Pasul al nouălea al schemei în nouă pași este:

trasarea propriu-zisă a graficului

La ce pas al schemei în nouă pași se așază asimptotele?

la pasul 1, alături de domeniu

la pasul 7, în tabelul de variație

la pasul 9, în timpul desenului

Funcția $$f(x) = \dfrac{x^3 - 9x}{x^2 + 4}$$ este:

impară, deci se studiază pe $$[0, +\infty)$$ și se simetrizează față de origine

pară, deci se simetrizează față de axa $$Oy$$

Câți pași are studiul complet al unei funcții?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Schema reprezentării grafice

Nouă. Primii opt vin din anul anterior: domeniul, continuitatea și derivabilitatea, limitele la capete, semnul primei derivate, semnul celei de-a doua, valorile din punctele însemnate, alcătuirea tabelului de variație și citirea lui. Al nouălea este desenul propriu-zis. Se adaugă la pasul întâi intersecțiile cu axele și verificarea simetriilor, iar la pasul al treilea asimptotele.

Studiul complet al unei funcții urmează schema în nouă pași: cei opt pași fixați la clasa a XI-a, cu două completări la pasul 1 și una la pasul 3, plus un pas nou. La pasul 1 se adaugă intersecțiile cu axele (pasul 1b: se rezolvă $f (x) = 0$ pentru $O x$ și se calculează $f (0)$ pentru $O y$ ) și paritatea sau periodicitatea (pasul 1c) — verificate înainte de a deriva, fiindcă la o funcție pară se studiază numai $[0, + \infty)$ și se simetrizează față de axa $O y$ , iar la una impară față de origine. La pasul 3, alături de limitele la capetele domeniului, se așază asimptotele: ele sunt numele acelor limite. Pașii 4–8 rămân neschimbați: $f^{'}$ cu puncte critice și semn, $f^{''}$ cu zerouri și semn, valorile în punctele marcate, tabelul de variație complet, citirea lui. Pasul 9 este trasarea propriu-zisă: asimptotele se desenează punctat înaintea curbei, se marchează punctele din tabel, iar arcele se unesc respectând săgețile și simbolurile $\cup$ și $\cap$ . Un grafic terminat trece patru controale: numărul ramurilor, punctele marcate, săgețile și curbura, apropierea de fiecare asimptotă.

De reținut

schema are nouă pași: intersecțiile și simetriile intră la pasul 1, asimptotele la pasul 3
paritatea se verifică înainte de a deriva
asimptotele se trasează punctat, înaintea curbei

Greșeala tipică

Se unește printr-o linie continuă graficul de o parte și de alta a unei asimptote verticale. Cele două ramuri nu se ating niciodată, iar unirea lor este greșeala cea mai vizibilă de pe o foaie de examen.

Exerciții din această mini-lecție

Pasul al nouălea al schemei în nouă pași este:
- a) alcătuirea tabelului de variație
- b) calculul derivatei a doua
- c) determinarea asimptotelor
- d) trasarea propriu-zisă a graficului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) trasarea propriu-zisă a graficului

Cei opt pași ai clasei a XI-a se opreau la citirea tabelului de variație; clasa a XII-a adaugă exact desenul. Pasul 9 este ultimul tocmai pentru că folosește tot ce s-a calculat înainte — un grafic făcut „din intuiție” și completat apoi cu calcule este cea mai sigură cale spre un desen care își contrazice propriul tabel.
La ce pas al schemei în nouă pași se așază asimptotele?
- a) la pasul 3, alături de limitele la capetele domeniului
- b) la pasul 1, alături de domeniu
- c) la pasul 7, în tabelul de variație
- d) la pasul 9, în timpul desenului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) la pasul 3, alături de limitele la capetele domeniului

Limitele la capetele domeniului se calculează oricum la pasul 3; asimptotele sunt numele geometrice ale acelor limite, deci se scriu chiar acolo. La pasul 9 asimptotele se desenează punctat, dar ele au fost deja determinate — desenul nu descoperă nimic nou.
Funcția $f (x) = \frac{x ^{3} - 9 x}{x ^{2} + 4}$ este:
- a) pară, deci se simetrizează față de axa $O y$
- b) nici pară, nici impară
- c) impară, deci se studiază pe $[0, + \infty)$ și se simetrizează față de origine
- d) periodică
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) impară, deci se studiază pe $[0, + \infty)$ și se simetrizează față de origine

Domeniul este $R$ , simetric față de origine, iar $f (- x) = \frac{- x ^{3} + 9 x}{x ^{2} + 4} = - f (x)$ , deci funcția este impară. Pasul 1c înjumătățește lucrul: se studiază pe $[0, + \infty)$ , iar restul graficului se obține prin simetrie față de origine. Verificarea se face înainte de derivare, altfel calculul se face de două ori degeaba.

Întrebări conexe

Ce se adaugă la pasul întâi al schemei de studiu?

Două lucruri. Intersecțiile cu axele, obținute rezolvând $f (x) = 0$ pentru axa absciselor și calculând $f (0)$ pentru cea a ordonatelor. Și paritatea sau periodicitatea, cercetate înainte de orice derivare, fiindcă pot înjumătăți munca rămasă.

În ce ordine se desenează asimptotele și curba?

Întâi asimptotele, trasate punctat, apoi punctele din tabel, apoi arcele care le unesc. Așezate din vreme, dreptele punctate țin curba pe traseul corect și fac imposibilă greșeala de a trece cu linia continuă peste o asimptotă verticală.

Ce patru controale trece un grafic terminat?

Numărul ramurilor, care trebuie să fie egal cu numărul intervalelor din domeniu; punctele marcate în tabel, care trebuie să apară pe desen; săgețile, care dau urcarea și coborârea; și apropierea de fiecare asimptotă din listă.

Ce se câștigă dacă funcția este pară?

Jumătate din lucru. Se studiază numai pe $[0, + \infty)$ , iar restul desenului se obține prin oglindire față de axa ordonatelor. La o funcție impară, oglindirea se face față de origine. Verificarea costă două rânduri și se face înainte de derivare.

Ce se scrie pe ultimul rând al tabelului de variație?

Valorile funcției, cu săgeți între ele care arată dacă urcă sau coboară, plus limitele de la capetele domeniului. În dreptul punctelor în care funcția nu este definită se pune o bară verticală dublă, nu o valoare.

Ce spun săgeata și simbolul de convexitate la trasare?

Săgeata arată încotro merge curba, urcând sau coborând, iar simbolul de convexitate arată cum se curbează arcul între două puncte marcate. Amândouă se citesc din tabel, iar respectarea lor deosebește un grafic corect de unul doar aproximativ.

Oamenii mai întreabă și: pașii reprezentării grafice · studiul complet al unei funcții · tabel de variație și grafic · cum trasez graficul unei funcții · schema în nouă pași