Prin substituția $$t = x^{2}+3$$, integrala $$\displaystyle\int_1^3 2x\left(x^{2}+3\right)^{4}dx$$ devine:

$$\displaystyle\int_4^{12} t^{4}\,dt$$

$$\displaystyle\int_1^3 t^{4}\,dt$$

$$\displaystyle\int_4^{12} 2t^{4}\,dt$$

$$\displaystyle\int_{12}^{4} t^{4}\,dt$$

Se schimbă limitele la substituție?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Schimbarea de variabilă la integrala definită

Da, la integrala definită capetele se schimbă odată cu variabila: $\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t$ . Noile capete se scriu explicit, iar la litera din enunț nu se mai revine, fiindcă rezultatul este un număr. Astfel, $\int_{0}^{1} 2 x 1 + x^{2} d x = \int_{1}^{2} t d t = \frac{2 ( 2 2 - 1 )}{3}$ . Aceasta este deosebirea de fond față de integrala nedefinită, unde întoarcerea la litera din enunț rămâne obligatorie.

Pentru $f$ continuă și $u$ derivabilă cu derivată continuă, formula este $\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t$ . Deosebirea față de integrala nedefinită este esențială: limitele se schimbă în $u (a)$ și $u (b)$ , iar la variabila inițială nu se mai revine, pentru că rezultatul este un număr.

Cei trei pași ai schimbării de variabilă la integrala definită: Pasul 1 — notezi $t = u (x)$ și $d t = u^{'} (x) d x$ ; Pasul 2 — calculezi noile limite, scriindu-le explicit; Pasul 3 — calculezi integrala în noua variabilă, fără revenire la $x$ . Cele două metode nu se amestecă: ori schimbi limitele și rămâi în $t$ , ori revii la $x$ și păstrezi limitele inițiale.

Tiparul care declanșează metoda este $f (u (x)) u^{'} (x)$ : caută derivata interiorului. Dacă $u (a) > u (b)$ , integrala rămâne așa cum este — inversarea capetelor cere schimbarea semnului.

La substituția inversă $x = φ (t)$ monotonia lui $φ$ este esențială, atât pentru capete, cât și pentru semnul expresiilor de sub radical: $a^{2} cos^{2} t = a ∣ cos t ∣$ , iar egalitatea cu $a cos t$ se sprijină pe alegerea intervalului, care trebuie scrisă. Astfel, cu $x = a sin t$ și $t \in [0, \frac{π}{2}]$ , se obține $\int_{0}^{a} a^{2} - x^{2} d x = \frac{π a ^{2}}{4}$ .

De reținut

$\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t$
capetele se schimbă, revenirea nu se mai face
$a^{2} cos^{2} t = a ∣ cos t ∣$

Greșeala tipică

Se schimbă variabila, dar se păstrează capetele vechi. Numărul obținut nu are legătură cu integrala cerută; capetele se recalculează în același rând în care se schimbă litera.

Exerciții din această mini-lecție

Prin substituția $t = x^{2} + 3$ , integrala $\int_{1}^{3} 2 x (x^{2} + 3)^{4} d x$ devine:
- a) $\int_{1}^{3} t^{4} d t$
- b) $\int_{4}^{12} t^{4} d t$
- c) $\int_{4}^{12} 2 t^{4} d t$
- d) $\int_{12}^{4} t^{4} d t$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\int_{4}^{12} t^{4} d t$

Avem $d t = 2 x d x$ , iar limitele devin $u (1) = 4$ și $u (3) = 12$ . Varianta a) este greșeala care nu lasă urme: calculul arată impecabil, dar limitele au rămas cele vechi. Varianta d) inversează capetele fără să schimbe semnul.
$\int_{0}^{1} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ este egală cu:
- a) $\frac{ln 2}{2}$
- b) $ln 2$
- c) $\frac{π}{4}$
- d) $2 ln 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{ln 2}{2}$

Cu $t = x^{2} + 1$ și $d t = 2 x d x$ , integrala devine $\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{d t}{t} = \frac{ln 2}{2} \approx 0, 347$ . Varianta $\frac{π}{4}$ este rezultatul integralei surori $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} + 1}$ : numărătorul decide metoda.
La schimbarea de variabilă în integrala definită:
- a) se revine la variabila $x$ la final, păstrând noile limite
- b) se schimbă limitele și se revine la $x$
- c) se schimbă limitele și nu se mai revine la $x$
- d) limitele rămân neschimbate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) se schimbă limitele și nu se mai revine la $x$

Rezultatul unei integrale definite este un număr, deci variabila nu mai contează: se calculează direct între noile limite $u (a)$ și $u (b)$ . Amestecul dintre cele două variante — limite noi și revenire la $x$ — este greșeala care produce numere false fără niciun semnal.

Întrebări conexe

Ce ipoteze cer f și u la schimbarea de variabilă în integrala definită?

Funcția din exterior trebuie să fie continuă pe intervalul în care ia valori cea dinăuntru, iar aceasta din urmă derivabilă, cu derivată continuă. Ipotezele se scriu într-un rând înaintea calculului; ele fac ca amândouă integralele din egalitate să aibă sens.

Cât este integrala de la 0 la 1 din 2x ori radical din 1 plus x pătrat?

Cu $t = 1 + x^{2}$ capetele devin $1$ și $2$ , iar integrala se scrie $\int_{1}^{2} t d t = \frac{2 t t}{3}_{1}^{2}$ , adică $\frac{2 ( 2 2 - 1 )}{3}$ . Nu se mai revine la litera din enunț, fiindcă răspunsul este deja un număr.

De ce apare modulul la radical din a pătrat ori cosinus la pătrat de t?

Fiindcă radicalul unui pătrat este modulul, deci iese $a ∣ cos t ∣$ . Ca să scapi de bare trebuie să spui pe ce interval se mișcă noua variabilă și că acolo cosinusul rămâne pozitiv. Propoziția aceasta se scrie, altfel egalitatea nu este justificată.

Se pot amesteca limitele schimbate cu revenirea la variabila x?

Nu. Ori schimbi capetele și rămâi în noua variabilă, ori păstrezi capetele inițiale și te întorci la litera din enunț după ce ai găsit primitiva. Amestecul celor două căi dă un număr fără nicio legătură cu integrala cerută.

Ce se scrie în rezolvare când se alege intervalul pentru t?

Se scrie explicit mulțimea în care se mișcă noua variabilă și motivul alegerii: acolo funcția folosită este monotonă, iar expresiile de sub radical își păstrează semnul. Fără acest rând, scoaterea barelor de modul rămâne nejustificată.

Oamenii mai întreabă și: schimbarea de variabilă la integrala definită · se schimbă limitele de integrare · substituție cu capete noi · substituția inversă · integrala din radical din a pătrat minus x pătrat