Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane

Un scaun de roată panoramică urcă și coboară în timp ce roata se rotește. Dacă pui originea unui sistem de axe exact în centrul roții, poziția scaunului la orice moment este dată de două numere: cât de sus se află față de centru și cât de departe e la stânga sau la dreapta centrului. Primul număr este sinusul unghiului parcurs, al doilea este cosinusul lui. Amândouă își schimbă semnul pe parcursul unei rotații complete: în partea de sus a roții ordonata e pozitivă, în partea de jos e negativă; în dreapta abscisa e pozitivă, în stânga e negativă.

De aici vine o observație care pare banală, dar care îți va salva zeci de exerciții: semnul unei funcții trigonometrice nu se memorează, se citește de pe desen. Dacă știi unde se află punctul pe cerc, știi imediat ce semn are sinusul, cosinusul și tangenta acelui unghi — fără niciun calcul. Iar invers, dacă îți spune cineva că $\sin x<0$ și $\cos x>0$, poți spune pe loc în ce sfert de cerc stă punctul. În lecția aceasta transformăm observația într-o unealtă precisă: tabelul semnelor pe cele patru cadrane și rutina de folosire a lui în ambele sensuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici cadranul în care se află punctul asociat unei măsuri date în grade sau în radiani.
• Vei ști să deduci semnul sinusului și al cosinusului direct din coordonatele punctului de pe cercul trigonometric, fără să memorezi nimic.
• Vei ști să stabilești semnul tangentei ca semn al unui raport, folosind regula semnelor de la împărțire.
• Vei ști să reconstitui din memorie tabelul semnelor pe cele patru cadrane și să-l verifici într-o secundă cu un unghi de control.
• Vei ști să rezolvi problema inversă: din semnele a două funcții trigonometrice, să determini cadranul.
• Vei ști să stabilești semnul unor numere ca $\sin 4$ sau $\cos 2$, unde argumentul e un număr real oarecare, nu un unghi „frumos".

Hai să descoperim împreună

1. Reamintire: cine sunt sinusul și cosinusul pe cerc

Lucrăm pe cercul trigonometric — cercul cu centrul în originea $O$ a unui reper cartezian și cu raza $1$. Fiecărui număr real $x$ îi asociem un punct $M(x)$ pe cerc: pornim din punctul $A(1,0)$ și parcurgem pe cerc un arc de lungime $|x|$, în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic) dacă $x>0$ și în sens invers dacă $x<0$. Construcția completă a acestei asocieri este în lecția despre cercul trigonometric și punctele asociate.

Definițiile pe care ne sprijinim aici, introduse în lecția despre sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric, sunt de o simplitate care merită repetată cu voce tare:

$$\cos x=\text{abscisa punctului }M(x),\sin x=\text{ordonata punctului }M(x).$$

Altfel spus, $M(x)$ are coordonatele $(\cos x,\sin x)$. Cosinusul e cât mergi orizontal, sinusul e cât mergi vertical. Nu există nicio altă informație în aceste două funcții: ele sunt pur și simplu cele două coordonate ale unui punct care se plimbă pe cerc.

Consecința imediată, și inima întregii lecții: semnul lui $\sin x$ este semnul ordonatei, iar semnul lui $\cos x$ este semnul abscisei. Iar semnul unei coordonate depinde doar de regiunea planului în care se află punctul.

2. Cele patru cadrane și granițele dintre ele

Cele două axe împart planul — și, odată cu el, cercul — în patru sferturi numite cadrane, numerotate cu cifre romane în sens trigonometric, pornind din dreapta-sus:

• Cadranul I: abscisa $>0$, ordonata $>0$ (dreapta-sus). Îi corespund numerele $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, adică unghiurile din $(0^{\circ },90^{\circ })$.
• Cadranul II: abscisa $<0$, ordonata $>0$ (stânga-sus). $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, adică $(90^{\circ },180^{\circ })$.
• Cadranul III: abscisa $<0$, ordonata $<0$ (stânga-jos). $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$, adică $(180^{\circ },270^{\circ })$.
• Cadranul IV: abscisa $>0$, ordonata $<0$ (dreapta-jos). $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$, adică $(270^{\circ },360^{\circ })$.

