Ce pași are verificarea structurii de grup?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sinteză: legi și grupuri

Patru, în ordine fixă. Zero: partea stabilă, fără de care legea indusă nici nu există. Unu: asociativitatea, de regulă moștenită, dar scrisă explicit. Doi: elementul neutru, care trebuie să aparțină mulțimii date. Trei: simetricul fiecărui element, tot din mulțime. Pe intervalul $(a, + \infty)$ neutrul $a + 1$ se află înăuntru, însă pe unul mărginit el poate lipsi, iar atunci structura nu mai este grup.

Problema de algebră din Subiectul al II-lea are trei subpuncte de câte cinci puncte, iar fiecare îl pregătește pe următorul: un calcul, o proprietate de structură, o aplicație. Tipul se recunoaște după ce apare în enunț. La o lege dată printr-o formulă, primul gest este căutarea formei $x * y = (x - a) (y - a) + a$ : din ea se citesc asociativitatea, comutativitatea, neutrul $e = a + 1$ , simetricul $x^{'} = a + \frac{1}{x - a}$ , partea stabilă $(a, + \infty)$ și izomorfismul $f (x) = x - a$ cu $(R_{+}^{*}, \cdot)$ . Pentru familia $x * y = x y + α (x + y) + β$ , condiția de asociativitate este $β = α^{2} - α$ , obținută punând $a = - α$ . Varianta cu coeficient, $λ (x - a) (y - a) + a$ , are $e = a + \frac{1}{λ}$ .

Structura de grup se verifică mereu în cei patru pași (0–3): parte stabilă, asociativitate (moștenită — dar enunțată!), element neutru care aparține mulțimii, simetric care aparține mulțimii. La grupurile de matrice parametrizate, totul pornește de la regula de compunere, de tipul $A (x) A (y) = A (x + y)$ , care dă simultan partea stabilă, neutrul $A (0)$ , simetricul $A (- x)$ , izomorfismul cu $(R, +)$ și formula $A (x)^{n} = A (n x)$ . Un izomorfism cere două verificări punctate separat, morfismul și bijectivitatea; neizomorfismul se arată prin cardinal, comutativitate sau profilul ordinelor. În $Z_{n}$ , o ecuație cu coeficient neinversabil poate avea mai multe soluții sau niciuna, iar numărul lor face parte din răspuns.

De reținut

forma $(x - a) (y - a) + a$ dă $e = a + 1$ și $x^{'} = a + \frac{1}{x - a}$
$x y + α (x + y) + β$ este asociativă exact când $β = α^{2} - α$
pașii 0–3: parte stabilă, asociativitate, neutru în mulțime, simetric în mulțime

Greșeala tipică

Se calculează $(x * y) * z$ și $x * (y * z)$ deși legea se poate scrie factorizat. Din forma $(x - a) (y - a) + a$ , ambele expresii se strâng în produsul celor trei paranteze adunat cu $a$ , așa că proprietatea iese dintr-un singur rând.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ se definește legea $x * y = x y - 21 x - 21 y + 462$ . Elementul neutru al ei este:
- a) $21$
- b) $22$
- c) $1$
- d) $462$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $22$

Căutăm forma factorizată: cu $a = 21$ avem $(x - 21) (y - 21) + 21 = x y - 21 x - 21 y + 441 + 21 = x y - 21 x - 21 y + 462$ , deci legea o are. Pentru astfel de legi, $e = a + 1 = 22$ . Verificare: $22 * x = (22 - 21) (x - 21) + 21 = x$ . Varianta $21$ confundă neutrul cu parametrul $a$ , care este chiar elementul fără simetric.
Pentru ce valoare a lui $β$ este legea $x * y = x y + 13 (x + y) + β$ asociativă pe $R$ ?
- a) $β = 142$
- b) $β = 169$
- c) $β = 156$
- d) $β = 182$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $β = 156$

