Într-o problemă apare $$\displaystyle\int_a^b f^{2}(x)\,dx$$. Această integrală poate fi:

volumul unui corp de rotație (până la factorul $$\pi$$) sau numărătorul lui $$y_G$$ (până la factorul $$\dfrac12$$)

aria subgraficului sau numărătorul lui $$x_G$$

numai lucrul mecanic al unei forțe

numai aria dintre două grafice

Ai calculat volumul unui corp de rotație. Care este cea mai rapidă verificare?

să verifici că, pentru $$f$$ constantă, formula dă volumul cilindrului $$\pi r^2 h$$

să compari cu aria subgraficului

să refaci calculul cu altă primitivă

să verifici că rezultatul este întreg

Când iese arie și când iese volum?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sinteză: aplicații ale integralei

Se vede din exponentul cu care funcția intră sub integrală. Cu exponentul unu se calculează o arie ori numărătorul primei coordonate a centrului de greutate; cu exponentul doi se calculează un volum sau la numărătorul celei de a doua coordonate. Semnalul acesta se vede dintr-o privire și lămurește ce se calculează, înaintea oricărei socoteli.

Sinteza unității pornește de la un semn care spune, dintr-o privire, ce se calculează: puterea la care apare funcția sub integrală. Puterea întâi înseamnă arie sau numărătorul lui $x_{G}$ ; puterea a doua înseamnă volum sau numărătorul lui $y_{G}$ . Aria este $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ , nu $\int_{a}^{b} f$ : când funcția schimbă semnul, intervalul se rupe în zerourile din interiorul lui și fiecare bucată intră cu semnul care o face pozitivă — pentru $f (x) = x^{2} - x - 2$ pe $[0, 3]$ integrala este $- \frac{3}{2}$ , iar aria $\frac{31}{6}$ . Simbolul $Γ_{f}$ rămâne rezervat funcțiilor pozitive; în rest regiunea se descrie în cuvinte. Cine este deasupra se stabilește cu un punct de test, nu din desen. Volumul corpului de rotație se scrie $π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ și se controlează cu cilindrii înscris și circumscris, care îl încadrează; pentru $f$ constantă formula trebuie să dea $π r^{2} h$ . Centrul de greutate cere trei integrale — aria întâi —, iar rezultatul se verifică pe figurile din gimnaziu. La orice modelare din fizică se integrează o rată — forța, debitul, puterea —, iar răspunsul se scrie obligatoriu cu unitatea de măsură: ariile în unități pătratice, volumele în unități cubice, lucrul mecanic în jouli. Constanta $C$ nu apare niciodată la o integrală definită.

De reținut

puterea întâi: arie; puterea a doua: volum
$S = \int_{a}^{b} ∣ f ∣ d x$
răspunsul se scrie cu unitatea de măsură

Greșeala tipică

Se scrie aria ca integrală a funcției, fără să se cerceteze semnul. Pentru o funcție care taie axa, cele două numere diferă, iar diferența poate fi mai mare decât rezultatul însuși.

Exerciții din această mini-lecție

Într-o problemă apare $\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ . Această integrală poate fi:
- a) aria subgraficului sau numărătorul lui $x_{G}$
- b) numai lucrul mecanic al unei forțe
- c) numai aria dintre două grafice
- d) volumul unui corp de rotație (până la factorul $π$ ) sau numărătorul lui $y_{G}$ (până la factorul $\frac{1}{2}$ )
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) volumul unui corp de rotație (până la factorul $π$ ) sau numărătorul lui $y_{G}$ (până la factorul $\frac{1}{2}$ )

Puterea la care apare funcția sub integrală spune ce se calculează: puterea întâi înseamnă arie sau numărătorul lui $x_{G}$ (acolo cu factorul $x$ ), iar puterea a doua înseamnă volum, $V = π \int f^{2}$ , sau numărătorul lui $y_{G}$ , $\frac{1}{2} \int f^{2}$ . Este cel mai rapid mod de a recunoaște tipul unui subpunct de Bacalaureat M1.
Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ , $x = 4$ este:
- a) $- \frac{20}{3}$
- b) $\frac{34}{3}$
- c) $\frac{20}{3}$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{34}{3}$

Rădăcinile sunt $- 1$ și $3$ ; în interiorul intervalului se află doar $x = 3$ . Pe $[0, 3]$ funcția este negativă, pe $[3, 4]$ pozitivă: $\int_{0}^{3} (3 + 2 x - x^{2}) d x + \int_{3}^{4} (x^{2} - 2 x - 3) d x = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3}$ . Varianta $- \frac{20}{3}$ este integrala fără modul; un rezultat negativ pentru o arie este semnalul imediat al greșelii.
Ai calculat volumul unui corp de rotație. Care este cea mai rapidă verificare?
- a) să verifici că, pentru $f$ constantă, formula dă volumul cilindrului $π r^{2} h$
- b) să compari cu aria subgraficului
- c) să refaci calculul cu altă primitivă
- d) să verifici că rezultatul este întreg
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) să verifici că, pentru $f$ constantă, formula dă volumul cilindrului $π r^{2} h$

Cazul constant este proba formulei: pentru $f (x) = r$ pe $[0, h]$ trebuie să iasă exact $π r^{2} h$ . În plus, corpul este cuprins între cilindrii de raze $min f$ și $max f$ , care îl încadrează și dau un control de ordin de mărime. Aria subgraficului se măsoară în alte unități, deci comparația de la b) nu spune nimic.

Întrebări conexe

Ce volum dă rotirea graficului lui radical din x, de la 0 la 4?

Pătratul radicalului dă chiar $x$ , deci integrala iese simplă: $V = π \int_{0}^{4} x d x = 8 π$ . Corpul obținut seamănă cu un pahar. Verificarea de bun-simț: are înălțimea $4$ și raza cel mult $2$ , deci volumul trebuie să stea sub $16 π$ .

Cum se stabilește cine e deasupra: din desen sau cu un punct de test?

Cu un punct de test luat între două intersecții vecine. Desenul ajută la înțelegere, dar nu ține loc de justificare: se înlocuiește o valoare în amândouă expresiile și se compară numerele, iar rezultatul comparației se scrie în rezolvare.

Ce încadrare controlează un volum de rotație?

Cea dintre cilindrul înscris și cel circumscris, adică între valoarea cea mai mică și cea mai mare a funcției pe interval. Volumul trebuie să cadă între cele două numere; dacă iese în afara lor, calculul are o greșeală.

Ce se integrează la orice modelare din fizică?

O rată de variație: forța pe unitatea de drum, debitul pe unitatea de timp, puterea pe unitatea de timp. De aceea rezultatul are întotdeauna unitatea mărimii adunate, iar răspunsul se scrie cu ea alături.

Cât este aria mărginită de x pătrat minus x minus 2, de la 0 la 3?

Funcția se anulează în $2$ și își schimbă semnul acolo, deci aria este $\frac{31}{6}$ , în timp ce integrala fără bare dă $- \frac{3}{2}$ . Cele două numere diferă tocmai pentru că integrala face compensări între cele două bucăți.

Oamenii mai întreabă și: aplicațiile integralei definite · arie sau volum · sinteza aplicațiilor integralei · controale la arii și volume · unități de măsură la integrale