Observă că intervalele sunt deschise. Punctele care cad exact pe axe — cele asociate numerelor $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$ — nu aparțin niciunui cadran. Acolo una dintre coordonate este zero, deci una dintre funcții se anulează, iar întrebarea „ce semn are?" nu mai are răspuns pozitiv sau negativ. Sunt exact cele patru puncte de graniță: $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$, $(0,-1)$.

Traducerea grade $\leftrightarrow$ radiani, cu care vei lucra permanent, e cea din lecția despre măsura arcului în grade și radiani. Reperele de care ai nevoie aici, în valori aproximative, merită ținute minte ca niște borne pe un drum:

$$\frac{\pi }{2}\approx 1,57,\pi \approx 3,14,\frac{3\pi }{2}\approx 4,71,2\pi \approx 6,28.$$

3. Semnul sinusului: partea de sus contra partea de jos

Sinusul este ordonata, iar ordonata unui punct este pozitivă deasupra axei $Ox$ și negativă dedesubtul ei. Axa $Ox$ taie cercul în două semicercuri, așa că regula e cât se poate de simplă:

$$\sin x>0\text{ pentru }x\in (0,\pi )(\text{cadranele I și II}),\sin x<0\text{ pentru }x\in (\pi ,2\pi )(\text{cadranele III și IV}).$$

Un singur „prag" desparte cele două situații: valoarea $\pi$ (adică $180^{\circ }$), unde $\sin \pi =0$. Iar dacă vrei o verificare rapidă, alege câte un unghi de control din fiecare semicerc: $\sin 90^{\circ }=1>0$ (sus), $\sin 270^{\circ }=-1<0$ (jos). Extremele înseși îți spun unde e „plusul".

4. Semnul cosinusului: partea dreaptă contra partea stângă

Cosinusul este abscisa, iar abscisa e pozitivă la dreapta axei $Oy$ și negativă la stânga ei. De data aceasta axa care desparte este $Oy$, deci împărțirea nu mai e sus–jos, ci stânga–dreapta:

$$\cos x>0\text{ pentru }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)(\text{cadranele I și IV}),\cos x<0\text{ pentru }x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)(\text{cadranele II și III}).$$

Aici sunt două praguri: $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$, adică $90^{\circ }$ și $270^{\circ }$, unde cosinusul se anulează. Zona negativă a cosinusului e „la mijloc" (cadranele II și III sunt vecine), în timp ce zona pozitivă e ruptă în două bucăți dacă privești intervalul $(0,2\pi )$ ca pe o linie dreaptă — dar pe cerc, cadranele I și IV sunt și ele vecine, lipite de-a lungul axei $Ox$. Este exact genul de amănunt care se vede instantaneu pe desen și se încurcă ușor în minte, motiv suplimentar să faci mereu schița.

Unghiuri de control: $\cos 0^{\circ }=1>0$ (dreapta), $\cos 180^{\circ }=-1<0$ (stânga).

5. Semnul tangentei: regula semnelor la împărțire

Tangenta se definește ca raport, așa cum ai văzut în lecția despre funcția tangentă și domeniul ei:

$$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},\text{definita˘ numai pentru }\cos x\ne 0.$$

Nu mai avem nevoie de nicio idee nouă: semnul unui raport se obține din semnele termenilor cu banala regulă „plus la plus dă plus, plus la minus dă minus, minus la minus dă plus". Rezultatul:

• Cadranul I: $\sin >0$, $\cos >0$ $\Rightarrow$ $\mathrm{tg}>0$.
• Cadranul II: $\sin >0$, $\cos <0$ $\Rightarrow$ $\mathrm{tg}<0$.
• Cadranul III: $\sin <0$, $\cos <0$ $\Rightarrow$ $\mathrm{tg}>0$ (două minusuri).
• Cadranul IV: $\sin <0$, $\cos >0$ $\Rightarrow$ $\mathrm{tg}<0$.

