Funcția $$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=x^{3}-9x$$, este:

negativă pe $$(-\infty,-3)$$ și pe $$(0,3)$$, pozitivă pe $$(-3,0)$$ și pe $$(3,+\infty)$$

pozitivă pe $$(-\infty,-3)$$ și pe $$(0,3)$$

pozitivă pe tot $$\mathbb{R}$$

negativă pe $$(-3,0)$$ și pe $$(3,+\infty)$$

Pentru $$f(x)=(x-2)^{2}(x+5)$$, la trecerea prin $$x=2$$:

semnul nu se schimbă, pentru că $$2$$ este rădăcină dublă

semnul se schimbă din $$-$$ în $$+$$

semnul se schimbă din $$+$$ în $$-$$

Soluția inecuației $$x^{3}-9x \le 0$$ este:

$$(-\infty,-3\,] \cup [\,0,3\,]$$

$$[\,-3,0\,] \cup [\,3,+\infty)$$

Când păstrează o funcție continuă același semn?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Semnul unei funcții continue pe un interval

Pe orice interval pe care ea nu se anulează. Demonstrația merge prin reducere la absurd și se sprijină pe teorema lui Bolzano, consecința de semn a valorilor intermediare. Practic, între două zerouri vecine nu are cum să apară vreo schimbare de semn, așa că o singură valoare de probă hotărăște pentru toată felia. La $f (x) = x^{2} - 4$ , zerourile fiind $- 2$ și $2$ , valoarea $f (0) = - 4$ arată că funcția e negativă între ele.

Teoremă. O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează acolo, păstrează semn constant. Se demonstrează prin reducere la absurd, cu consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano). Forma practică: între două zerouri consecutive, semnul nu se schimbă, deci e de ajuns un singur punct de test.

Metoda are patru pași: domeniul; justificarea continuității; zerourile (ordonate crescător); testarea unui punct comod din fiecare interval.

Formatul tabelului de semn: antetul este rândul $x$ , sub el rândul $f (x)$ ; coloanele alternează punct–interval. În coloanele-punct se scrie $0$ (zerou) sau $∣$ (funcția nu e definită); în coloanele-interval, $+$ sau $-$ . La un capăt închis al domeniului se scrie semnul valorii; la $\pm \infty$ coloana rămâne goală.

⚠️ Semnul nu alternează automat. Pentru $f (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ , semnul nu se schimbă la trecerea prin $1$ , factorul $(x - 1)^{2}$ fiind pozitiv de ambele părți. Regula: la o rădăcină de ordin impar semnul se schimbă, la una de ordin par nu — dar semnele se calculează, nu se alternează.

Metoda nu ține de forma expresiei, ci doar de continuitate, deci merge la fel la exponențiale, logaritmi și funcții trigonometrice. Inecuațiile se rezolvă apoi prin simpla citire a tabelului; la fracții nu se înmulțește cu numitorul.

De reținut

semn constant pe orice interval unde funcția este continuă și nu se anulează
între două zerouri vecine ajunge un singur punct de probă
în tabel: $0$ la zerouri, bară unde funcția lipsește, celulă goală la $\pm \infty$

Greșeala tipică

Se alternează semnele din interval în interval, ca și cum s-ar schimba automat la fiecare zerou. Un factor la putere pară nu răstoarnă nimic, deci semnul fiecărei felii se obține prin calcul.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 9 x$ , este:
- a) pozitivă pe $(- \infty, - 3)$ și pe $(0, 3)$
- b) pozitivă pe tot $R$
- c) negativă pe $(- \infty, - 3)$ și pe $(0, 3)$ , pozitivă pe $(- 3, 0)$ și pe $(3, + \infty)$
- d) negativă pe $(- 3, 0)$ și pe $(3, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) negativă pe $(- \infty, - 3)$ și pe $(0, 3)$ , pozitivă pe $(- 3, 0)$ și pe $(3, + \infty)$

