Ce semn are numărul $$\sin 4$$ (argumentul fiind în radiani)?

Nu se poate stabili fără calculator

Ce semn are sinusul în fiecare cadran?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Semnul sin, cos, tg pe cadrane

Sinusul este ordonata punctului de pe cerc, deci este pozitiv în cadranele I și II, unde punctul stă deasupra axei orizontale, și negativ în III și IV. Cosinusul, fiind abscisa, este pozitiv în I și IV. Tangenta, ca raport, iese pozitivă în I și III. Când știi doar un semn, îți rămân întotdeauna două cadrane de ales.

Pe cercul trigonometric, $cos x$ este abscisa, iar $sin x$ este ordonata punctului $M (x)$ , așa că semnul fiecărei funcții se citește direct din regiunea planului în care se află punctul. Cadranul I ( $x \in (0, π /2)$ ) are ambele coordonate pozitive; cadranul II ( $(π /2, π)$ ) are ordonata pozitivă și abscisa negativă; cadranul III ( $(π, 3 π /2)$ ) le are pe amândouă negative; cadranul IV ( $(3 π /2, 2 π)$ ) are abscisa pozitivă și ordonata negativă. Cum $tg x = sin x / cos x$ , semnul ei rezultă din regula semnelor la împărțire: tabelul complet este $sin x$ : $+, +, -, -$ ; $cos x$ : $+, -, -, +$ ; $tg x$ : $+, -, +, -$ , pentru cadranele I, II, III, IV. Rezumat pe litere: „Toate” pozitive în I, doar „Sinusul” în II, doar „Tangenta” în III, doar „Cosinusul” în IV. O singură condiție de semn lasă mereu două cadrane posibile; două condiții independente se intersectează într-un singur cadran. Pentru numere reale oarecare, precum $sin 4$ sau $cos 2$ , se compară argumentul (în radiani) cu bornele $π /2 \approx 1, 57$ , $π \approx 3, 14$ , $3 π /2 \approx 4, 71$ , $2 π \approx 6, 28$ : astfel, $4$ e în cadranul III, deci $sin 4 < 0$ .

De reținut

sinus pozitiv în cadranele I și II
cosinus pozitiv în cadranele I și IV
tangentă pozitivă în cadranele I și III
o singură condiție de semn lasă două cadrane

Greșeala tipică

Se decide cadranul după un singur semn, deși acesta lasă întotdeauna două posibilități; mai ai nevoie de o a doua informație, de obicei semnul celeilalte funcții.

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că $sin x > 0$ și $cos x < 0$ . În ce cadran se află punctul asociat lui $x$ ?
- a) Cadranul I
- b) Cadranul II
- c) Cadranul III
- d) Cadranul IV
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Cadranul II

$sin x > 0 \Rightarrow$ cadranul I sau II; $cos x < 0 \Rightarrow$ cadranul II sau III. Intersecția celor două mulțimi este cadranul II.
Ce semn are $tg x$ pentru $x$ în cadranul III?
- a) Pozitiv
- b) Negativ
- c) Zero
- d) Nedefinit
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Pozitiv

În cadranul III, $sin x < 0$ și $cos x < 0$ . Raportul a două numere negative este pozitiv, deci $tg x > 0$ (de exemplu, pentru $x = 4$ : $sin 4 \approx - 0, 757$ , $cos 4 \approx - 0, 654$ , iar raportul lor este pozitiv, $\approx 1, 158$ ).
Ce semn are numărul $sin 4$ (argumentul fiind în radiani)?
- a) Pozitiv
- b) Negativ
- c) Zero
- d) Nu se poate stabili fără calculator
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Negativ

Cum $π \approx 3, 14 < 4 < 4, 71 \approx \frac{3 π}{2}$ , numărul $4$ este în cadranul III, unde sinusul (ordonata) este negativ: $sin 4 < 0$ .

Întrebări conexe

Ce semn are produsul dintre sinus și cosinus în cadranul al treilea?

Iese pozitiv, fiindcă acolo amândouă sunt negative, iar produsul a două numere negative este pozitiv. În cadranul I produsul este tot pozitiv, iar în cadranele II și IV el iese negativ, fiindcă cele două funcții au semne diferite.

Ce semn are cotangenta pe fiecare cadran?

Aceleași semne ca tangenta, fiindcă este inversul ei: pozitivă în cadranele I și III, negativă în II și IV. Explicația este aceeași regulă a semnelor la împărțire, doar că numărătorul și numitorul își schimbă locurile.

În ce cadran se află un unghi de 200 de grade?

În al treilea, fiindcă se află între $18 0^{\circ}$ și $27 0^{\circ}$ . Acolo sinusul și cosinusul sunt amândouă negative, iar tangenta pozitivă. Pentru unghiuri date în radiani, compari numărul cu aproximările $1, 57$ , $3, 14$ și $4, 71$ .

Cum folosesc semnele ca să aleg varianta corectă la o grilă?

Stabilești mai întâi cadranul din enunț, apoi elimini toate variantele cu semn greșit. De multe ori rămâne o singură posibilitate, fără să mai faci calculul complet. Metoda economisește timp la subiectele cu răspunsuri date.

Ce semn are sinusul unui unghi între 180 și 270 de grade?

Este negativ, fiindcă punctul asociat se află sub axa orizontală, în al treilea cadran. Cosinusul este tot negativ acolo, iar tangenta, ca raport a două numere negative, iese pozitivă. La capetele intervalului, sinusul trece prin zero și prin minus unu.

Oamenii mai întreabă și: semnul sinusului pe cadrane · cadranele trigonometrice și semnele · unde este pozitiv sinusul · tabelul semnelor sin cos tg