Deci tangenta este pozitivă în cadranele I și III (cele „diagonal opuse", unde cele două coordonate au același semn) și negativă în cadranele II și IV. În punctele $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ cosinusul se anulează, deci tangenta nu este definită — nu are semn, pur și simplu nu există. Iar în $0$, $\pi$ și $2\pi$ se anulează sinusul, deci $\mathrm{tg}0=\mathrm{tg}\pi =\mathrm{tg}2\pi =0$.

6. Tabelul semnelor, dintr-o privire

Punem totul într-un singur tabel, pe care merită să-l reconstruiești singur de câteva ori până îl scrii fără să te uiți:

Citit pe coloane, tabelul spune ceva ușor de reținut: în cadranul I sunt pozitive toate; în cadranul II, doar sinusul; în cadranul III, doar tangenta; în cadranul IV, doar cosinusul. Inițialele, parcurse în sens trigonometric, dau șirul T–S–T–C („Toate – Sinusul – Tangenta – Cosinusul"), pe care mulți elevi îl memorează ca pe o formulă magică.

Sfatul meu e altul: nu-ți încrede memoria într-un șir de litere, ci într-un desen de trei secunde. Trasează două axe, pune un punct în cadranul care te interesează și întreabă-te „la dreapta sau la stânga? sus sau jos?". Litera magică se uită înaintea tezei; desenul nu.

7. Problema inversă: din semne, cadranul

Foarte des exercițiul îți dă semnele și îți cere cadranul. Cheia: fiecare cadran are o combinație unică de semne pentru $\sin$ și $\cos$. Uită-te la primele două rânduri ale tabelului — perechile $(+,+)$, $(+,-)$, $(-,-)$, $(-,+)$ sunt toate distincte. Prin urmare, două informații de semn determină întotdeauna cadranul, iar una singură lasă două posibilități.

Exemple de raționament, formulate exact cum le vei scrie pe teză:

• $\sin x>0$ și $\cos x<0$: sinusul pozitiv $\Rightarrow$ cadranul I sau II; cosinusul negativ $\Rightarrow$ cadranul II sau III. Intersecția: cadranul II.
• $\sin x<0$ și $\mathrm{tg}x>0$: sinusul negativ $\Rightarrow$ III sau IV; tangenta pozitivă $\Rightarrow$ I sau III. Intersecția: cadranul III.
• $\cos x>0$ și $\mathrm{tg}x<0$: cosinusul pozitiv $\Rightarrow$ I sau IV; tangenta negativă $\Rightarrow$ II sau IV. Intersecția: cadranul IV.

Observă mecanismul: fiecare condiție îți lasă două cadrane, iar cele două mulțimi de câte două elemente se intersectează exact într-unul. Nu memora rezultatele — memorează procedeul „taie și intersectează".

O atenționare utilă: combinații ca „$\sin x>0$ și $\mathrm{tg}x>0$ și $\cos x<0$" sunt imposibile, pentru că cerințele se contrazic ($\sin >0$ cu $\mathrm{tg}>0$ obligă la cadranul I, unde cosinusul e pozitiv). Când intersecția iese mulțimea vidă, răspunsul corect este „nu există un asemenea $x$" — și e un răspuns perfect valabil la examen.

8. Numere reale oarecare: semnul lui $\sin 4$ sau al lui $\cos 2$

Argumentul unei funcții trigonometrice nu trebuie să fie un unghi „frumos". Poate fi orice număr real, iar întrebarea „ce semn are $\sin 4$?" are un răspuns care se obține în două rânduri, fără calculator. Procedeul are doi pași:

1. Încadrează numărul între bornele cadranelor, folosind aproximările $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi }{2}\approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.
2. Citește semnul din tabel pentru cadranul găsit.

Pentru $\sin 4$: cum $3,14<4<4,71$, adică $\pi <4<\frac{3\pi }{2}$, numărul $4$ se află în cadranul III. Acolo sinusul e negativ, deci $\sin 4<0$. (Verificare cu calculatorul, în modul radiani: $\sin 4\approx -0,757$ — semnul e cel prezis.)

Pentru $\cos 2$: cum $1,57<2<3,14$, adică $\frac{\pi }{2}<2<\pi$, numărul $2$ este în cadranul II, unde cosinusul e negativ: $\cos 2<0$. (Într-adevăr, $\cos 2\approx -0,416$.)

