Într-un grup cu $$12$$ elemente, din faptul că $$6$$ divide $$12$$ rezultă:

nimic: reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general

că grupul are un subgrup cu $$6$$ elemente

că grupul are un element de ordin $$6$$

Raționamentul „funcția $$f$$ nu este continuă pe intervalul $$I$$, deci nu admite primitive pe $$I$$” este:

greșit: continuitatea este suficientă pentru existența primitivelor, nu necesară

corect, prin teorema lui Darboux

corect numai pe intervale închise

corect dacă, în plus, $$f$$ este mărginită

Ce capitole intră la Bacalaureat M1?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sinteză finală: probleme de tip Bacalaureat M1

Din ultimul an: structurile algebrice, inelele și polinoamele la programa veche, conicele, studiul complet al funcțiilor, primitivele, integrala definită și aplicațiile ei. La acestea se adaugă materia anilor de dinainte, care alimentează primul subiect și problema de matrice. Enunțurile nu urmează capitolele, ci familiile de probleme, iar familia se vede din primele rânduri ale textului.

Harta anului se citește invers față de manual: nu „ce am învățat”, ci „unde se cere ce am învățat”. Unitățile $1$ – $3$ alimentează o singură problemă de pe foaie, dar aceea valorează $15$ puncte; unitățile $6$ , $7$ și $8$ nu sunt trei capitole, ci unul singur, tăiat în trei — problema de analiză trece de regulă prin toate într-un enunț: găsește primitiva, calculează integrala, interpretează rezultatul ca arie sau volum. Problemele nu sunt „de capitol”, ci de familie: cele șase familii ale anului sunt legile și grupurile, inelele și polinoamele, conicele, studiul funcțiilor, primitivele, integralele și ariile — iar familia se recunoaște din primele două rânduri ale enunțului. Fiecare subpunct valorează $5$ puncte, împărțite pe pași; primul pas este recunoașterea, ultimul finalizarea, iar recunoașterea se scrie oricât de evidentă pare. Cele zece capcane ale clasei a XII-a merg de la neutrul negăsit în mulțime și ecuațiile din $Z_{n}$ cu $d$ soluții, prin reciproca falsă a teoremei lui Lagrange și criteriul rădăcinii aplicat la gradul $4$ , până la asimptota oblică unde există deja orizontală, primitiva fără $C$ , schimbarea de variabilă fără schimbarea limitelor și aria calculată ca integrală când funcția schimbă semnul. Nouă dintre ele se prind cu o singură întrebare pusă înainte de calcul: în ce mulțime, pe ce interval, cu ce semn?

De reținut

șase familii, recunoscute din primele rânduri
controlul: ce mulțime, ce interval, ce semn
fiecare subpunct valorează $5$ puncte

Greșeala tipică

Se învață pe capitole, nu pe familii de probleme. La examen enunțul nu spune din ce capitol vine, iar recunoașterea familiei este cea care alege metoda potrivită.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un grup cu $12$ elemente, din faptul că $6$ divide $12$ rezultă:
- a) că grupul are un subgrup cu $6$ elemente
- b) că grupul are un element de ordin $6$
- c) că grupul este ciclic
- d) nimic: reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nimic: reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general

Teorema lui Lagrange merge într-un singur sens: dacă $H$ e subgrup al lui $G$ finit, atunci $card H$ divide $card G$ . Reciproca este falsă — un divizor al cardinalului nu garantează existența unui subgrup cu atâtea elemente. Folosirea ei ca teoremă este a treia dintre cele zece capcane ale clasei a XII-a. Existența unui element de ordin $6$ ar da, într-adevăr, un subgrup ciclic cu $6$ elemente, dar tocmai existența lui trebuie demonstrată.
Raționamentul „funcția $f$ nu este continuă pe intervalul $I$ , deci nu admite primitive pe $I$ ” este:
- a) corect, prin teorema lui Darboux
- b) greșit: continuitatea este suficientă pentru existența primitivelor, nu necesară
- c) corect numai pe intervale închise
- d) corect dacă, în plus, $f$ este mărginită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) greșit: continuitatea este suficientă pentru existența primitivelor, nu necesară

Implicația demonstrată merge într-un singur sens: orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Reciproca e falsă, iar contraexemplul standard este derivata funcției care valorează $x^{2} sin \frac{1}{x}$ pentru $x \neq = 0$ și $0$ în origine: ea admite primitive prin însăși construcția ei, dar nu e continuă în $0$ . Ce se poate afirma în sens invers sunt consecințele teoremei lui Darboux: o funcție cu discontinuitate de speța I sau cu imagine care nu e interval nu admite primitive.
$\int_{0}^{l n 3} e^{2 x} d x$ este egală cu:
- a) $4$
- b) $8$
- c) $2$
- d) $\frac{9}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

O primitivă a lui $e^{2 x}$ este $\frac{e ^{2 x}}{2}$ — scurtătura $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ . Prin Leibniz–Newton, $\frac{e ^{2 x}}{2}_{0}^{l n 3} = \frac{e ^{2 l n 3} - 1}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4$ , folosind $e^{2 l n 3} = (e^{l n 3})^{2} = 9$ . Varianta $8$ uită împărțirea la $2$ , iar $\frac{9}{2}$ uită scăderea valorii din capătul inferior.

Întrebări conexe

Care sunt cele șase familii de probleme ale anului?

Grupurile cu legile lor, apoi inelele împreună cu polinoamele, conicele, studiul funcțiilor, primitivele și, la urmă, integralele cu ariile și volumele. Recunoașterea familiei este primul pas al rezolvării și se scrie, oricât de vizibilă ar părea.

Ce întrebare pusă înainte de calcul prinde nouă capcane?

Cea despre cadrul în care lucrezi: în ce mulțime, pe ce interval și cu ce semn. Aproape toate capcanele anului, de la neutrul negăsit în mulțime până la aria calculată ca integrală, se opresc dacă răspunzi la ea înaintea primului rând de calcul.

Ce unități de învățare alimentează problema de analiză?

Trei, legate între ele: studiul funcțiilor, primitivele și integrala definită cu aplicațiile ei. Un singur enunț poate trece prin toate: găsești primitiva, calculezi integrala, apoi citești rezultatul ca arie sau ca volum.

Ce capcană apare la ecuațiile din clasele de resturi?

Numărul soluțiilor: o ecuație de gradul întâi poate avea mai multe soluții sau niciuna, după cum coeficientul este ori nu inversabil. Se încearcă toate clasele când numărul nu este prim, iar rezultatul se scrie ca mulțime.

Ce înseamnă că primul pas este recunoașterea?

Că se scrie explicit ce fel de obiect ai în față și ce unealtă i se potrivește, înaintea oricărui calcul. Pasul acesta are punctajul lui în barem și, pe deasupra, oprește drumurile greșite; ultimul pas rămâne finalizarea, cu concluzia în cuvinte.

Oamenii mai întreabă și: ce intră la Bacalaureat M1 · materia de examen la matematică · familiile de probleme · capcanele de la Bac M1 · sinteză finală pentru examen