Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \sin(4x + 1)\,dx$$ este egală cu:

$$-\dfrac{\cos(4x+1)}{4} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\cos(4x+1)}{4} + \mathcal{C}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int (5x + 3)^{6}\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{(5x+3)^{7}}{35} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{6(5x+3)^{5}}{5} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{(5x+3)^{7}}{7} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{(5x+3)^{7}}{5} + \mathcal{C}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \cos^{4}x\sin x\,dx$$ este egală cu:

$$-\dfrac{\cos^{5}x}{5} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\cos^{5}x\sin^{2}x}{10} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\cos^{5}x}{5} + \mathcal{C}$$

$$-\dfrac{\sin^{5}x}{5} + \mathcal{C}$$

Ce substituție aleg la o integrală?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Substituțiile tipice

Te uiți ce a rămas liber lângă expresia dinăuntru: un $x$ liber cere $u = x^{2} + a$ , un $cos x$ liber cere $u = sin x$ , un $\frac{1}{x}$ liber cere $u = ln x$ , un $e^{x}$ liber cere $u = e^{x}$ , iar o expresie de gradul întâi înăuntru cere $u = a x + b$ . Alegerea se verifică prin raportul dintre ce a rămas și $u^{'}$ : trebuie să iasă un număr.

Tiparul căutat este $f (u (x)) u^{'} (x)$ : o funcție uzuală aplicată unei expresii, înmulțită cu derivata acelei expresii, eventual cu o constantă în plus. Tabelul primitivelor compuse nu conține formule noi — este tabelul canonic scris cu $u$ în loc de $x$ și înmulțit cu $u^{'}$ — iar cele mai folosite rânduri sunt $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$ și $\int u^{n} u^{'} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .

Pentru o expresie de gradul întâi înăuntru există scurtătura $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ : integrezi ca și cum ar fi $x$ , apoi împarți la $a$ . Uitarea acestei împărțiri este greșeala numărul unu a lecției.

Cele șase substituții tipice se recunosc după un semnal precis: grad întâi înăuntru ( $u = a x + b$ ), un $x$ liber ( $u = x^{2} + a$ ), un $cos x$ sau un $sin x$ liber ( $u = sin x$ , respectiv $u = cos x$ — aici apare factorul $- 1$ ), un $\frac{1}{x}$ liber ( $u = ln x$ ), un $e^{x}$ liber ( $u = e^{x}$ ), un radical dintr-o expresie de gradul întâi ( $u = \dots$ , cu exprimarea lui $x$ prin $u$ ). Testul raportului verifică alegerea: $λ = \frac{g ( x )}{u ^{'} ( x )}$ trebuie să iasă constant. Rezultatul se scrie mereu împreună cu intervalul pe care are sens.

De reținut

$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$
$\int u^{n} u^{'} d x = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$
testul: $λ = \frac{g}{u ^{'}}$ constant

Greșeala tipică

Se uită împărțirea la $a$ atunci când înăuntru stă o expresie de gradul întâi. Din $\int cos 5 x d x$ iese $\frac{sin 5 x}{5} + C$ , nu $sin 5 x + C$ , fiindcă derivarea interiorului scoate un $5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ , $\int sin (4 x + 1) d x$ este egală cu:
- a) $- cos (4 x + 1) + C$
- b) $- \frac{cos ( 4 x + 1 )}{4} + C$
- c) $\frac{cos ( 4 x + 1 )}{4} + C$
- d) $- 4 cos (4 x + 1) + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{cos ( 4 x + 1 )}{4} + C$

Scurtătura $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ cu $a = 4$ : primitiva sinusului este $- cos$ , apoi se împarte la $4$ . Controlul: derivând $- \frac{cos ( 4 x + 1 )}{4}$ apare factorul $4$ din derivata interiorului, care se simplifică exact cu numitorul.
Pe $R$ , $\int (5 x + 3)^{6} d x$ este egală cu:
- a) $\frac{6 ( 5 x + 3 ) ^{5}}{5} + C$
- b) $\frac{( 5 x + 3 ) ^{7}}{7} + C$
- c) $\frac{( 5 x + 3 ) ^{7}}{5} + C$
- d) $\frac{( 5 x + 3 ) ^{7}}{35} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{( 5 x + 3 ) ^{7}}{35} + C$

Se ridică exponentul cu o unitate, se împarte la noul exponent ( $7$ ) și la coeficientul interiorului ( $5$ ), deci numitorul este $35$ . Varianta cu exponentul $5$ derivează în loc să integreze; variantele cu numitorii $7$ și $5$ păstrează doar una dintre cele două împărțiri.
Pe $R$ , $\int cos^{4} x sin x d x$ este egală cu:
- a) $\frac{cos ^{5} x sin ^{2} x}{10} + C$
- b) $\frac{cos ^{5} x}{5} + C$
- c) $- \frac{cos ^{5} x}{5} + C$
- d) $- \frac{sin ^{5} x}{5} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{cos ^{5} x}{5} + C$

Sinusul liber cere substituția $u = cos x$ , cu $u^{'} (x) = - sin x$ : integrandul este $- u^{4} u^{'}$ , deci rezultatul este $- \frac{cos ^{5} x}{5} + C$ . Semnul minus vine din derivata cosinusului și este exact ce se pierde cel mai des.

Întrebări conexe

Ce este testul raportului la alegerea substituției?

Calculezi $λ = \frac{g ( x )}{u ^{'} ( x )}$ , unde $g$ este ce a rămas în afara funcției compuse. Dacă $λ$ este un număr, substituția merge și acel număr iese în față; dacă raportul mai conține litera $x$ , alegerea nu este bună.

Ce înseamnă că raportul lambda nu iese constant?

Înseamnă că din integrand lipsește o funcție, nu doar un factor numeric. Metoda nu se aplică așa: ori alegi altă expresie pentru $u$ , ori treci la altă cale, de pildă la integrarea prin părți sau la o prelucrare algebrică făcută înainte.

De ce apare factorul minus 1 la substituția u egal cosinus de x?

Pentru că $u^{'} (x) = - sin x$ , iar în integrand stă $sin x$ . Ca să apară derivata întreagă se scoate un minus în față: $\int sin x cos^{3} x d x = - \frac{cos ^{4} x}{4} + C$ , rezultat care se controlează prin derivare.

Ce substituție cere un x liber lângă o expresie de gradul al doilea?

Se ia chiar acea expresie, $u = x^{2} + a$ , fiindcă $u^{'} (x) = 2 x$ , iar $x$ este jumătate din ea. Constanta lipsă se fabrică prin liniaritate: $\int \frac{x d x}{x ^{2} + 9} = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$ , fără modul, numitorul fiind pozitiv.

Cum scriu intervalul după o substituție cu radical?

Îl citești din condiția de existență a expresiei inițiale, nu din noua variabilă. La $2 x - 1$ se cere $x > \frac{1}{2}$ , deci rezultatul se scrie pe $(\frac{1}{2}, + \infty)$ , chiar dacă în variabila $t$ calculul pare valabil peste tot.

Oamenii mai întreabă și: substituții tipice la integrale · ce substituție folosesc · tabelul primitivelor compuse · recunoașterea derivatei în integrand · substituția potrivită la primitive