Ce capcane de barem apar la Bacalaureat M1?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sinteză finală: probleme de tip Bacalaureat M1

Cele care se repetă an de an: regula lui Sarrus folosită la ordinul al patrulea, concluzia „incompatibil” trasă numai din determinant nul, panta unei verticale numită infinită, expresia „limita nu există” folosită acolo unde valorile urcă spre infinit, speța întâi scrisă fără cuvântul finite, teorema lui Rolle citată fără continuitatea pe intervalul închis, monotonia declarată pe o reuniune și punctul confundat cu valoarea.

Din interior, anul arată ca nouă capitole separate; din subiectul de examen, ca un singur set de unelte, dintre care fiecare problemă alege două-trei. Sinteza finală desenează punțile.

Puntea algebrei: $A X = B$ , inversa, Cramer; când $det A = 0$ , decid $rang A$ , Kronecker-Capelli și Rouché, iar gradul de nedeterminare este $n - r$ . Puntea determinantului: același determinant $3 \times 3$ dă coliniaritatea și aria, $S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ ; iar poziția relativă a două drepte se decide prin sistemul ecuațiilor lor. Puntea derivatei: $f^{'} (x_{0})$ este panta tangentei, deci tangenta e o dreaptă cu toate formele ei — paralelism, perpendicularitate, arii cu axele. Puntea dintre discret și continuu: din Hamilton-Cayley, $A^{n + 1} = tr (A) A^{n} - det (A) A^{n - 1}$ , deci urma lui $A^{n}$ satisface o recurență liniară, iar limita raportului a doi termeni consecutivi este rădăcina dominantă.

Litera $Δ$ are două sensuri — determinant de arie și determinant de sistem —; când apar amândouă, se spune într-o propoziție care e care.

Capcanele de barem, adunate: Sarrus la ordinul $4$ ; $A^{T}$ în loc de $^{t} A$ ; „incompatibil" doar din $det A = 0$ ; panta unei verticale numită „infinită"; „limita nu există" pentru o funcție care tinde la $+ \infty$ ; speța I fără cuvântul finite; Rolle fără continuitatea pe intervalul închis; L'Hôpital fără verificarea nedeterminării; monotonie pe o reuniune; punct confundat cu valoare.

De reținut

speța întâi cere cuvântul finite
monotonia și convexitatea se scriu pe câte un interval
$f^{'} (x_{0})$ este panta tangentei — puntea dintre analiză și geometrie

Greșeala tipică

Se citează teorema lui Rolle fără ipoteza de continuitate pe intervalul închis. Toate cele trei condiții se scriu, altfel concluzia rămâne nesusținută în barem.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $A = (41 - 3 0)$ , ecuația Hamilton-Cayley este:
- a) $A^{2} - 3 A + 4 I_{2} = O_{2}$
- b) $A^{2} + 4 A + 3 I_{2} = O_{2}$
- c) $A^{2} - 4 A + 3 I_{2} = O_{2}$
- d) $A^{2} - 4 A - 3 I_{2} = O_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A^{2} - 4 A + 3 I_{2} = O_{2}$

Ecuația se scrie $A^{2} - tr (A) A + det (A) I_{2} = O_{2}$ . Aici $tr (A) = 4 + 0 = 4$ și $det A = 4 \cdot 0 - (- 3) \cdot 1 = 3$ , deci $A^{2} - 4 A + 3 I_{2} = O_{2}$ . Prima variantă inversează urma cu determinantul, iar celelalte două greșesc semnele — ambele erori se prind imediat verificând pe $A^{2}$ .
Tangenta la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x$ , în punctul de inflexiune al graficului, are ecuația:
- a) $y = x + 1$
- b) $y = x - 1$
- c) $y = 2 x$
- d) $y = - x + 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = x + 1$

$f^{''} (x) = 6 x - 6$ se anulează în $x = 1$ și își schimbă semnul acolo, deci punctul de inflexiune al graficului este $(1, 2)$ , cu $f (1) = 2$ . Panta tangentei este $f^{'} (1) = 3 - 6 + 4 = 1$ , iar forma „prin punct, cu panta dată" dă $y - 2 = 1 \cdot (x - 1)$ , adică $y = x + 1$ . Aceasta este puntea dintre derivate și geometria analitică: derivata este panta.
Un sistem liniar omogen $A X = O$ , cu $A \in M_{3} (R)$ , admite și soluții diferite de cea banală dacă și numai dacă:
- a) $det A \neq = 0$
- b) $rang A = 3$
- c) sistemul este incompatibil
- d) $det A = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $det A = 0$

Un sistem omogen este întotdeauna compatibil, pentru că soluția banală îl verifică — de aceea „incompatibil" nu poate fi răspunsul. El are și soluții nebanale exact când $rang A < 3$ , adică atunci când $det A = 0$ : numai atunci gradul de nedeterminare $n - r$ este strict pozitiv. Dacă $det A \neq = 0$ , sistemul e de tip Cramer și are doar soluția banală.

Întrebări conexe

Ce formulare se depunctează la speța întâi a discontinuităților?

Cea care spune doar că limitele laterale există, fără cuvântul finite. Baremul urmărește exact acest cuvânt, fiindcă fără el ar intra în prima categorie și cazul în care amândouă lateralele valorează $+ \infty$ — un punct de speța a doua.

De ce nu se scrie A la puterea T pentru transpusa unei matrice?

Fiindcă notația din manualele românești este $^{t} A$ , cu litera mică așezată în față. Varianta cu exponent vine din alte tradiții și se sancționează în barem, la fel ca folosirea semnului de împărțire între matrice.

Cum se folosește același determinant pentru arie și pentru coliniaritate?

Determinantul de ordinul al treilea format din coordonatele a trei puncte se anulează exact când ele sunt coliniare, iar jumătate din modulul lui dă aria triunghiului. Un singur calcul răspunde deci la două cerințe.

De ce se spune Sarrus numai la ordinul al treilea?

Fiindcă regula este construită special pentru trei linii și trei coloane; de la ordinul al patrulea ea nu mai are sens. Acolo se folosesc transformări elementare urmate de dezvoltarea după o linie.

Ce greșeală de formulare apare la panta unei drepte verticale?

Se scrie că panta ar fi infinită. Corect este că verticala nu are pantă, unghiul ei fiind drept, iar ecuația se scrie $x = a$ . Aceeași grijă se cere și la tangenta verticală dintr-un studiu de funcție.

Ce leagă derivata de geometria analitică într-o problemă de examen?

Faptul că $f^{'} (x_{0})$ este panta tangentei. De acolo încolo tangenta se tratează ca orice dreaptă: paralelism, perpendicularitate, intersecții cu axele, arii de triunghiuri. Aceasta este puntea cea mai folosită în subiecte.

Oamenii mai întreabă și: capcane la Bacalaureat M1 · greșeli frecvente la examen · sinteză finală bacalaureat · ce se cere la Bacalaureat M1 · punți între capitole