În șirul lui Rolle al unei funcții apare valoarea $$0$$ în dreptul unui prag $$x_i$$. Aceasta înseamnă că:

$$x_i$$ este el însuși soluție a ecuației $$f(x)=0$$, și anume o soluție multiplă

în cele două felii vecine există câte o soluție

$$x_i$$ nu este rădăcină a derivatei

Cum separ soluțiile cu șirul lui Rolle?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Șirul lui Rolle

Rezolvi ecuația $f^{'} (x) = 0$ și așezi rădăcinile ei în ordine crescătoare; ele taie domeniul în felii. Calculezi valorile funcției în aceste praguri și limitele la capete, apoi treci semnele într-un tabel. Fiecare felie cu semne contrare la capete conține exact o soluție, o valoare nulă arată că pragul e chiar soluție, iar semne egale înseamnă nicio soluție.

Metoda separă soluțiile ecuației $f (x) = 0$ : spune câte sunt și în ce intervale se află, fără să le calculeze. Ea se sprijină pe două rezultate care se completează: cel mult una — între două rădăcini consecutive ale derivatei încape cel mult o rădăcină a funcției (Consecința 2 a teoremei lui Rolle) — și cel puțin una — consecința de semn a proprietății valorilor intermediare. Împreună dau exact una.

Procedura are cinci pași: stabilești domeniul $D$ și verifici derivabilitatea; rezolvi $f^{'} (x) = 0$ și reții soluțiile din $D$ , în ordine crescătoare; calculezi valorile funcției în ele și limitele la capetele fiecărui interval; completezi tabelul cu valorile și, dedesubt, cu semnele; citești rezultatul.

Tabelul are trei rânduri — $x$ , $f (x)$ , semnul — iar capetele nu se lasă niciodată necompletate. Citirea are trei reguli: semne contrare $\Rightarrow$ exact o soluție în felie; valoare nulă $\Rightarrow$ pragul este el însuși soluție, și anume multiplă; semne egale $\Rightarrow$ nicio soluție.

Dacă domeniul este o reuniune de intervale, fiecare interval primește propriul tabel, iar rezultatele se adună. La discuția după un parametru care apare ca termen liber, pragurile rămân aceleași, fiindcă derivata nu depinde de el; se schimbă doar valorile și, odată cu ele, semnele.

De reținut

pragurile sunt rădăcinile ecuației $f^{'} (x) = 0$
semne contrare dau exact o soluție, semne egale niciuna
un domeniu cu punct exclus cere câte un tabel pe fiecare interval

Greșeala tipică

Se lasă goale coloanele de la capetele domeniului. Acolo se trec limitele funcției, altfel semnele feliilor marginale nu se pot citi, iar soluțiile de acolo se pierd.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația $x^{3} - 12 x + 20 = 0$ are:
- a) trei soluții reale
- b) două soluții reale
- c) nicio soluție reală
- d) exact o soluție reală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) exact o soluție reală

Fie $f (x) = x^{3} - 12 x + 20$ , cu $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$ , deci pragurile sunt $- 2$ și $2$ ; $f (- 2) = 36$ și $f (2) = 4$ , iar limitele la capete sunt $- \infty$ și $+ \infty$ . Șirul semnelor este $-, +, +, +$ : o singură schimbare, deci exact o soluție, situată în $(- \infty, - 2)$ .
În șirul lui Rolle al unei funcții apare valoarea $0$ în dreptul unui prag $x_{i}$ . Aceasta înseamnă că:
- a) $x_{i}$ este el însuși soluție a ecuației $f (x) = 0$ , și anume o soluție multiplă
- b) ecuația nu are nicio soluție
- c) în cele două felii vecine există câte o soluție
- d) $x_{i}$ nu este rădăcină a derivatei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x_{i}$ este el însuși soluție a ecuației $f (x) = 0$ , și anume o soluție multiplă

Pragurile sunt chiar rădăcinile derivatei, deci în $x_{i}$ se anulează și $f$ , și $f^{'}$ : soluția este multiplă. În plus, în cele două felii vecine nu mai există nicio altă soluție. Formularea de barem este „soluție dublă", nu doar „o soluție".
Ecuația $x^{3} - 12 x = m$ are trei soluții reale distincte dacă și numai dacă:
- a) $m \in (- 2, 2)$
- b) $m \in (- 16, 16)$
- c) $m > 16$
- d) $m \in R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m \in (- 16, 16)$

Cu $f (x) = x^{3} - 12 x - m$ , derivata $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$ nu depinde de $m$ , deci pragurile rămân $- 2$ și $2$ ; valorile sunt $f (- 2) = 16 - m$ și $f (2) = - 16 - m$ . Trei schimbări de semn cer $16 - m > 0$ și $- 16 - m < 0$ , adică $m \in (- 16, 16)$ .

Întrebări conexe

Ce se pune în tabel la capetele intervalelor?

Limitele funcției acolo, nu valori. Capetele nu se lasă niciodată necompletate, fiindcă tocmai semnul lor decide dacă feliile marginale conțin sau nu soluții. La $\pm \infty$ se trec limitele calculate anterior.

Ce înseamnă două semne egale alăturate în tabel?

Că pe felia dintre ele ecuația nu are nicio soluție. Funcția fiind strict monotonă acolo, ea nu poate atinge zero fără să schimbe semnul. Concluzia se citește direct, fără niciun calcul suplimentar.

Câte rânduri are tabelul acestei metode?

Trei: unul pentru $x$ , unul pentru valorile funcției și unul pentru semnele lor. Nu se confundă cu tabelul de variație, care are alte rânduri și alte reguli la capete. Aici derivata nu apare deloc în tabel.

Pe ce două rezultate se sprijină metoda de separare?

Pe consecința a doua a teoremei lui Rolle, care dă „cel mult o soluție” pe fiecare felie, și pe teorema lui Bolzano, care dă „cel puțin una” când semnele diferă. Împreună ele spun „exact una”.

De ce metoda nu calculează efectiv soluțiile?

Pentru că ea lucrează numai cu semne, nu cu valori: îți spune câte soluții există și în ce felie se află fiecare, dar nu le scrie. Pentru valori efective urmează fie o rezolvare algebrică, fie o metodă de aproximare.

Ce se schimbă în tabel când parametrul apare ca termen liber?

Pragurile nu se mișcă: termenul liber dispare la derivare, deci rădăcinile derivatei rămân neatinse. Se schimbă doar valorile funcției în ele și, odată cu ele, semnele. Discuția se face apoi pe intervale de valori ale parametrului.

Oamenii mai întreabă și: șirul lui Rolle · separarea soluțiilor unei ecuații · tabelul șirului lui Rolle · câte soluții are o ecuație · metoda lui Rolle