Pe intervalul $$(0, +\infty)$$, $$\displaystyle\int \frac{6x^{2}}{x^{3} + 8}\,dx$$ este egală cu:

$$2\ln\left\lvert x^{3} + 8 \right\rvert + \mathcal{C}$$

$$6\ln\left\lvert x^{3} + 8 \right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{2x^{3}}{x^{3} + 8} + \mathcal{C}$$

$$\ln\left\lvert x^{3} + 8 \right\rvert + \mathcal{C}$$

Care afirmație despre $$\displaystyle\int e^{x^{2}}\,dx$$ este corectă?

schimbarea de variabilă nu se aplică, pentru că lipsește factorul $$2x$$, iar el nu este constant

este egală cu $$e^{x^{2}} + \mathcal{C}$$

este egală cu $$2xe^{x^{2}} + \mathcal{C}$$

este egală cu $$\dfrac{e^{x^{2}}}{2x} + \mathcal{C}$$

După ce ai calculat $$\displaystyle\int f\big(u(x)\big)u'(x)\,dx$$ și ai obținut $$F(t)$$ cu $$t = u(x)$$, mai trebuie:

înlocuit $$t$$ cu $$u(x)$$, ca să obții o funcție de $$x$$

schimbat și constanta $$\mathcal{C}$$

nimic: rezultatul poate rămâne scris în $$t$$

derivat rezultatul, ca să revii la $$x$$

Cum se face schimbarea de variabilă?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Schimbarea de variabilă

Cauți în integrand tiparul $f (u (x)) u^{'} (x)$ : o funcție uzuală aplicată unei expresii, înmulțită cu derivata acelei expresii. Atunci $\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$ , unde $F$ este o primitivă a lui $f$ . De exemplu, $\int 3 x^{2} cos x^{3} d x = sin x^{3} + C$ . La primitive, întoarcerea la variabila $x$ este obligatorie, iar rezultatul se scrie pe un interval.

Formula schimbării de variabilă este $\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$ , unde $F$ este o primitivă a lui $f$ , iar $u$ este derivabilă pe intervalul $I$ și ia valori în intervalul $J$ pe care lucrează $f$ . Demonstrația are un singur pas esențial: $(F \circ u)^{'} = (F^{'} \circ u) \cdot u^{'} = f (u (x)) u^{'} (x)$ — regula de derivare a funcțiilor compuse, citită de la dreapta la stânga.

Cei trei pași: identifici $u$ și $u^{'}$ în integrand; calculezi o primitivă $F$ a funcției din exterior; revii la $x$ , înlocuind $t$ cu $u (x)$ . Notația de lucru $t = u (x)$ , $d t = u^{'} (x) d x$ este permisă în rezolvări, dar revenirea la variabila $x$ este obligatorie: un răspuns care mai conține litera $t$ , absentă din enunț, nu este un răspuns.

Tiparul cerut este $f (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ , cu $u^{'}$ prezent ca factor. Dacă lipsește doar o constantă, ea se fabrică prin liniaritate; dacă lipsește o funcție, metoda nu se aplică: din $\int e^{x^{2}} d x$ nu se obține $\frac{e ^{x^{2}}}{2 x}$ , pentru că numai constantele ies din integrală. Rezultatul se scrie pe fiecare interval separat și se verifică întotdeauna prin derivare.

De reținut

$\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$
$t = u (x)$ , $d t = u^{'} (x) d x$
din integrală ies doar constantele, nu funcțiile

Greșeala tipică

Rezultatul rămâne scris în $t$ . Litera $t$ nu apare în enunț, deci răspunsul nu este complet: după calcul se înlocuiește $t$ cu expresia $u (x)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe intervalul $(0, + \infty)$ , $\int \frac{6 x ^{2}}{x ^{3} + 8} d x$ este egală cu:
- a) $6 ln x^{3} + 8 + C$
- b) $\frac{2 x ^{3}}{x ^{3} + 8} + C$
- c) $ln x^{3} + 8 + C$
- d) $2 ln x^{3} + 8 + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2 ln x^{3} + 8 + C$