Greșeala clasică aici este să citești „$\sin 4$" ca „sinus de $4$ grade" și să răspunzi „pozitiv, e un unghi mic". Când argumentul e un simplu număr, fără simbolul ${}^{\circ }$, el se măsoară în radiani. Iar $4$ radiani înseamnă puțin peste $229^{\circ }$ — bine intrat în jumătatea de jos a cercului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Semnele pentru un unghi dat în grade

Stabiliți semnul numerelor $\sin 200^{\circ }$, $\cos 200^{\circ }$ și $\mathrm{tg}200^{\circ }$.

Rezolvare. Cum $180^{\circ }<200^{\circ }<270^{\circ }$, punctul asociat se află în cadranul III. Din tabel: sinusul e negativ, cosinusul e negativ, tangenta e pozitivă. Deci

$$\sin 200^{\circ }<0,\cos 200^{\circ }<0,\mathrm{tg}200^{\circ }>0.$$

Verificare de bun-simț: în cadranul III punctul e în stânga-jos, deci amândouă coordonatele sunt negative, iar raportul lor e pozitiv. $■$

Exemplul 2 — Semnele pentru un unghi dat în radiani

Stabiliți cadranul și semnele funcțiilor trigonometrice pentru $x=\frac{5\pi }{4}$.

Rezolvare. Comparăm $\frac{5\pi }{4}$ cu bornele, aducând totul la numitorul $4$: $\pi =\frac{4\pi }{4}$ și $\frac{3\pi }{2}=\frac{6\pi }{4}$. Cum $\frac{4\pi }{4}<\frac{5\pi }{4}<\frac{6\pi }{4}$, avem $\pi <\frac{5\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$, deci cadranul III: $\sin <0$, $\cos <0$, $\mathrm{tg}>0$.

(Într-adevăr, $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}=1$.) $■$

Exemplul 3 — Problema inversă

Se știe că $\cos x<0$ și $\mathrm{tg}x<0$, unde $x\in (0,2\pi )$. În ce cadran se află punctul asociat lui $x$? Ce semn are $\sin x$?

Rezolvare. Cosinusul negativ $\Rightarrow$ cadranul II sau III. Tangenta negativă $\Rightarrow$ cadranul II sau IV. Singurul cadran comun este II, deci $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.

În cadranul II sinusul este pozitiv, deci $\sin x>0$. Se putea deduce și direct din $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}<0$ cu $\cos x<0$: pentru ca raportul să fie negativ cu numitor negativ, numărătorul trebuie să fie pozitiv. $■$

Exemplul 4 — Semnul unui produs

Determinați semnul produsului $P=\sin \frac{2\pi }{3}\cdot \cos \frac{7\pi }{6}$.

Rezolvare. Analizăm fiecare factor separat.

Pentru $\frac{2\pi }{3}$: cu numitorul $6$, $\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{6}$, $\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{6}$, $\pi =\frac{6\pi }{6}$; deci $\frac{\pi }{2}<\frac{2\pi }{3}<\pi$ — cadranul II, unde sinusul e pozitiv.

Pentru $\frac{7\pi }{6}$: $\pi =\frac{6\pi }{6}<\frac{7\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$ — cadranul III, unde cosinusul e negativ.

Produsul dintre un număr pozitiv și unul negativ este negativ: $P<0$. (Valorile exacte confirmă: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3}{4}$.) $■$

Exemplul 5 — Semnul unui număr real fără grade

Stabiliți semnul numerelor $\cos 5$ și $\mathrm{tg}3$.

Rezolvare. Argumentele sunt în radiani.

Pentru $5$: cum $4,71<5<6,28$, adică $\frac{3\pi }{2}<5<2\pi$, numărul e în cadranul IV, unde cosinusul e pozitiv: $\cos 5>0$. (Calculator: $\cos 5\approx 0,284$.)

Pentru $3$: cum $1,57<3<3,14$, adică $\frac{\pi }{2}<3<\pi$, numărul e în cadranul II, unde tangenta e negativă: $\mathrm{tg}3<0$. (Calculator: $\mathrm{tg}3\approx -0,143$.) $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se știe că $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Stabiliți semnul expresiei $E=\sin x-\cos x$.