Pentru familia $x y + α (x + y) + β$ , condiția de asociativitate este $β = α^{2} - α$ ; cu $α = 13$ obținem $β = 169 - 13 = 156$ . Echivalent, $a = - α = - 13$ și $β = a^{2} + a = 169 - 13 = 156$ , iar legea devine $(x + 13) (y + 13) - 13$ . Varianta $182$ folosește $a = 13$ în loc de $a = - 13$ , iar $169$ uită termenul liniar.
Fie $A (x) = (10 x 1)$ și $G = {A (x) ∣ x \in R}$ . Atunci $A (7)^{2026}$ este egală cu:
- a) $A (14182)$
- b) $A (7^{2026})$
- c) $A (2026)$
- d) $A (289, 43)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A (14182)$

Regula de compunere este $A (x) A (y) = A (x + y)$ , deci funcția $x \mapsto A (x)$ este izomorfism de la $(R, +)$ la $(G, \cdot)$ și puterile se traduc în multipli: $A (x)^{n} = A (n x)$ . Rezultă $A (7)^{2026} = A (7 \cdot 2026) = A (14182)$ . Varianta $A (7^{2026})$ ar corespunde unei familii cu regula $A (x) A (y) = A (x y)$ , care nu este cazul aici.

Întrebări conexe

Ce simetric are $x$ față de legea $(x - a) (y - a) + a$ ?

Este $x^{'} = a + \frac{1}{x - a}$ , definit pentru $x \neq = a$ . Se obține punând $(x - a) (x^{'} - a) + a = e$ , cu $e = a + 1$ , de unde $(x - a) (x^{'} - a) = 1$ . Formula se citește direct din forma factorizată, fără să mai rezolvi ecuația de fiecare dată.

Ce se pierde dacă nu enunți asociativitatea moștenită?

Un punct din barem. Chiar dacă proprietatea vine de la o structură cunoscută, ea rămâne o axiomă a grupului și trebuie pomenită. Se scrie o singură frază, care spune de unde se moștenește, apoi se trece mai departe fără calcule pe triplete.

Cât valorează fiecare subpunct al problemei de algebră?

Câte cinci puncte, la fiecare dintre cele trei subpuncte ale problemei din Subiectul al II-lea. Ele urcă în dificultate, de la un calcul direct la o cerință despre structură și apoi la o aplicație, iar fiecare îl pregătește pe următorul, deci abandonul primului costă de obicei și pe al doilea.

Ce element neutru are legea $λ (x - a) (y - a) + a$ ?

Este $e = a + \frac{1}{λ}$ . Se află din condiția $λ (x - a) (e - a) + a = x$ , care duce la $λ (e - a) = 1$ . Pentru $λ = 1$ se regăsește neutrul obișnuit $a + 1$ , deci varianta cu coeficient nu cere o rețetă nouă, ci doar atenție la împărțirea prin $λ$ .

Cum caut elementul neutru al unei legi de compoziție?

Pui condiția $x * e = x$ și rezolvi ecuația în raport cu $e$ , tratând $x$ ca pe un parametru. Dacă valoarea găsită nu depinde de $x$ , ea este candidatul; apoi verifici și $e * x = x$ . O soluție care depinde de $x$ arată că legea nu are element neutru.

Ce formulă dă puterea a n-a a matricei $A (x)$ dintr-o familie?

Din regula $A (x) A (y) = A (x + y)$ iese direct $A (x)^{n} = A (n x)$ , prin inducție. Aceeași regulă dă și partea stabilă, și neutrul $A (0)$ , și simetricul $A (- x)$ , și izomorfismul cu $(R, +)$ — un singur calcul rezolvă toate subpunctele.

Oamenii mai întreabă și: legi de compoziție la bacalaureat · cei patru pași ai structurii de grup · forma factorizată a unei legi · element neutru al unei legi de compoziție · parte stabilă la o lege de compoziție