Care dintre proprietățile de mai jos depinde de corpul peste care se lucrează?

regulile de calcul cu derivata formală

Descompunerea în factori ireductibili peste $$\mathbb{Q}$$ a polinomului $$X^4 - 5X^2 + 6$$ este:

$$\left(X^2-2\right)\left(X^2-3\right)$$

$$\left(X-\sqrt2\right)\left(X+\sqrt2\right)\left(X-\sqrt3\right)\left(X+\sqrt3\right)$$

$$\left(X^2-6\right)\left(X^2+1\right)$$

polinomul este ireductibil peste $$\mathbb{Q}$$

Care afirmație despre polinoamele peste un corp finit este adevărată?

un polinom de gradul $$n$$ are exact $$n$$ rădăcini în corp

derivata formală a unui polinom neconstant este întotdeauna nenulă

un polinom de gradul al patrulea fără rădăcini este ireductibil

De ce se lasă X²+1 nedescompus la o cerință peste numerele reale?

Fiindcă discriminantul lui este negativ, deci polinomul nu are rădăcini reale și rămâne ireductibil peste ℝ. Scrierea (X-i)(X+i) este descompunerea peste ℂ și se dă numai când enunțul cere asta; altfel răspunsul iese în afara corpului cerut.

Ce nu depinde de corp în teoria polinoamelor?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sinteză: polinoame peste un corp

Împărțirea cu rest și restul dat de teorema lui Bézout, schema lui Horner, algoritmul lui Euclid și regulile derivatei formale. Toate se demonstrează folosind numai axiomele de corp, deci lucrează la fel peste $Q$ , peste $R$ și peste $Z_{p}$ . Descompunerea, în schimb, depinde: aceleași polinoame se rup sau rămân întregi, după corpul ales.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Sinteza capitolului separă limpede ce nu depinde de corp de ce depinde. Nu depind de corp: teorema împărțirii cu rest, teorema restului împreună cu schema lui Horner, algoritmul lui Euclid pentru $cmmdc$ și regulile derivatei formale — demonstrațiile lor folosesc numai axiomele de corp. Depinde de corp descompunerea: peste $C$ sunt ireductibile exact polinoamele de gradul întâi, peste $R$ cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu discriminantul negativ, iar peste $Q$ și $Z_{p}$ există ireductibile de orice grad. Criteriul „reductibil dacă și numai dacă are rădăcină în corp” este valabil numai la gradele $2$ și $3$ . Peste un corp finit apar trei diferențe pe care baremul le urmărește: două polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială, derivata formală se poate anula identic fără ca polinomul să fie constant, iar rezultatele se scriu ca clase reduse. Când polinomul are coeficienți reali și se dă o rădăcină nereală, rădăcina conjugată vine automat, iar produsul celor două dă un factor real de gradul al doilea — mișcarea cea mai des cerută la Bacalaureat M1.

De reținut

peste $C$ sunt ireductibile doar polinoamele de gradul întâi
peste $R$ : gradul întâi și gradul al doilea cu $Δ < 0$
criteriul rădăcinii lucrează numai la gradele $2$ și $3$

Greșeala tipică

Se dă descompunerea peste $C$ atunci când cerința era peste $R$ . Un factor de grad doi cu discriminantul sub zero se lasă neatins în răspunsul real, deci $X^{2} + 1$ rămâne așa cum este.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre proprietățile de mai jos depinde de corpul peste care se lucrează?
- a) teorema împărțirii cu rest
- b) ireductibilitatea unui polinom
- c) teorema restului
- d) regulile de calcul cu derivata formală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ireductibilitatea unui polinom

Ireductibilitatea nu este o proprietate a polinomului singur, ci a perechii polinom–corp: $X^{2} - 2$ este ireductibil peste $Q$ și reductibil peste $R$ . Celelalte trei funcționează identic peste orice corp comutativ, fiindcă demonstrațiile lor folosesc numai axiomele de corp — în particular faptul că orice element nenul este inversabil.
Descompunerea în factori ireductibili peste $Q$ a polinomului $X^{4} - 5 X^{2} + 6$ este:
- a) $(X^{2} - 2) (X^{2} - 3)$
- b) $(X - 2) (X + 2) (X - 3) (X + 3)$
- c) $(X^{2} - 6) (X^{2} + 1)$
- d) polinomul este ireductibil peste $Q$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(X^{2} - 2) (X^{2} - 3)$

