Ce raze focale au cele trei conice cu focare?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sinteză: conice la Bacalaureat M1

La elipsă $M F = a - e x$ , la hiperbolă $M F = ∣ e x - a ∣$ , iar la parabolă $M F = x + \frac{p}{2}$ , unde $e$ este excentricitatea, iar $x$ abscisa punctului. Toate trei iau locul formulei distanței dintre două puncte și scurtează orice subpunct în care apare o distanță până la focar. Modulul de la hiperbolă e necesar fiindcă punctul poate sta pe oricare ramură.

Orice problemă de conice începe cu normalizarea ecuației (coeficientul lui $x^{2}$ egal cu $1$ ) și cu decizia asupra tipului, luată în două întrebări: câte pătrate apar și ce semn stă între ele. Abia apoi se citesc elementele.

La elipsă $c = a^{2} - b^{2}$ și $e = \frac{c}{a} \in (0, 1)$ ; la hiperbolă $c = a^{2} + b^{2}$ , $e > 1$ , iar asimptotele au pantele date de raportul dintre semiaxa de sub termenul pozitiv și cealaltă; la parabolă nu există excentricitate, dar există directoarea $x = - \frac{p}{2}$ , iar focarul stă la $\frac{p}{2}$ de vârf. Razele focale — $M F = a - e x$ la elipsă, $M F = ∣ e x - a ∣$ la hiperbolă, $M F = x + \frac{p}{2}$ la parabolă — scurtează aproape orice subpunct în care apare o distanță la focar.

Tangenta într-un punct se scrie prin dedublare, dar numai după ce s-a verificat că punctul aparține conicei, și se confirmă cu derivata funcției-ramură. Intersecțiile se rezolvă ca sisteme: substituție, ecuație de gradul al doilea, iar semnul lui $Δ$ decide — secantă, tangentă sau exterioară. Fiecare soluție găsită se substituie în toate ecuațiile din enunț, iar la Bacalaureat M1 fiecare pas se redactează separat, ca să poată fi punctat.

De reținut

elipsă: $c = a^{2} - b^{2}$ și $e < 1$ ; hiperbolă: $c = a^{2} + b^{2}$ și $e > 1$
raze focale: $a - e x$ , $∣ e x - a ∣$ , $x + \frac{p}{2}$
tangenta se scrie prin dedublare, după verificarea apartenenței punctului

Greșeala tipică

Se citesc coeficienții înainte de normalizare. Din $2 x^{2} + 2 y^{2} - 16 x + 20 y + 10 = 0$ nu se identifică direct centrul: ecuația se împarte mai întâi la $2$ , iar formulele se folosesc pe forma obținută.

Exerciții din această mini-lecție

Cercul de ecuație $2 x^{2} + 2 y^{2} + 12 x - 8 y - 46 = 0$ are raza:
- a) $6$
- b) $72$
- c) $23$
- d) $36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6$

Se normalizează întâi: împărțind prin $2$ se obține $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 23 = 0$ , deci $m = 3$ , $n = - 2$ , $p = - 23$ , centrul $(- 3, 2)$ și $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p = 9 + 4 + 23 = 36$ , adică $r = 6$ . Citind coeficienții fără normalizare se obține $r = 72$ , iar $36$ este $r^{2}$ .
Asimptotele hiperbolei $\frac{y ^{2}}{100} - \frac{x ^{2}}{81} = 1$ au pantele:
- a) $\pm \frac{81}{100}$
- b) $\pm \frac{9}{10}$
- c) $\pm \frac{10}{9}$
- d) $\pm \frac{100}{81}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\pm \frac{10}{9}$

Axa transversă este $O y$ , deci scurtătura „ $1 \to 0$ ” dă $\frac{y ^{2}}{100} = \frac{x ^{2}}{81}$ , adică $y = \pm \frac{10}{9} x$ . Panta este raportul dintre semiaxa de sub termenul pozitiv ( $10$ ) și cealaltă ( $9$ ); scrierea automată „ $\frac{b}{a}$ ” dă răspunsul răsturnat $\pm \frac{9}{10}$ .
Excentricitatea elipsei $\frac{x ^{2}}{676} + \frac{y ^{2}}{100} = 1$ este:
- a) $\frac{194}{13}$
- b) $\frac{12}{13}$
- c) $\frac{13}{12}$
- d) $\frac{5}{13}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{12}{13}$

Din $a = 26$ și $b = 10$ rezultă $c = 676 - 100 = 576 = 24$ , deci $e = \frac{c}{a} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13} < 1$ . Varianta $\frac{194}{13}$ vine din formula hiperbolei, $c = a^{2} + b^{2}$ ; $\frac{5}{13}$ este raportul $\frac{b}{a}$ , iar $\frac{13}{12}$ răstoarnă excentricitatea: la elipsă ea este mereu subunitară.

Întrebări conexe

De unde începe orice problemă de conice?

De la normalizare și de la hotărârea tipului. Se aduce coeficientul lui $x^{2}$ la $1$ sau se împarte ecuația astfel încât membrul drept să fie $1$ , apoi se numără pătratele și se citește semnul dintre ele. Abia după aceea se scriu elementele.

Ce excentricitate are fiecare tip de conică?

Cercul are zero, elipsa o valoare între zero și unu, hiperbola una supraunitară. Parabolei nu i se atașează, în acest capitol, nicio excentricitate, deși are focar și directoare. Valoarea se calculează ca raport între semidistanța focală și semiaxa reală.

Cum se redactează pașii unei probleme de conice la examen?

Fiecare pas pe rândul lui, cu formula scrisă înainte de înlocuirea valorilor. Baremul acordă puncte separate pentru identificarea tipului, pentru elementele găsite și pentru concluzie, așa că un calcul corect scris pe nerăsuflate poate pierde puncte.

Ce parametru are parabola în locul excentricității?

Parametrul $p$ , distanța de la focar la directoare. El joacă rolul pe care semiaxele îl au la celelalte conice: din el ies focarul, directoarea, lungimea coardei din dreptul focarului și raza focală a oricărui punct.

Cum se controlează un rezultat obținut la o problemă de conice?

Se substituie fiecare valoare găsită în toate ecuațiile din enunț, nu doar în cea folosită la calcul. În plus se verifică semnele: la elipsă semidistanța focală trebuie să rămână sub semiaxa mare, iar la hiperbolă să o întreacă.

Ce arată dacă îți iese c mai mare decât a la o elipsă?

Că s-a folosit formula de la hiperbolă, cu sumă sub radical. La elipsă focarele stau înăuntru, deci semidistanța focală rămâne mai mică decât semiaxa mare, iar sub radical apare diferența dintre pătratele semiaxelor.

Oamenii mai întreabă și: conice la bacalaureat · raze focale · capcane la conice · excentricitatea fiecărei conice · normalizarea unei ecuații de conică