formule pentru $$A^{n}$$, ipoteza de inducție se folosește:

în egalitatea $$A^{k+1} = A^{k} \cdot A$$, când $$A^{k}$$ este înlocuit cu formula presupusă

la final, când se scrie concluzia

nicăieri, dacă baza a fost verificată corect

Cum demonstrez formula puterii prin inducție?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ridicarea la putere prin inducție

Calculezi $A^{2}$ și $A^{3}$ , citești tiparul și propui o formulă pentru $A^{n}$ . Apoi o verifici la $n = 1$ , o presupui adevărată pentru un rang $k$ și înmulțești egalitatea cu $A$ , ca să obții forma cerută la $k + 1$ . Dacă $A = (1011)$ , tiparul dă $A^{n} = (10 n 1)$ , iar produsul $A^{k} \cdot A$ ridică într-adevăr colțul de la $k$ la $k + 1$ .

Un tipar observat pe primele patru puteri este o presupunere, nu un rezultat; instrumentul care o transformă în teoremă este inducția matematică. Metoda are trei pași. Calculezi $A^{2}$ , $A^{3}$ și, dacă e nevoie, $A^{4}$ , prin înmulțiri directe. Ghicești formula comparând matricele poziție cu poziție: fiecare poziție îți dă un mic șir, iar dacă numerele cresc cu același pas apare $n$ sau un multiplu al lui, dacă se dublează sau se triplează apare $2^{n}$ ori $3^{n}$ , iar dacă rămân neschimbate, formula are acolo o constantă. Când un șir pare fără regulă, compară-l cu vecinul lui: de cele mai multe ori este acela, plus sau minus o constantă. Demonstrezi apoi afirmația $P (n)$ .

Demonstrația are două etape obligatorii, iar lipsa oricăreia anulează concluzia: verificarea bazei ( $n = 1$ trebuie să redea chiar $A$ ) și pasul inductiv, sprijinit pe $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ . Aici înlocuiești $A^{k}$ cu formula presupusă, faci o singură înmulțire și recunoști formula scrisă pentru $k + 1$ . Locul în care folosești ipoteza trebuie să se vadă în redactare — baremele îl urmăresc.

Cazul care apare cel mai des la Bacalaureat M1: din $A^{2} = α A$ rezultă $A^{n} = α^{n - 1} A$ , demonstrat în trei egalități. Iar dacă puterile nu se așază pe un tipar care crește, caută unul care se repetă: formula se dă atunci pe cazuri, după restul împărțirii exponentului.

De reținut

Ghicești din $A^{2}$ , $A^{3}$ , apoi demonstrezi; observația nu ține loc de demonstrație
$A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ — ipoteza se folosește exact la înlocuirea lui $A^{k}$
Verificarea primului rang și pasul sunt amândouă obligatorii

Greșeala tipică

Se calculează trei-patru puteri, se anunță formula și se trece mai departe. Câteva cazuri nu acoperă o infinitate de exponenți, așa că demonstrația cere pasul de la un rang oarecare la următorul.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (1501)$ . Pentru orice $n \in N^{*}$ , matricea $A^{n}$ este:
- a) $(1 5 n 01)$
- b) $(1 5^{n} 01)$
- c) $(1 5 n 0 n)$
- d) $(n 5 n 0 n)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(1 5 n 01)$

Calculăm primele puteri: $A^{2} = (11001)$ și $A^{3} = (11501)$ — trei poziții rămân neschimbate, iar colțul din stânga-jos crește din $5$ în $5$ , deci presupunem $5 n$ . Pasul inductiv confirmă: din ipoteză, elementul de pe poziția $(2, 1)$ al produsului $A^{k} \cdot A$ este $5 k + 5 = 5 (k + 1)$ .
Într-o demonstrație prin inducție a unei formule pentru $A^{n}$ , ipoteza de inducție se folosește:
- a) la verificarea bazei
- b) în egalitatea $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ , când $A^{k}$ este înlocuit cu formula presupusă
- c) la final, când se scrie concluzia
- d) nicăieri, dacă baza a fost verificată corect
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) în egalitatea $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ , când $A^{k}$ este înlocuit cu formula presupusă

Pasul inductiv are patru verigi: definiția puterii, $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ ; înlocuirea lui $A^{k}$ cu formula presupusă — acesta este singurul loc în care intervine ipoteza; o simplă înmulțire; și recunoașterea formulei scrise pentru $k + 1$ . Baza se verifică independent, prin calcul direct, iar fără ea lanțul nu pornește.
Se consideră $A \in M_{2} (C)$ cu $A^{2} = 7 A$ . Atunci, pentru orice $n \geq 1$ :
- a) $A^{n} = 7 A$
- b) $A^{n} = 7^{n} A$
- c) $A^{n} = 7^{n - 1} A$
- d) $A^{n} = 7 n A$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A^{n} = 7^{n - 1} A$

Baza: pentru $n = 1$ formula dă $7^{0} A = A$ . Pasul: presupunând $A^{k} = 7^{k - 1} A$ , obținem $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A = 7^{k - 1} A \cdot A = 7^{k - 1} A^{2} = 7^{k - 1} \cdot 7 A = 7^{k} A$ . Fiecare înmulțire cu $A$ adaugă un singur factor $7$ , iar prima putere nu aduce niciunul — de aici exponentul $n - 1$ , nu $n$ .

Întrebări conexe

Care sunt cei doi pași ai unei demonstrații prin inducție?

Întâi verificarea pe primul rang, unde formula se citește direct. Apoi pasul propriu-zis: se presupune afirmația adevărată la un rang oarecare $k$ și se deduce la $k + 1$ . Fără al doilea pas ai doar câteva cazuri; fără primul, un lanț fără început.

De ce începe inducția de la n egal cu 1 și nu de la 0?

Fiindcă formula propusă descrie de obicei produse efective de matrice, iar $A^{0} = I_{n}$ este o convenție separată. Când formula generală dă corect și matricea unitate, pornirea de la zero este la fel de bună; altfel primul rang util rămâne $1$ .

Cum trec de la pasul k la pasul k plus 1 la matrice?

Scrii $A^{k + 1} = A^{k} \cdot A$ , înlocuiești $A^{k}$ cu forma presupusă și faci un singur produs de matrice. Rezultatul trebuie să coincidă, element cu element, cu formula generală în care ai pus $k + 1$ în locul lui $n$ .

Ce formă are A la puterea n pentru o matrice triunghiulară cu 1 pe diagonală?

La ordinul $2$ , colțul de sus se înmulțește cu exponentul: din $(10 a 1)$ iese $(10 na 1)$ . Creșterea este liniară, nu geometrică, fiindcă produsele care ar aduce termeni noi se lovesc de zerourile de sub diagonală.

Cum verific pe un caz numeric formula găsită?

Pui $n = 3$ în formulă și, separat, calculezi $A^{3}$ prin două înmulțiri. Dacă cele două matrice coincid, formula are șanse mari să fie corectă; dacă diferă, tiparul a fost citit greșit și trebuie reluat de la $A^{2}$ .

Cum scriu concluzia unei demonstrații prin inducție?

Se spune că afirmația este adevărată pentru orice număr natural nenul $n$ , fiindcă primul rang a fost verificat, iar din fiecare rang se ajunge la următorul. Concluzia nu se scrie înainte de a fi încheiat pasul, oricât de limpede ar părea tiparul.

Oamenii mai întreabă și: inducție matematică la matrice · cum arăt formula lui A la puterea n · demonstrație prin inducție cu matrice · pasul de inducție la puterea unei matrice