Asimptotele la graficul funcției $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \sqrt{4x^{2}+1}$$, sunt:

dreapta $$y = 2x$$ spre $$+\infty$$ și dreapta $$y = -2x$$ spre $$-\infty$$

dreapta $$y = 0$$, asimptotă orizontală

dreapta $$y = 2x$$ spre amândouă capetele

Dacă $$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$$ și $$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$, atunci spre $$+\infty$$ graficul funcției $$f$$:

are asimptota orizontală $$y = 0$$

are o asimptotă oblică de pantă nulă

Ce se citește din tabelul de variație?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sinteză: studiul complet al unei funcții

Aproape tot ce se cere la ultimul subpunct: intervalele de monotonie, punctele și valorile extreme, imaginea funcției, inegalitățile care se pot scrie despre ea, intervalele de convexitate și numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ pentru fiecare valoare a parametrului. De aceea un tabel corect valorează, practic, cele trei subpuncte laolaltă, iar unul greșit le pierde pe toate deodată.

Studiul complet al unei funcții este parcurgerea, în ordine fixă, a celor nouă pași: domeniul cu intersecțiile și simetriile, continuitatea și derivabilitatea, limitele la capete împreună cu asimptotele, semnul lui $f^{'}$ , semnul lui $f^{''}$ , valorile în punctele marcate, tabelul de variație, citirea lui și trasarea graficului. Orice cerință de examen se așază pe unul dintre acești pași.

Pasul al treilea urmează schema asimptotelor în patru pași: domeniul, verticalele, apoi fiecare capăt infinit separat — întâi orizontala, și numai dacă ea nu există, cei trei pași ai oblicei, adică $m$ finită și nenulă, apoi $n$ finit, apoi concluzia. Orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc. Capcana de reținut: o pantă nulă înseamnă doar că nu există oblică, nu că există orizontală. La funcțiile cu radical de ordin par cele două capete dau drepte diferite, de pildă $y = x$ spre $+ \infty$ și $y = - x$ spre $- \infty$ .

Din tabelul de variație se citește aproape tot ce cere ultimul subpunct: monotonia, punctele și valorile extreme, imaginea funcției, inegalitățile, convexitatea și numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ . Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_{0}$ este $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ , cu valoarea calculată înaintea pantei; verificarea rapidă este rădăcina multiplă a diferenței dintre funcție și dreaptă. La Bacalaureat M1 o astfel de problemă valorează $15$ puncte, în trei subpuncte.

De reținut

tangenta în $x_{0}$ : $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
orizontala și oblica se exclud una pe alta spre același capăt
panta nulă la un capăt nu înseamnă că există asimptotă orizontală

Greșeala tipică

Se confundă panta nulă cu existența unei asimptote orizontale. La $ln (x^{2} - 4)$ raportul dintre funcție și $x$ tinde la zero spre $+ \infty$ , dar funcția crește nemărginit, deci graficul nu are acolo nicio asimptotă.

Exerciții din această mini-lecție

Asimptotele la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{2} + 1$ , sunt:
- a) dreapta $y = 2 x$ spre $+ \infty$ și dreapta $y = - 2 x$ spre $- \infty$
- b) dreapta $y = 0$ , asimptotă orizontală
- c) graficul nu are asimptote
- d) dreapta $y = 2 x$ spre amândouă capetele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) dreapta $y = 2 x$ spre $+ \infty$ și dreapta $y = - 2 x$ spre $- \infty$

Spre $+ \infty$ : $m = x \to + \infty lim \frac{4 x ^{2} + 1}{x} = 2$ și $n = x \to + \infty lim (4 x^{2} + 1 - 2 x) = x \to + \infty lim \frac{1}{4 x ^{2} + 1 + 2 x} = 0$ . Spre $- \infty$ se folosește $4 x^{2} + 1 = ∣ x ∣ 4 + 1/ x^{2}$ cu $∣ x ∣ = - x$ , deci $m = - 2$ și $n = 0$ . Cele două capete se calculează întotdeauna separat.
Dacă $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , atunci spre $+ \infty$ graficul funcției $f$ :
- a) are asimptota orizontală $y = 0$
- b) are o asimptotă oblică de pantă nulă
- c) nu are nicio asimptotă
- d) are o asimptotă verticală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu are nicio asimptotă