Rezolvare. Intervalul $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ este exact cadranul II. Acolo:

• $\sin x>0$, deci primul termen este pozitiv;
• $\cos x<0$, deci $-\cos x$ este pozitiv (minus ori minus).

Așadar $E$ este o sumă de două numere pozitive: $E>0$ pentru orice $x$ din cadranul II.

Punctul delicat al exercițiului e semnul lui $-\cos x$. Nu spune „minus înseamnă scădere, deci $E$ scade"; scrie explicit $E=\sin x+(-\cos x)$ și analizează fiecare paranteză. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare exercițiu, desenează întâi cercul cu cele patru cadrane și marchează punctul — semnul se citește, nu se ghicește. Argumentele fără simbolul ${}^{\circ }$ sunt în radiani.

1. Stabilește cadranul în care se află punctul asociat unghiului de $150^{\circ }$ și dă semnele lui $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ pentru el.

2. Stabilește cadranul și semnele pentru unghiul de $300^{\circ }$.

3. Stabilește cadranul și semnele pentru $x=\frac{4\pi }{3}$.

4. Stabilește cadranul și semnele pentru $x=\frac{11\pi }{6}$.

5. Ordonează crescător numerele $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{3}$ și precizează cadranul fiecăruia.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\sin x<0$, atunci punctul asociat lui $x$ se află obligatoriu în cadranul III."

7. Determină cadranul dacă $\sin x>0$ și $\cos x<0$.

8. Determină cadranul dacă $\sin x<0$ și $\cos x>0$, apoi precizează semnul lui $\mathrm{tg}x$.

9. Determină cadranul dacă $\mathrm{tg}x>0$ și $\cos x<0$.

10. Stabilește semnul numerelor $\sin 4$ și $\cos 4$, fără calculator.

11. Stabilește semnul numărului $\mathrm{tg}2$ și justifică încadrarea lui $2$ între borne.

12. Determină semnul produsului $\sin 200^{\circ }\cdot \cos 100^{\circ }$.

13. Determină semnul raportului $\frac{\sin 250^{\circ }}{\cos 340^{\circ }}$.

14. (Problemă aplicată.) Un scaun al unei roți panoramice pornește din punctul cel mai din dreapta al roții și se rotește în sens trigonometric. Înălțimea lui față de centrul roții este proporțională cu $\sin x$, iar deplasarea orizontală față de centru cu $\cos x$, unde $x$ este unghiul parcurs. Pentru $x=210^{\circ }$, scaunul e deasupra sau sub nivelul centrului? La stânga sau la dreapta lui?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se știe că $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Stabilește semnul expresiei $E=\cos x-\sin x\cdot \cos x$. (Indicație: dă factor comun.)

16. Arată că nu există niciun număr real $x$ pentru care $\sin x>0$, $\cos x>0$ și $\mathrm{tg}x<0$ simultan.

17. (Raționament.) Fie $x$ în cadranul II. Compară numerele $\sin x$ și $\mathrm{tg}x$ folosind doar semnele lor și justifică riguros.

18. (Provocare.) Determină toate cadranele posibile pentru $x\in (0,2\pi )$ dacă se știe că produsul $\sin x\cdot \cos x\cdot \mathrm{tg}x$ este pozitiv.

Răspunsuri și explicații

1. Cum $90^{\circ }<150^{\circ }<180^{\circ }$, punctul e în cadranul II: $\sin >0$, $\cos <0$, $\mathrm{tg}<0$.

2. Cum $270^{\circ }<300^{\circ }<360^{\circ }$, punctul e în cadranul IV: $\sin <0$, $\cos >0$, $\mathrm{tg}<0$.

3. Aducem la numitorul $3$: $\pi =\frac{3\pi }{3}<\frac{4\pi }{3}$ și $\frac{4\pi }{3}<\frac{4,5\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}$. Deci cadranul III: $\sin <0$, $\cos <0$, $\mathrm{tg}>0$.

4. Cu numitorul $6$: $\frac{3\pi }{2}=\frac{9\pi }{6}<\frac{11\pi }{6}<\frac{12\pi }{6}=2\pi$. Deci cadranul IV: $\sin <0$, $\cos >0$, $\mathrm{tg}<0$.

