Primul pas al schemei de studiu al variației unei funcții este:

domeniul maxim de definiție, scris ca reuniune de intervale

calculul derivatei întâi și al punctelor critice

alcătuirea tabelului de variație

La clasa a XI-a, studiul variației unei funcții se oprește la:

calculul derivatei de ordinul al treilea

Se consideră $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{4} + 4x^{3}$$, cu $$f'(x) = 4x^{2}(x+3)$$. În $$x = 0$$ funcția:

nu are extrem, deși $$f'(0) = 0$$ — punctul este de inflexiune

Cum studiez complet variația unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Schema completă de studiu al variației

Ordinea este ceea ce se evaluează: domeniul scris ca reuniune de intervale, continuitatea și derivabilitatea, limitele la fiecare capăt al fiecărui interval, apoi $f^{'}$ cu punctele critice și semnul ei, $f^{''}$ cu zerourile și semnul ei, valorile funcției în punctele marcate, tabelul complet și, la final, citirea în cuvinte. Punctele se pierd rar dintr-o derivată greșită și des dintr-un domeniu sărit.

Lecția nu aduce noțiuni noi, ci ordinea — și tocmai ordinea se evaluează. La un studiu de funcție punctele se pierd rar din cauza unei derivate greșite; se pierd pentru că s-a sărit domeniul sau limitele la capete.

Schema are opt pași: (1) domeniul, scris ca reuniune de intervale; (2) continuitatea și derivabilitatea, cu atenție la funcțiile pe ramuri, la module și la radicalii de ordin par; (3) limitele la fiecare capăt al fiecărui interval din domeniu; (4) $f^{'}$ , punctele critice și semnul ei; (5) $f^{''}$ , zerourile și semnul; (6) valorile lui $f$ în punctele marcate; (7) tabelul complet, cu $2 k + 4$ coloane; (8) citirea în cuvinte.

Două precauții care aduc puncte: numitorul unei derivate raționale este de obicei un pătrat, deci pozitiv — semnul îl dă doar numărătorul; iar monotonia și convexitatea se formulează pe câte un interval, niciodată pe o reuniune.

Regula scurtă pentru punctele speciale: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ celulă goală. Un gol dinăuntrul domeniului primește coloană proprie, cu $∣$ la derivate și cele două limite laterale la $f$ .

Citirea conține monotonia, extremele (cu punct $\neq =$ valoare), convexitatea și inflexiunile (ale funcției — $x_{0}$ ; ale graficului — perechea), imaginea și, la cerere, numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ .

La clasa a XI-a studiul se oprește aici: trasarea graficului și asimptotele sunt teme de clasa a XII-a.

De reținut

opt pași, de la domeniu până la citirea în cuvinte
punct de pe axă fără funcție înseamnă bară; la infinit, celulă goală
monotonia și convexitatea se scriu pe câte un interval

Greșeala tipică

Se începe cu derivata, sărind peste domeniu. Fără el nu știi ce puncte se marchează pe axă și ce limite trebuie calculate, deci tabelul iese incomplet.

Exerciții din această mini-lecție

Primul pas al schemei de studiu al variației unei funcții este:
- a) domeniul maxim de definiție, scris ca reuniune de intervale
- b) calculul derivatei întâi și al punctelor critice
- c) calculul limitelor la capete
- d) alcătuirea tabelului de variație
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) domeniul maxim de definiție, scris ca reuniune de intervale

Fără domeniu, toți ceilalți pași se pot contamina: ai discuta semnul derivatei în puncte în care funcția nici nu există, iar în tabel ai marca zerouri care nu aparțin domeniului. Cele patru surse de restricții sunt numitorul nenul, radicalul de ordin par, argumentul strict pozitiv al logaritmului și punctele în care tangenta sau cotangenta nu există. Limitele vin abia la pasul $3$ , iar derivata la pasul $4$ .
La clasa a XI-a, studiul variației unei funcții se oprește la:
- a) trasarea graficului
- b) determinarea asimptotelor
- c) tabelul de variație complet
- d) calculul derivatei de ordinul al treilea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) tabelul de variație complet

Programa clasei a XI-a cere studiul variației până la tabelul complet, cu rândurile $f^{'}$ , $f^{''}$ și $f$ . Trasarea graficului și cuvântul „asimptotă" aparțin clasei a XII-a. Asta nu înseamnă că limitele la capete se sar: ele se calculează și se trec în tabel, pentru că fără ele nu se poate citi imaginea funcției.
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} + 4 x^{3}$ , cu $f^{'} (x) = 4 x^{2} (x + 3)$ . În $x = 0$ funcția:
- a) are un minim local
- b) nu are extrem, deși $f^{'} (0) = 0$ — punctul este de inflexiune
- c) are un maxim local
- d) nu este derivabilă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu are extrem, deși $f^{'} (0) = 0$ — punctul este de inflexiune

Factorul $4 x^{2}$ este pozitiv de ambele părți ale originii, deci $f^{'}$ păstrează semnul plus și funcția doar „încetinește" o clipă, fără să se întoarcă: reciproca teoremei lui Fermat este falsă. În schimb $f^{''} (x) = 12 x (x + 2)$ se anulează în $0$ și își schimbă semnul acolo, deci originea este punct de inflexiune, cu tangentă orizontală.

Întrebări conexe

De ce numitorul unei derivate raționale nu schimbă semnul?

Fiindcă de obicei el apare ridicat la pătrat, deci rămâne pozitiv oriunde este definit. Prin urmare semnul întregii derivate îl dă numai numărătorul, ceea ce scurtează mult tabelul de semn.

Ce restricții dau domeniul unei funcții?

Patru, în principal: numitorul nu se anulează, sub radicalul de ordin par stă o cantitate nenegativă, argumentul logaritmului este strict pozitiv, iar tangenta și cotangenta cer cosinusul, respectiv sinusul, nenuli. Le treci în revistă pe toate înainte de a scrie domeniul.

Ce conține citirea în cuvinte a unui studiu de funcție?

Monotonia pe fiecare interval, extremele cu punct și valoare, convexitatea și inflexiunile, imaginea funcției și, dacă se cere, numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ . Este partea care transformă tabelul într-un răspuns.

Unde se pierd cel mai des punctele la un studiu de funcție?

La domeniu și la limitele de la capete, nu la calculul derivatelor. Un domeniu scris greșit strică tot tabelul care urmează, iar limitele lipsă lasă coloane necompletate, din care nu se poate citi imaginea.

Ce se face cu punctele în care funcția nu este derivabilă?

Se marchează pe axă, la fel ca zerourile derivatei. În rândul derivatei se scrie semnul care arată că ea nu există, iar sub tabel o propoziție lămurește de ce: colț, punct de întoarcere sau tangentă verticală. Fără ele, tabelul rămâne incomplet.

În ce ordine se calculează derivata întâi și derivata a doua?

Întâi $f^{'}$ , cu punctele critice și semnul ei, apoi $f^{''}$ , obținută prin derivarea formei simplificate a lui $f^{'}$ . Inversarea ordinii nu are sens, fiindcă a doua derivată se construiește din prima.

Oamenii mai întreabă și: schema de studiu al variației · pașii studiului unei funcții · studiul complet al unei funcții · cum fac un studiu de funcție · ordinea la studiul variației