Panta nulă exclude oblica, pentru că o dreaptă de pantă nulă este orizontală, nu oblică; iar orizontala nu există, fiindcă limita funcției este infinită. Concluzia corectă este că graficul nu are nicio asimptotă la acel capăt. Exemplul canonic este $f (x) = ln (x^{2} - 4)$ : crește mai încet decât orice dreaptă, dar nemărginit.
Ecuația tangentei la graficul funcției $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ , în punctul de abscisă $x_{0} = 2$ , este:
- a) $y = \frac{3}{4} x - 1$
- b) $y = \frac{3}{4} x + 1$
- c) $y = \frac{3}{4} x + \frac{5}{2}$
- d) $y = \frac{5}{4} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $y = \frac{3}{4} x + 1$

Se calculează întâi valoarea, $f (2) = \frac{5}{2}$ , apoi panta: $f (x) = x + \frac{1}{x}$ , deci $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ și $f^{'} (2) = \frac{3}{4}$ . Tangenta este $y - \frac{5}{2} = \frac{3}{4} (x - 2)$ , adică $y = \frac{3}{4} x + 1$ . Varianta cu $\frac{5}{2}$ ca termen liber apare când se uită translația $- \frac{3}{4} \cdot 2$ .

Întrebări conexe

Când se pune bară și când se lasă celula goală?

Bara se pune într-o valoare a axei pe care funcția n-o atinge, de pildă un zero al numitorului. Celula rămâne goală doar în dreptul lui $- \infty$ și al lui $+ \infty$ , care nu sunt puncte ale axei, ci direcții. Schimbarea între ele se taie în barem.

Cum se verifică rapid ecuația unei tangente?

Se scade dreapta din funcție și se caută rădăcina în punctul de tangență: ea trebuie să fie multiplă. Dacă diferența se anulează simplu acolo, dreapta taie curba, deci nu este tangentă. Controlul costă două rânduri și prinde greșelile de la derivată.

Câte drepte se scriu la o funcție cu radical de ordin par?

De regulă două, câte una pentru fiecare capăt infinit. La $x^{2} + 4$ , panta iese $1$ spre dreapta și $- 1$ spre stânga, deci asimptotele sunt $y = x$ și $y = - x$ . O singură dreaptă scrisă în răspuns înseamnă jumătate de subpunct pierdut.

Ce înseamnă imaginea unei funcții citită din tabel?

Mulțimea valorilor pe care funcția le ia efectiv. Se obține adunând intervalele parcurse pe fiecare ramură de monotonie, cu grijă la capetele deschise, care nu se ating. Ea răspunde direct la cerințele despre inegalități și despre numărul de soluții.

Ce pas al schemei acoperă fiecare cerință de examen?

Fiecare subpunct se așază pe unul dintre cei nouă pași: o limită cerută este pasul al treilea, monotonia este al patrulea, convexitatea al cincilea, iar discuția după parametru se citește din tabel, la pasul al optulea. Recunoașterea pasului scurtează căutarea metodei.

Ce se scrie ca listă la cerința despre asimptote?

Toate dreptele găsite, fiecare cu ecuația ei și cu capătul sau punctul la care se referă. O formulare de tipul funcția are asimptote nu primește niciun punct, fiindcă nu spune care sunt ele și unde se află.

Oamenii mai întreabă și: studiul complet al unei funcții la bacalaureat · ce se citește din tabelul de variație · ecuația tangentei la grafic · asimptote la funcții cu radical · imaginea unei funcții