5. Aducem la numitorul comun $12$: $\frac{3\pi }{4}=\frac{9\pi }{12}$, $\frac{7\pi }{6}=\frac{14\pi }{12}$, $\frac{5\pi }{3}=\frac{20\pi }{12}$. Ordinea crescătoare este $\frac{3\pi }{4}<\frac{7\pi }{6}<\frac{5\pi }{3}$, iar cadranele sunt, în această ordine, II, III și IV.

6. Fals. Sinusul negativ înseamnă doar că punctul e sub axa $Ox$, adică în cadranul III sau IV. O singură condiție de semn nu poate izola un cadran; e nevoie de două. Contraexemplu: $x=300^{\circ }$ are $\sin x<0$, dar se află în cadranul IV.

7. $\sin x>0\Rightarrow$ I sau II; $\cos x<0\Rightarrow$ II sau III. Intersecția dă cadranul II.

8. $\sin x<0\Rightarrow$ III sau IV; $\cos x>0\Rightarrow$ I sau IV. Intersecția dă cadranul IV, unde tangenta (raport dintre un număr negativ și unul pozitiv) este negativă: $\mathrm{tg}x<0$.

9. $\mathrm{tg}x>0\Rightarrow$ I sau III; $\cos x<0\Rightarrow$ II sau III. Intersecția dă cadranul III.

10. Cum $\pi \approx 3,14<4<4,71\approx \frac{3\pi }{2}$, numărul $4$ este în cadranul III, unde ambele coordonate sunt negative: $\sin 4<0$ și $\cos 4<0$. (Valorile aproximative $-0,757$ și $-0,654$ confirmă.)

11. Cum $\frac{\pi }{2}\approx 1,57<2<3,14\approx \pi$, numărul $2$ e în cadranul II. Acolo $\sin >0$ și $\cos <0$, deci raportul lor e negativ: $\mathrm{tg}2<0$ (aproximativ $-2,19$).

12. $200^{\circ }$ e în cadranul III, deci $\sin 200^{\circ }<0$; $100^{\circ }$ e în cadranul II, deci $\cos 100^{\circ }<0$. Produsul a două numere negative este pozitiv, deci expresia este pozitivă.

13. $250^{\circ }$ e în cadranul III $\Rightarrow \sin 250^{\circ }<0$; $340^{\circ }$ e în cadranul IV $\Rightarrow \cos 340^{\circ }>0$. Raportul negativ/pozitiv este negativ.

14. $180^{\circ }<210^{\circ }<270^{\circ }$, deci scaunul e în cadranul III. Ordonata negativă înseamnă sub nivelul centrului, iar abscisa negativă înseamnă la stânga centrului. Scaunul e deci în stânga-jos: a trecut cu $30^{\circ }$ de poziția orizontală din stânga și mai are $60^{\circ }$ până în punctul cel mai de jos al roții.

15. Dăm factor comun: $E=\cos x(1-\sin x)$. Pentru $x$ în cadranul III avem $\cos x<0$. Pe de altă parte, $\sin x<0<1$, deci $1-\sin x>0$ (de fapt $1-\sin x>1$). Produsul dintre un factor negativ și unul pozitiv este negativ: $E<0$.

16. $\sin x>0$ și $\cos x>0$ înseamnă cadranul I. Dar în cadranul I tangenta, ca raport de două numere pozitive, este obligatoriu pozitivă, ceea ce contrazice $\mathrm{tg}x<0$. Cerințele sunt incompatibile, deci nu există un asemenea $x$.

17. În cadranul II, $\sin x>0$ și $\mathrm{tg}x<0$. Un număr pozitiv este întotdeauna mai mare decât unul negativ, deci $\sin x>\mathrm{tg}x$ pentru orice $x$ din cadranul II. Concluzia s-a obținut fără să calculăm nici măcar o valoare — doar din semne.