Cu $u (x) = x^{3} + 8$ avem $u^{'} (x) = 3 x^{2}$ , iar $6 x^{2} = 2 u^{'} (x)$ , deci integrala este $2 \int \frac{u ^{'}}{u} d x = 2 ln ∣ u ∣ + C$ . Verificare: $(2 ln ∣ x^{3} + 8 ∣)^{'} = \frac{6 x ^{2}}{x ^{3} + 8}$ .
Care afirmație despre $\int e^{x^{2}} d x$ este corectă?
- a) schimbarea de variabilă nu se aplică, pentru că lipsește factorul $2 x$ , iar el nu este constant
- b) este egală cu $e^{x^{2}} + C$
- c) este egală cu $2 x e^{x^{2}} + C$
- d) este egală cu $\frac{e ^{x^{2}}}{2 x} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) schimbarea de variabilă nu se aplică, pentru că lipsește factorul $2 x$ , iar el nu este constant

Tiparul $f (u (x)) u^{'} (x)$ cere factorul $u^{'} (x) = 2 x$ în integrand. O constantă lipsă se fabrică prin liniaritate, o funcție lipsă nu: $\frac{1}{2 x}$ nu poate fi scos din integrală. Controlul: $(\frac{e ^{x^{2}}}{2 x})^{'} \neq = e^{x^{2}}$ , pentru că apare și derivata numitorului.
După ce ai calculat $\int f (u (x)) u^{'} (x) d x$ și ai obținut $F (t)$ cu $t = u (x)$ , mai trebuie:
- a) schimbat și constanta $C$
- b) nimic: rezultatul poate rămâne scris în $t$
- c) înlocuit $t$ cu $u (x)$ , ca să obții o funcție de $x$
- d) derivat rezultatul, ca să revii la $x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) înlocuit $t$ cu $u (x)$ , ca să obții o funcție de $x$

Litera $t$ este doar o variabilă de lucru, absentă din enunț: la integrala nedefinită revenirea la $x$ este obligatorie, iar formula finală este $F (u (x)) + C$ . (Abia la integrala definită revenirea dispare, fiind înlocuită de schimbarea limitelor.)

Întrebări conexe

Ce condiții cere funcția din interior la schimbarea de variabilă?

Funcția $u$ trebuie să fie derivabilă pe intervalul $I$ pe care lucrezi și să ia valori într-un interval $J$ pe care $f$ are primitive. Fără cele două intervale, compunerea $F \circ u$ nu ar avea sens și egalitatea nu s-ar putea obține prin derivare.

Cât este integrala din 2x ori e la x pătrat?

Aici $u (x) = x^{2}$ , iar $u^{'} (x) = 2 x$ este chiar factorul din față, deci $\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C$ . Derivând rezultatul obții $2 x e^{x^{2}}$ , adică exact integrandul de la care ai pornit. Dacă în față ar sta $x$ în loc de $2 x$ , constanta lipsă s-ar fabrica prin liniaritate.

De ce nu merge metoda la integrala din e la x pătrat?

Fiindcă lipsește factorul $2 x$ , iar el nu se poate fabrica: din integrală ies numai constantele, nu și funcțiile. Scrierea $\frac{e ^{x^{2}}}{2 x}$ este falsă, cum se vede derivând-o. Primitiva există totuși, dar nu se exprimă cu funcțiile din tabel.

Cât este integrala din sinus de x ori cosinus de x?

Cu $u (x) = sin x$ apare $u^{'} (x) = cos x$ , deci $\int sin x cos x d x = \frac{sin ^{2} x}{2} + C$ . Alegând $u (x) = cos x$ iese $- \frac{cos ^{2} x}{2} + C$ : cele două răspunsuri diferă printr-o constantă, deci sunt amândouă bune, fiindcă $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , iar o constantă nu schimbă familia primitivelor.

Cine este funcția F din formula schimbării de variabilă?

Este o primitivă a funcției din exterior, adică a lui $f$ , luată pe intervalul $J$ în care $u$ ia valori. Se calculează separat, ca și cum variabila ar fi $t$ , iar la sfârșit se înlocuiește $t$ cu expresia $u (x)$ .

Oamenii mai întreabă și: schimbarea de variabilă la primitive · metoda substituției integrale · formula substituției · cum fac o substituție la integrale · integrare prin substituție