Se consideră $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, cu $$f(x) = x+1$$ pentru $$x \le 0$$ și $$f(x) = x^{2}+1$$ pentru $$x > 0$$. Atunci:

$$f$$ admite primitive pe $$\mathbb{R}$$, pentru că este continuă

$$f$$ nu admite primitive, pentru că este definită pe ramuri

$$f$$ nu admite primitive, pentru că are o discontinuitate de speța I în $$0$$

$$f$$ admite primitive numai pe $$(0, +\infty)$$

Care dintre următoarele funcții definite pe $$\mathbb{R}$$ nu admite primitive?

$$f(x) = x^{2}$$ pentru $$x < 1$$ și $$f(x) = x^{2}+2$$ pentru $$x \ge 1$$

Fie $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{2}-4$$, și $$F$$ o primitivă a lui $$f$$. Atunci $$F$$ este:

strict descrescătoare pe $$[-2, 2]$$

strict crescătoare pe $$[-2, 2]$$

Ce se cere la problema cu primitive la Bac?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sinteza primitivelor pentru examen

Tiparul este stabil: la a) o verificare pregătitoare, la b) calculul propriu-zis, iar la c) fie o proprietate a lui $F$ , fie o relație de recurență. Verificarea se face derivând, în trei rânduri; calculul urmează arborele de decizie al metodelor; proprietatea se citește direct din funcție, fiindcă din semnul ei se vede unde urcă primitiva, iar din creșterea ei se vede unde primitiva devine convexă. Fiecare subpunct valorează $5$ puncte, împărțite pe pași.

Problema de primitive din Subiectul al III-lea are un tipar stabil: a) o verificare pregătitoare, b) un calcul de primitive, c) o proprietate a primitivei sau o recurență. Verificarea „ $F$ este primitivă a lui $f$ ” se face derivând, în trei rânduri: intervalul și derivabilitatea, calculul lui $F^{'}$ , concluzia.

Existența primitivelor se decide cu două unelte. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo. Ce exclude primitivele sunt consecințele teoremei lui Darboux: o discontinuitate de speța I sau o imagine care nu este interval. Implicația „nu e continuă, deci nu are primitive” este falsă.

Despre primitivă se citește mult direct din $f$ , fără să derivezi expresia găsită: semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$ , iar monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$ . Pe o funcție definită pe ramuri, cele două constante nu se aleg liber: continuitatea primitivei în punctul de racord o determină pe a doua din prima.

Capcanele care costă puncte: intervalul nescris; $+ C$ în loc de $+ C$ ; modulul scos din $ln ∣ x ∣$ fără justificare; fracțiile simple aplicate înainte de împărțire; rezultatul lăsat în $t$ ; rândul greșit din tabel — $\int \frac{d x}{x ^{2} + 4}$ dă arctangentă, iar $\int \frac{x d x}{x ^{2} + 4}$ dă logaritm.

De reținut

a) verificare, b) calcul, c) proprietate
continuă pe interval $\Rightarrow$ admite primitive
semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$
$\int x^{n} d x$ nu merge la $n = - 1$

Greșeala tipică

Se scrie rezultatul fără interval. Primitiva se dă întotdeauna pe un interval pe care funcția este definită, iar pe un domeniu rupt constanta nu mai este aceeași pe fiecare bucată.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $f : R \to R$ , cu $f (x) = x + 1$ pentru $x \leq 0$ și $f (x) = x^{2} + 1$ pentru $x > 0$ . Atunci:
- a) $f$ admite primitive pe $R$ , pentru că este continuă
- b) $f$ nu admite primitive, pentru că este definită pe ramuri
- c) $f$ nu admite primitive, pentru că are o discontinuitate de speța I în $0$
- d) $f$ admite primitive numai pe $(0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f$ admite primitive pe $R$ , pentru că este continuă

În $0$ limitele laterale și valoarea coincid, toate egale cu $1$ , deci $f$ este continuă pe $R$ și admite primitive. Faptul că o funcție este scrisă pe ramuri nu spune nimic despre primitive: decid continuitatea și, la nevoie, consecințele teoremei lui Darboux.
Care dintre următoarele funcții definite pe $R$ nu admite primitive?
- a) $f (x) = ∣ x ∣$
- b) $f (x) = x sin x$
- c) $f (x) = x^{2}$ pentru $x < 1$ și $f (x) = x^{2} + 2$ pentru $x \geq 1$
- d) $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = x^{2}$ pentru $x < 1$ și $f (x) = x^{2} + 2$ pentru $x \geq 1$

Funcția de la c) are în $1$ limite laterale finite și diferite ( $1$ și $3$ ), adică o discontinuitate de speța I: prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, nu admite primitive. Celelalte trei sunt continue pe $R$ , deci admit primitive — inclusiv $∣ x ∣$ , a cărei primitivă se racordează în $0$ .
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4$ , și $F$ o primitivă a lui $f$ . Atunci $F$ este:
- a) strict crescătoare pe $[- 2, 2]$
- b) strict descrescătoare pe $[- 2, 2]$
- c) convexă pe $R$
- d) constantă pe $[- 2, 2]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) strict descrescătoare pe $[- 2, 2]$

Monotonia primitivei se citește din semnul lui $f$ : pe $(- 2, 2)$ avem $f (x) < 0$ , deci $F^{'} < 0$ și $F$ este strict descrescătoare pe $[- 2, 2]$ . Convexitatea s-ar citi din monotonia lui $f$ , iar $f$ scade pe $(- \infty, 0]$ și crește pe $[0, + \infty)$ , deci $F$ nu este convexă pe tot $R$ .

Întrebări conexe

Ce greșeli de scriere apar la primitive în lucrare?

Intervalul lipsă, constanta notată altfel decât în manual, modulul scos din logaritm fără justificare, rezultatul lăsat în variabila de lucru și fracțiile simple aplicate înaintea împărțirii. Niciuna nu este greșeală de calcul, dar fiecare taie din punctajul subpunctului.

De ce este falsă implicația nu e continuă, deci nu are primitive?

Pentru că există funcții discontinue care admit primitive: derivata unei funcții derivabile poate fi discontinuă. Continuitatea este o condiție suficientă, nu una necesară. Ce respinge primitivele este o discontinuitate cu limite laterale finite și diferite ori o imagine care nu este interval.

Ce rând din tabel dă arctangentă și care dă logaritm?

Cu numărător constant și numitor $x^{2} + a^{2}$ iese arctangenta; cu numărător proporțional cu $2 x$ iese logaritmul. Astfel $\int \frac{d x}{x ^{2} + 4}$ dă $\frac{1}{2} arctg \frac{x}{2}$ , iar $\int \frac{x d x}{x ^{2} + 4}$ dă $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 4)$ , deci un rezultat de alt tip.

Cum recunosc, din enunț, că problema cere o recurență?

După prezența unui indice natural în definiția integralei și după cerința de a lega termenul de rang $n$ de unul anterior. Enunțul dă de obicei chiar șirul, cu litera lui, iar subpunctul cere fie relația, fie o valoare obținută din ea.

Ce verificare rapidă arată că am greșit rândul din tabel?

Derivarea rezultatului. Dacă din răspuns nu iese integrandul de la care ai pornit, rândul ales a fost altul; cel mai des se încurcă cele două forme cu numitor de gradul al doilea. Controlul cere zece secunde și prinde și factorii uitați din față.

Oamenii mai întreabă și: problema cu primitive la Bacalaureat · subiectul cu primitive M1 · sinteza primitivelor · tipuri de cerințe cu primitive · primitive la examen