Notăm $t = X^{2}$ și rezolvăm $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ , cu soluțiile $2$ și $3$ , deci $X^{4} - 5 X^{2} + 6 = (X^{2} - 2) (X^{2} - 3)$ . Peste $Q$ cei doi factori sunt ireductibili, fiindcă $2$ și $3$ nu sunt raționale. Varianta b este descompunerea peste $R$ — greșeala de a da răspunsul pentru alt corp decât cel cerut.
Care afirmație despre polinoamele peste un corp finit este adevărată?
- a) un polinom de gradul $n$ are exact $n$ rădăcini în corp
- b) derivata formală a unui polinom neconstant este întotdeauna nenulă
- c) un polinom de gradul al patrulea fără rădăcini este ireductibil
- d) două polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) două polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială

Peste $Z_{p}$ , polinomul $X^{p} - X$ are funcția polinomială nulă fără a fi polinomul nul, deci egalitatea funcțiilor nu implică egalitatea polinoamelor. Varianta a confundă „cel mult $n$ rădăcini distincte” cu „exact $n$ ”; varianta b este contrazisă de $X^{2} + \hat{1}$ peste $Z_{2}$ , cu derivata nulă; varianta c este capcana gradului al patrulea.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu rădăcina conjugată a unui polinom cu coeficienți reali?

Vine automat. Dacă un număr complex nereal anulează polinomul, atunci și conjugatul lui îl anulează, cu același ordin. De aceea, într-o problemă în care se dă o rădăcină de forma $2 + i$ , se poate scrie imediat că și $2 - i$ este rădăcină.

Ce factor real de gradul al doilea dau două rădăcini conjugate?

Produsul $(X - z) (X - \overset{z}{ˉ})$ , care iese $X^{2} - 2 Re (z) X + ∣ z ∣^{2}$ , cu coeficienți reali. Pentru $z = 2 + i$ se obține $X^{2} - 4 X + 5$ . Este mișcarea cea mai des cerută la examen, fiindcă transformă o informație complexă într-un factor real.

Ce trei diferențe apar când lucrezi peste un corp finit?

Două polinoame deosebite pot da aceeași funcție; derivata unui polinom neconstant se poate anula de tot; iar rezultatele se scriu ca clase reduse, nu ca numere întregi. Baremul urmărește toate trei, așa că merită trecute în revistă înainte de a începe rezolvarea.

De ce se lasă $X^{2} + 1$ nedescompus la o cerință peste numerele reale?

Fiindcă discriminantul lui este negativ, deci polinomul nu are rădăcini reale și rămâne ireductibil peste $R$ . Scrierea $(X - i) (X + i)$ este descompunerea peste $C$ și se dă numai când enunțul cere asta; altfel răspunsul iese în afara corpului cerut.

Ce demonstrații folosesc numai axiomele de corp?

Cele ale rezultatelor de calcul: existența câtului și a restului, valoarea restului la un împărțitor liniar, corectitudinea algoritmului lui Euclid și regulile de derivare. Niciuna nu se sprijină pe ordonarea numerelor sau pe limite, deci enunțurile lor nu se schimbă de la un corp la altul.

Ce structură are descompunerea în factori ireductibili?

Un produs de polinoame ireductibile peste corpul dat, precedat eventual de o constantă. Ea este determinată până la ordinea factorilor și până la constante nenule, așa că două descompuneri corecte ale aceluiași polinom conțin aceiași factori.

Oamenii mai întreabă și: polinoame peste un corp sinteză · descompunere peste R și peste C · rădăcini conjugate · ce depinde de corp la polinoame · polinoame peste corpuri finite