18. Folosim $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$: produsul devine $\sin x\cdot \cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}={\sin }^{2}x$ (cu $\cos x\ne 0$). Pătratul unui număr real este pozitiv ori de câte ori numărul e nenul, deci condiția e îndeplinită în toate cele patru cadrane. Singurele valori excluse sunt cele de pe axe, unde fie $\sin x=0$ (produsul se anulează), fie $\cos x=0$ (tangenta nu există) — dar acestea nu aparțin oricum niciunui cadran. Morala: uneori simplificarea algebrică rezolvă exercițiul înainte ca discuția pe cadrane să înceapă.

De reținut

• $\cos x$ este abscisa, iar $\sin x$ este ordonata punctului $M(x)$ de pe cercul trigonometric. Semnul lor este semnul coordonatei corespunzătoare.
• $\sin x>0$ în cadranele I și II (jumătatea de sus), $\sin x<0$ în III și IV. $\cos x>0$ în cadranele I și IV (jumătatea din dreapta), $\cos x<0$ în II și III.
• $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ este pozitivă în cadranele I și III (unde coordonatele au același semn) și negativă în II și IV; nu este definită pentru $x=\frac{\pi }{2}$ și $x=\frac{3\pi }{2}$.
• Rezumatul pe cadrane, în sens trigonometric: toate pozitive în I, doar sinusul în II, doar tangenta în III, doar cosinusul în IV.
• Problema inversă se rezolvă prin intersecție: fiecare condiție de semn lasă două cadrane posibile, iar două condiții independente le reduc la unul singur. Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran.

Greșeli frecvente

• Confuzia sinus–cosinus cu axele. Se spune „sinusul e pozitiv în dreapta" — dar sinusul e ordonata, deci se împarte sus/jos; cosinusul e abscisa și se împarte stânga/dreapta. Fixează definițiile, nu regulile.
• Un singur semn, un singur cadran. Din $\cos x<0$ se sare direct la „cadranul II", uitând cadranul III. O condiție de semn lasă întotdeauna două cadrane; ai nevoie de a doua informație.
• Argumentul citit ca grade. Se scrie „$\sin 4>0$, că $4^{\circ }$ e unghi mic". Fără simbolul ${}^{\circ }$, argumentul este în radiani, iar $4$ radiani înseamnă peste $229^{\circ }$ — cadranul III.
• Semnul lui $-\cos x$. În expresii de tipul $\sin x-\cos x$ se declară „scădere, deci negativ". Rescrie expresia ca sumă, $\sin x+(-\cos x)$, și analizează separat fiecare termen; când $\cos x<0$, opusul lui este pozitiv.
• Tangenta pe axa $Oy$. Se caută semnul lui $\mathrm{tg}\frac{\pi }{2}$. Acolo $\cos \frac{\pi }{2}=0$, deci tangenta nu există; a-i atribui un semn este o eroare de definiție, nu de calcul.

Aplică acasă

1. Ceasul ca cerc trigonometric. Ia un ceas cu ace și consideră centrul lui originea, iar direcția „ora 3" ca axă $Ox$ pozitivă. Pentru pozițiile acului mare la $:00$, $:15$, $:30$ și $:45$, spune de fiecare dată în ce cadran se află vârful acului (atenție: ceasul merge în sens orar, adică invers față de sensul trigonometric) și ce semne au coordonatele lui. Este un exercițiu excelent de „citit semnul de pe desen".

2. Zece cartonașe. Scrie pe zece cartonașe câte un unghi (amestecă grade și radiani: $130^{\circ }$, $\frac{5\pi }{6}$, $260^{\circ }$, $\frac{7\pi }{4}$, $4$, $2$ și altele alese de tine), iar pe verso cadranul și cele trei semne. Amestecă-le și cronometrează-te: ținta rezonabilă e sub $5$ secunde pe cartonaș, cu desenul făcut în minte.

3. Umbra la prânz. Într-o zi însorită, urmărește cum se mișcă umbra unui băț înfipt vertical în pământ, dimineața, la prânz și după-amiaza. Dacă alegi ca origine baza bățului și ca axă $Ox$ direcția est–vest, semnele coordonatelor vârfului umbrei se schimbă exact ca semnele cosinusului și sinusului pe cerc. Notează la ce ore se schimbă semnul fiecărei coordonate.