Descompunem: $f (x) = x (x - 3) (x + 3)$ , cu zerourile $- 3$ , $0$ și $3$ . Testăm câte un punct din fiecare interval: $f (- 4) = - 28 < 0$ ; $f (- 1) = 8 > 0$ ; $f (1) = - 8 < 0$ ; $f (4) = 28 > 0$ . Semnele se calculează, nu se ghicesc — aici tiparul chiar alternează, pentru că toate rădăcinile sunt simple.
Pentru $f (x) = (x - 2)^{2} (x + 5)$ , la trecerea prin $x = 2$ :
- a) semnul se schimbă din $-$ în $+$
- b) semnul se schimbă din $+$ în $-$
- c) funcția nu este definită
- d) semnul nu se schimbă, pentru că $2$ este rădăcină dublă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) semnul nu se schimbă, pentru că $2$ este rădăcină dublă

Factorul $(x - 2)^{2}$ este strict pozitiv de ambele părți ale lui $2$ , deci semnul lui $f$ este dat, în jurul lui $2$ , doar de $x + 5 > 0$ : funcția e pozitivă și înainte, și după. La o rădăcină de ordin par semnul se păstrează; la una de ordin impar, ca $- 5$ aici, se schimbă.
Soluția inecuației $x^{3} - 9 x \leq 0$ este:
- a) $(- \infty, - 3] \cup [0, 3]$
- b) $[- 3, 0] \cup [3, + \infty)$
- c) $(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$
- d) $[- 3, 3]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, - 3] \cup [0, 3]$

Din tabelul de semn, $f$ este negativă pe $(- \infty, - 3)$ și pe $(0, 3)$ , iar zerourile sunt $- 3$ , $0$ și $3$ . Inegalitatea fiind nestrictă, zerourile intră în soluție, deci mulțimea soluțiilor este $(- \infty, - 3] \cup [0, 3]$ . Varianta c) uită să adauge zerourile.

Întrebări conexe

Ce semn are x minus 1 la pătrat, ori x plus 2, în jurul lui 1?

Pozitiv de amândouă părțile. Factorul la pătrat rămâne pozitiv, iar $x + 2$ este pozitiv lângă $1$ , deci produsul nu își schimbă semnul la trecerea prin acel punct. Zeroul există, dar nu răstoarnă nimic, fiind de ordin par.

Ce se scrie în tabelul de semn în dreptul lui plus infinit?

Coloana rămâne goală, fiindcă acolo nu se află niciun punct al axei. Bara verticală se pune numai în punctele finite în care funcția nu este definită, iar cifra $0$ numai în zerourile ei.

De ce nu se înmulțește cu numitorul la o inecuație cu fracții?

Pentru că numitorul își poate schimba semnul, iar înmulțirea cu un număr negativ răstoarnă inegalitatea. Rezolvarea corectă: aduci totul într-un membru, faci un singur raport și îi studiezi semnul în tabel. Numitorul primește acolo bară, nu zero.

Ce fac cu valorile care anulează numitorul?

Le treci pe axă ca puncte de discontinuitate, marcate cu bară dublă, fiindcă acolo funcția nu are valoare. Semnul se poate schimba și la trecerea prin ele, la fel ca la o rădăcină, deci intervalele se rup și în acele puncte.

Cum aleg punctul de test dintr-un interval?

Alegi un număr comod, la care calculul se face din cap: un întreg mic, uneori chiar $0$ . Orice punct din interval dă același verdict, așa că nu contează care. Pentru un interval nemărginit iei o valoare foarte mare sau foarte mică.

Care sunt cei patru pași ai studiului semnului?

Scrii domeniul, justifici continuitatea pe fiecare interval, afli zerourile și le ordonezi crescător, apoi testezi câte un punct din fiecare felie. Tabelul se completează la final, iar inecuațiile se citesc direct din el.

Oamenii mai întreabă și: semnul unei funcții continue · tabelul de semn · cum aflu semnul unei funcții · punct de test pentru semn · inecuații cu tabel de semn