Fie $$f : [1, 5] \to \mathbb{R}$$ continuă. Teorema de medie garantează că:

există $$c \in [1,5]$$ cu $$\displaystyle\int_1^5 f(x)\,dx = 4f(c)$$

$$\displaystyle\int_1^5 f(x)\,dx = 4f(3)$$

există un unic $$c$$ cu $$\displaystyle\int_1^5 f(x)\,dx = 4f(c)$$

$$f$$ își atinge valoarea medie exact în mijlocul intervalului

Cum recunosc metoda la o integrală de examen?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sinteză: integrala definită

Privești întâi capetele: simetrice față de origine înseamnă paritate, depărtate cât o perioadă înseamnă periodicitate, iar un modul cere tabelul de semn și tăierea intervalului. Abia apoi treci prin metodele propriu-zise, în ordinea lor: rescriere, desfacerea sumei cu ajutorul tabelului, iar mai departe părțile ori substituția. La substituție capetele se schimbă în același rând cu litera.

Sinteza unității strânge, în ordinea în care se folosesc, deciziile care rezolvă o problemă de integrală definită la Bacalaureat M1. Pasul zero este privirea asupra capetelor de integrare: interval simetric înseamnă paritate, capete la distanța unei perioade înseamnă periodicitate, iar un modul cere pasul preliminar: tabelul de semn, apoi tăierea intervalului prin aditivitate. Abia după aceea se intră în arborele de decizie al metodelor: prelucrare algebrică, liniaritate și tabel, apoi părți sau schimbare de variabilă. La schimbarea de variabilă în integrala definită limitele devin $u (a)$ și $u (b)$ în același rând în care se schimbă variabila, iar revenirea la $x$ nu se mai face niciodată — aceasta este deosebirea față de integrala nedefinită. Subpunctul b) cere de obicei o încadrare: se încadrează integrandul, se integrează inegalitatea prin monotonia integralei, se calculează cele două margini. Teorema de medie afirmă doar existența unui punct $c$ cu $\int_{a}^{b} f = f (c) (b - a)$ ; el nu este unic și nu este mijlocul intervalului. Se rețin și cele două capcane de semn: un integrand pozitiv nu poate da o integrală negativă, iar $\int_{a}^{b} f$ și $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ coincid numai când $f$ păstrează semn constant.

De reținut

pasul zero: privirea capetelor
modul $\Rightarrow$ tabel de semn, apoi aditivitate
la substituție, capetele se schimbă odată cu litera

Greșeala tipică

Se pornește calculul fără să se privească intervalul. Capete simetrice sau depărtate cât o perioadă scurtează adesea totul la câteva rânduri, iar sărirea peste această privire duce la calcule lungi și inutile.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 3)^{4} d x$ .
- a) $\frac{1}{5}$
- b) $\frac{1024}{5}$
- c) $\frac{781}{4}$
- d) $\frac{781}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{781}{5}$

Cu substituția $t = x^{2} + 3$ avem $d t = 2 x d x$ , iar limitele devin $t (0) = 3$ și $t (1) = 4$ : $\int_{3}^{4} t^{4} d t = \frac{t ^{5}}{5}_{3}^{4} = \frac{1024 - 243}{5} = \frac{781}{5}$ . Varianta $\frac{1024}{5}$ apare când se păstrează limita de jos $0$ în loc de $3$ — greșeala clasică a schimbării de variabilă la integrala definită.
Calculați $\int_{0}^{4} ∣ x^{2} - 3 x - 4 ∣ d x$ .
- a) $\frac{56}{3}$
- b) $- \frac{56}{3}$
- c) $\frac{8}{3}$
- d) $\frac{112}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{56}{3}$

Rădăcinile trinomului sunt $- 1$ și $4$ , deci pe $[0, 4]$ expresia este negativă (doar rădăcina $4$ aparține intervalului, ca și capăt). Nu apare nicio ruptură interioară: $\int_{0}^{4} (4 + 3 x - x^{2}) d x = (4 x + \frac{3 x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{4} = 16 + 24 - \frac{64}{3} = \frac{56}{3}$ . Varianta negativă este integrala fără modul, iar $\frac{112}{3}$ dublează inutil.
Fie $f : [1, 5] \to R$ continuă. Teorema de medie garantează că:
- a) $\int_{1}^{5} f (x) d x = 4 f (3)$
- b) există $c \in [1, 5]$ cu $\int_{1}^{5} f (x) d x = 4 f (c)$
- c) există un unic $c$ cu $\int_{1}^{5} f (x) d x = 4 f (c)$
- d) $f$ își atinge valoarea medie exact în mijlocul intervalului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) există $c \in [1, 5]$ cu $\int_{1}^{5} f (x) d x = 4 f (c)$

Teorema afirmă existența unui punct $c \in [a, b]$ cu $\int_{a}^{b} f = f (c) (b - a)$ , aici $b - a = 4$ . Ea nu spune că $c$ este unic și nici că $c$ ar fi mijlocul intervalului — celelalte trei variante presupun una dintre aceste două afirmații false: pentru $f (x) = x^{2}$ pe $[1, 5]$ punctul $c$ nu este $3$ .

Întrebări conexe

Ce spun capetele de integrare despre metoda potrivită?

Foarte mult, dacă sunt privite înaintea integrandului. Capete opuse trimit la paritate, capete depărtate cât perioada trimit la periodicitate, iar capete legate de valorile remarcabile ale funcțiilor trigonometrice arată că se așteaptă un rezultat exact, nu o aproximare.

Ce cere un modul sub integrală, înainte de orice calcul?

Tabelul de semn al expresiei dintre bare, făcut numai pe intervalul de integrare. Din el ies punctele în care se rupe intervalul, iar pe fiecare bucată barele se înlocuiesc cu expresia sau cu opusul ei. Abia după aceea se alege metoda.

Ce capcane de semn apar la o integrală de examen?

Două se repetă: un integrand pozitiv care dă un rezultat negativ, semn că formula s-a aplicat peste un punct interzis; și confundarea integralei modulului cu modulul integralei, care coincid numai când funcția păstrează același semn.

Ce metodă cere o integrală cu radical din a pătrat minus x pătrat?

O substituție inversă, în care variabila se scrie ca produs dintre parametru și sinusul unei litere noi. Radicalul devine atunci parametrul înmulțit cu cosinusul, după ce se precizează intervalul în care lucrezi, iar integrala se reduce la una trigonometrică.

Ce se face când integrandul e o fracție cu numitor de gradul al doilea?

Se privește numărătorul: constant duce la arctangentă sau la logaritm de raport, iar proporțional cu derivata numitorului duce direct la logaritm. Când numărătorul are grad mai mare, se împarte întâi, apoi se descompune în fracții simple.

Oamenii mai întreabă și: problema cu integrale la Bacalaureat · metode de calcul pentru integrala definită · cum aleg metoda la integrala definită · sinteza integralei definite · integrale la examen