Pentru părinți și profesori

Lecția face parte din unitatea „Cercul trigonometric și funcțiile trigonometrice" și are un rol de „infrastructură": semnele pe cadrane sunt folosite în aproape orice exercițiu de trigonometrie de aici înainte — de la formula fundamentală (unde alegerea semnului radicalului se face exclusiv pe baza cadranului) până la ecuațiile trigonometrice și la aplicațiile în geometrie. Elevul trebuie să ajungă să deducă semnele din definiția coordonatelor, nu să le recite dintr-o formulă mnemotehnică — memorarea seacă cedează la prima teză, deducerea nu.

Întrebări bune de control: „De ce se împarte sinusul sus–jos și cosinusul stânga–dreapta?" (sinusul e ordonata, cosinusul e abscisa); „De ce tangenta e pozitivă și în cadranul III?" (raportul a două numere negative e pozitiv); „Îmi ajunge să știu că $\sin x<0$ ca să spun cadranul?" (nu, rămân două variante); „Ce semn are $\cos 5$?" (pozitiv — $5$ radiani cade în cadranul IV). Semne că a înțeles: face schița cercului înainte de a răspunde, tratează corect punctele de pe axe ca „fără cadran" și nu confundă radianii cu gradele când argumentul e un număr simplu.

La teze și la Bacalaureat, semnele pe cadrane apar rareori ca cerință de sine stătătoare, dar sunt prezente ca pas obligatoriu în majoritatea exercițiilor de trigonometrie: „știind că $x$ este în cadranul II și că $\sin x=\dots$, calculați $\cos x$" este un tipar constant, iar punctul se pierde exact la alegerea semnului. Merită exersat până când elevul își pune singur întrebarea „în ce cadran sunt?" înainte de a scrie radicalul.

Întrebări frecvente

În ce cadrane este pozitiv sinusul? În cadranele I și II, adică pentru $x\in (0,\pi )$ — toată jumătatea de sus a cercului trigonometric. Motivul: sinusul este ordonata punctului, iar ordonata e pozitivă deasupra axei $Ox$.

În ce cadrane este pozitiv cosinusul? În cadranele I și IV, adică pentru $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ — jumătatea din dreapta a cercului. Cosinusul este abscisa, iar abscisa e pozitivă la dreapta axei $Oy$.

De ce tangenta este pozitivă în cadranul III, deși și sinusul și cosinusul sunt negative acolo? Tocmai pentru că amândouă sunt negative. Tangenta e raportul $\frac{\sin x}{\cos x}$, iar împărțind două numere negative obții un număr pozitiv. Din același motiv tangenta e pozitivă și în cadranul I, unde amândouă sunt pozitive.

Cum aflu în ce cadran se află un unghi dat în radiani? Îl compari cu bornele $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$. Cel mai simplu e să aduci totul la același numitor: de exemplu $\frac{5\pi }{4}$ se compară cu $\pi =\frac{4\pi }{4}$ și cu $\frac{3\pi }{2}=\frac{6\pi }{4}$, deci este în cadranul III.

Ce semn are $\sin 4$? Negativ. Argumentul $4$ este în radiani (nu are simbolul de grad), iar $\pi \approx 3,14<4<4,71\approx \frac{3\pi }{2}$, deci punctul asociat e în cadranul III, unde ordonata — adică sinusul — este negativă.

Îmi ajunge un singur semn ca să determin cadranul? Nu. Fiecare condiție de semn lasă exact două cadrane posibile. Ai nevoie de două informații independente (de exemplu semnul sinusului și al cosinusului), a căror intersecție dă un singur cadran.

Ce se întâmplă cu semnele în punctele de pe axe? Acolo una dintre coordonate este zero, deci una dintre funcții se anulează și nu are „semn". Punctele asociate numerelor $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$ nu aparțin niciunui cadran; în plus, la $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ tangenta nici măcar nu este definită.

Există o formulă de memorat pentru semne? Există mnemonica „Toate – Sinusul – Tangenta – Cosinusul" (ce e pozitiv în cadranele I, II, III, respectiv IV, în sens trigonometric), dar e mai sigur să desenezi cercul și să citești semnul coordonatei. Deducerea durează trei secunde și nu se uită sub emoția examenului.